El problema de Plateau

En matemáticas , el problema de Plateau consiste en demostrar la existencia de una superficie mínima con un contorno dado. Este problema forma parte del cálculo de variaciones . Los problemas de existencia y regularidad pertenecen a la teoría geométrica de la medida . Recibe su nombre de Joseph Plateau .

El problema fue planteado por primera vez por Joseph-Louis Lagrange en 1760. Sin embargo, recibe su nombre de Joseph Plateau , quien experimentó con películas de jabón .

Se resolvieron diversas formas especializadas del problema, pero no fue hasta 1930 que Jesse Douglas y Tibor Radó hallaron, de forma independiente, soluciones generales en el contexto de las transformaciones (inmersiones) . Sus métodos eran bastante diferentes; el trabajo de Radó se basó en el trabajo previo de René Garnier y solo era válido para curvas cerradas simples rectificables , mientras que Douglas empleó ideas completamente nuevas, y su resultado era válido para cualquier curva cerrada simple. Ambos se basaron en plantear problemas de minimización; Douglas minimizó la integral de Douglas, ahora denominada así, mientras que Radó minimizó la "energía". Douglas fue galardonado con la Medalla Fields en 1936 por sus esfuerzos.

La extensión del problema a dimensiones superiores (es decir, para${\displaystyle k}$superficies -dimensionales en${\displaystyle n}$El espacio de dimensiones) resulta ser mucho más difícil de estudiar. Además, mientras que las soluciones al problema original son siempre regulares, resulta que las soluciones al problema extendido pueden tener singularidades si${\displaystyle k\leq n-2}$. En el caso de la hipersuperficie donde${\displaystyle k=n-1}$, las singularidades ocurren solo para${\displaystyle n\geq 8}$. Un ejemplo de dicha solución singular del problema de Plateau es el cono de Simons , un cono sobre${\displaystyle S^{3}\times S^{3}}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$que fue descrito por primera vez por Jim Simons y Bombieri , De Giorgi y Giusti demostraron que era un minimizador de área . ^{[ 1 ]} Para resolver el problema extendido en ciertos casos especiales, se han desarrollado la teoría de perímetros ( De Giorgi ) para codimensión 1 y la teoría de corrientes rectificables ( Federer y Fleming) para codimensión superior. La teoría garantiza la existencia de soluciones de codimensión 1 que son suaves fuera de un conjunto cerrado de dimensión de Hausdorff.${\displaystyle n-8}$. En el caso de codimensión superior, Almgren demostró la existencia de soluciones con un conjunto singular de dimensión como máximo${\displaystyle k-2}$en su teorema de regularidad . SX Chang, un estudiante de Almgren, se basó en el trabajo de Almgren para demostrar que las singularidades de las corrientes integrales que minimizan el área bidimensional (en codimensión arbitraria) forman un conjunto discreto finito. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

El enfoque axiomático de Jenny Harrison y Harrison Pugh ^{[ 4 ]} aborda una amplia variedad de casos especiales. En particular, resuelven el problema de Plateau anisotrópico en dimensión y codimensión arbitrarias para cualquier colección de conjuntos rectificables que satisfaga una combinación de condiciones generales de expansión homológica, cohomológica u homotópica. Camillo De Lellis , Francesco Ghiraldin y Francesco Maggi ^{[ 5 ]} obtuvieron una demostración diferente de los resultados de Harrison-Pugh.

Las películas de jabón físico se modelan con mayor precisión mediante el${\displaystyle (M,0,\Delta )}$-conjuntos mínimos de Frederick Almgren , pero la falta de un teorema de compacidad dificulta demostrar la existencia de un minimizador de área. En este contexto, una cuestión abierta persistente ha sido la existencia de una película de jabón de área mínima. Ernst Robert Reifenberg resolvió este "problema universal de Plateau" para fronteras que son homeomorfas a esferas individuales incrustadas.

• Conjetura de la doble burbuja
• Principio de Dirichlet
• Leyes de Plateau
• Método de cuadrícula estirada
• El problema de Bernstein

• Douglas, Jesse (1931). "Solución del problema de Plateau" . Trans. Amer. Math. Soc . 33 (1): 263– 321. doi : 10.2307/1989472 . JSTOR 1989472 . 
• Reifenberg, Ernst Robert (1960). "Solución del problema {Plateau} para superficies m-dimensionales de tipo topológico variable" . Acta Mathematica . 104 (2): 1– 92. doi : 10.1007/bf02547186 .
• Fomenko, AT (1989). El problema de la meseta: un estudio histórico . Williston, VT: Gordon & Breach. ISBN 978-2-88124-700-2.
• Morgan, Frank (2009). Teoría de la medida geométrica: una guía para principiantