Lugar de Arago

En óptica , el punto de Arago , punto de Poisson , ^{[ 1 ] [ 2 ]} o punto de Fresnel ^{[ 3 ]} es un punto brillante que aparece en el centro de la sombra de un objeto circular debido a la difracción de Fresnel . ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} Este punto desempeñó un papel importante en el descubrimiento de la naturaleza ondulatoria de la luz y es una forma común de demostrar que la luz se comporta como una onda.

La configuración experimental básica requiere una fuente puntual, como un orificio iluminado o un haz láser divergente . Las dimensiones de la configuración deben cumplir con los requisitos para la difracción de Fresnel . Es decir, el número de Fresnel debe satisfacer $${\displaystyle F={\frac {d^{2}}{\ell \lambda }}\gtrsim 1,}$$ dónde

• d es el diámetro del objeto circular,
• ℓ es la distancia entre el objeto y la pantalla, y
• λ es la longitud de onda de la fuente.

Finalmente, el borde del objeto circular debe ser suficientemente liso. Con las fuentes láser disponibles actualmente, se puede demostrar el punto de Arago. ^{[ 8 ]}

En astronomía , la mancha de Arago también se puede observar en la imagen fuertemente desenfocada de una estrella captada por un telescopio newtoniano . En este caso, la estrella proporciona una fuente puntual casi ideal en el infinito, y el espejo secundario del telescopio constituye el obstáculo circular.

Cuando la luz incide sobre el obstáculo circular, el principio de Huygens establece que cada punto en el plano del obstáculo actúa como una nueva fuente puntual de luz. La luz proveniente de puntos en la circunferencia del obstáculo que se dirigen al centro de la sombra recorre exactamente la misma distancia, por lo que toda la luz que pasa cerca del objeto llega a la pantalla en fase e interfiere constructivamente . Esto produce un punto brillante en el centro de la sombra, donde la óptica geométrica y las teorías de partículas de la luz predicen que no debería haber luz alguna. ^{[ 9 ]}

A principios del siglo XIX, la idea de que la luz no se propaga simplemente en línea recta cobró fuerza. Thomas Young publicó su experimento de la doble rendija en 1807. ^{[ 10 ]} El experimento original del punto de Arago se llevó a cabo una década después y fue el experimento decisivo sobre la cuestión de si la luz es una partícula o una onda. Es, por lo tanto, un ejemplo de un experimentum crucis .

En aquel entonces, muchos favorecían la teoría corpuscular de la luz de Isaac Newton , entre ellos el teórico Siméon Denis Poisson . ^{[ 11 ]} En 1818, la Academia Francesa de Ciencias organizó un concurso para explicar las propiedades de la luz, en el que Poisson formó parte del jurado. El ingeniero civil Augustin-Jean Fresnel participó en este concurso presentando una nueva teoría ondulatoria de la luz . ^{[ 12 ]}

Poisson estudió en detalle la teoría de Fresnel y, siendo partidario de la teoría corpuscular de la luz, buscó la manera de refutarla. Creía haber encontrado una falla al argumentar que una consecuencia de la teoría de Fresnel era la existencia de un punto brillante en el eje óptico en la sombra de un obstáculo circular, donde, según la teoría corpuscular de la luz, debería haber oscuridad total. Esta predicción se consideró una consecuencia absurda de la teoría ondulatoria, y su invalidez constituía un argumento sólido para rechazar la teoría de Fresnel.

Sin embargo, el jefe del comité, François Arago , decidió realizar el experimento. Moldeó un  disco metálico de 2 mm sobre una placa de vidrio con cera. ^{[ 13 ]} Logró observar el punto predicho, confirmando la predicción de Fresnel en 1819. ^{[ 14 ] : 109 [ 15 ] : 375 [ 16 ]}

Arago señaló más tarde ^{[ 17 ]} que el fenómeno (más tarde conocido como "mancha de Poisson" o "mancha de Arago") ya había sido observado por Joseph-Nicolas Delisle ^{[ 18 ]} y por Giacomo F. ​​Maraldi ^{[ 19 ]} un siglo antes.

Aunque el resultado experimental de Arago constituyó una evidencia abrumadora a favor de la teoría ondulatoria, un siglo después, coincidiendo con el nacimiento de la mecánica cuántica (y sugerido por primera vez en uno de los artículos del Annus Mirabilis de Albert Einstein ), se comprendió que la luz (así como todas las formas de materia y energía) debía describirse como partícula y onda a la vez ( dualidad onda-partícula ). Sin embargo, la partícula asociada a las ondas electromagnéticas, el fotón , no tiene nada en común con las partículas imaginadas en la teoría corpuscular, que había sido dominante antes del surgimiento de la teoría ondulatoria y la poderosa demostración de Arago. Antes del advenimiento de la teoría cuántica a finales de la década de 1920, solo la naturaleza ondulatoria de la luz podía explicar fenómenos como la difracción y la interferencia . Hoy se sabe que un patrón de difracción aparece a través de la acumulación en forma de mosaico de puntos brillantes causada por fotones individuales, como predijo la teoría cuántica de Dirac. Con el aumento de la intensidad de la luz, los puntos brillantes en el patrón de difracción en mosaico simplemente se acumulan más rápidamente. En cambio, la teoría ondulatoria predice la formación de un patrón continuo extendido cuyo brillo general aumenta con la intensidad de la luz.

En el núcleo de la teoría ondulatoria de Fresnel se encuentra el principio de Huygens-Fresnel , que establece que cada punto no obstruido de un frente de onda se convierte en la fuente de una ondícula esférica secundaria y que la amplitud del campo óptico E en un punto de la pantalla viene dada por la superposición de todas esas ondículas secundarias teniendo en cuenta sus fases relativas. ^{[ 20 ]} Esto significa que el campo en un punto P ₁ de la pantalla viene dado por una integral de superficie : $${\displaystyle U(P_{1})={\frac {Ae^{\mathbf {i} kr_{0}}}{r_{0}}}\int _{S}{\frac {e^{\mathbf {i} kr_{1}}}{r_{1}}}K(\chi )\,dS,}$$ donde el factor de inclinación${\displaystyle K(\chi )}$que garantiza que las ondículas secundarias no se propaguen hacia atrás viene dada por $${\displaystyle K(\chi )={\frac {\mathbf {i} }{2\lambda }}(1+\cos(\chi ))}$$ y

• A es la amplitud de la onda fuente.
• ${\textstyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$es el número de onda
• S es la superficie despejada.

El primer término fuera de la integral representa las oscilaciones de la onda fuente a una distancia r ₀ . De manera similar, el término dentro de la integral representa las oscilaciones de las ondículas secundarias a distancias r ₁ .

Para derivar la intensidad detrás del obstáculo circular usando esta integral, se supone que los parámetros experimentales cumplen los requisitos del régimen de difracción de campo cercano (el tamaño del obstáculo circular es grande comparado con la longitud de onda y pequeño comparado con las distancias g = P ₀ C y b = CP ₁ ). Al pasar a coordenadas polares se obtiene la integral para un objeto circular de radio a (véase, por ejemplo, Born y Wolf ^{[ 15 ]} ): $${\displaystyle U(P_{1})=-{\frac {\mathbf {i} }{\lambda }}{\frac {Ae^{\mathbf {i} k(g+b)}}{gb}}2\pi \int _{a}^{\infty }e^{\mathbf {i} k{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{g}}+{\frac {1}{b}}\right)r^{2}}r\,dr.}$$

Esta integral se puede resolver numéricamente (véase más abajo). Si g es grande y b es pequeño, de modo que el ángulo${\displaystyle \chi }$no es despreciable se puede escribir la integral para el caso en el eje (P ₁ está en el centro de la sombra) como (ver Sommerfeld ^{[ 21 ]} ): $${\displaystyle U(P_{1})={\frac {Ae^{\mathbf {i} kg}}{g}}{\frac {b}{\sqrt {b^{2}+a^{2}}}}e^{\mathbf {i} k{\sqrt {b^{2}+a^{2}}}}.}$$

La intensidad de la fuente , que es el cuadrado de la amplitud del campo, es${\textstyle I_{0}=\left|{\frac {1}{g}}Ae^{\mathbf {i} kg}\right|^{2}}$y la intensidad en la pantalla${\displaystyle I=\left|U(P_{1})\right|^{2}}$Por lo tanto , la intensidad en el eje en función de la distancia b viene dada por: $${\displaystyle I={\frac {b^{2}}{b^{2}+a^{2}}}I_{0}.}$$

Esto demuestra que la intensidad en el eje a distancias b mucho mayores que el diámetro del obstáculo circular es la misma que la intensidad de la fuente, como si el objeto circular no estuviera presente. Sin embargo, a distancias b mayores , se observa que el tamaño del punto brillante (como se puede apreciar en las simulaciones siguientes, donde b/a aumenta en imágenes sucesivas) es mayor, lo que facilita su identificación.

Cálculo de imágenes de difracción

Para calcular la imagen de difracción completa que se ve en la pantalla, hay que considerar la integral de superficie de la sección anterior. Ya no se puede aprovechar la simetría circular , porque la línea entre la fuente y un punto arbitrario en la pantalla no pasa por el centro del objeto circular. Con la función de apertura${\displaystyle g(r,\theta )}$que es 1 para las partes transparentes del plano del objeto y 0 en caso contrario (es decir, es 0 si la línea recta entre la fuente y el punto en la pantalla pasa a través del objeto circular que bloquea la visión). La integral que debe resolverse viene dada por: $${\displaystyle U(P_{1})\propto \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }g(r,\theta )e^{{\frac {\mathbf {i} \pi \rho ^{2}}{\lambda }}\left({\frac {1}{g}}+{\frac {1}{b}}\right)}\rho \,d\rho \,d\theta .}$$

El cálculo numérico de la integral utilizando la regla trapezoidal o la regla de Simpson no es eficiente y se vuelve numéricamente inestable, especialmente para configuraciones con un número de Fresnel grande . Sin embargo, es posible resolver la parte radial de la integral de modo que solo quede por hacer numéricamente la integración sobre el ángulo azimutal. ^{[ 22 ]} Para un ángulo particular, se debe resolver la integral de línea para el rayo con origen en el punto de intersección de la línea P ₀ P ₁ con el plano del objeto circular. La contribución para un rayo particular con ángulo azimutal${\displaystyle \theta _{1}}$y pasando una parte transparente del plano del objeto desde${\displaystyle r=s}$a${\displaystyle r=t}$es: $${\displaystyle R(\theta _{1})\propto e^{{\frac {\pi }{2}}\mathbf {i} s^{2}}-e^{{\frac {\pi }{2}}\mathbf {i} t^{2}}.}$$

Así pues, para cada ángulo hay que calcular el/los punto( s ) de intersección del rayo con el objeto circular y luego sumar las contribuciones.${\displaystyle I(\theta _{1})}$para un cierto número de ángulos entre 0 y${\displaystyle 2\pi }$Los resultados de dicho cálculo se muestran en las siguientes imágenes.

Las imágenes son simulaciones de la mancha de Arago en la sombra de discos de 4  mm, 2  mm y 1  mm de diámetro, proyectados a 1  m detrás de cada disco. Los discos están iluminados por luz de 633  nm de longitud de onda, que diverge desde un punto situado a 1  m delante de cada uno. Cada imagen tiene 16  mm de ancho.

El punto de Arago también puede visualizarse utilizando líneas de flujo de energía promedio calculadas numéricamente promediando el vector de Poynting del campo electromagnético . ^{[ 23 ] [ 24 ] : 575}

En 2009, se demostró el experimento del punto de Arago con un haz de expansión supersónica de moléculas de deuterio (un ejemplo de ondas de materia neutra ). ^{[ 28 ]} Se sabe que las partículas materiales se comportan como ondas desde la mecánica cuántica . La naturaleza ondulatoria de las partículas se remonta a la hipótesis de De Broglie ^{[ 29 ]} así como a los experimentos de Davisson y Germer . ^{[ 30 ]} Un punto de Arago de electrones, que también constituyen ondas de materia, se puede observar en microscopios electrónicos de transmisión al examinar estructuras circulares de cierto tamaño.

La observación de una mancha de Arago con moléculas grandes, demostrando así su naturaleza ondulatoria, es un tema de investigación actual. ^{[ 28 ]}

Además de la demostración del comportamiento ondulatorio, el punto de Arago también tiene otras aplicaciones. Una de ellas es utilizarlo como referencia de línea recta en sistemas de alineación. ^{[ 31 ]} Otra aplicación consiste en analizar las aberraciones en haces láser aprovechando la sensibilidad del punto a dichas aberraciones . ^{[ 25 ]} Finalmente, se ha propuesto el aragoscopio como método para mejorar drásticamente la resolución limitada por difracción de los telescopios espaciales. ^{[ 32 ] [ 33 ]}

• Aragoscopio
• Disco de ocultación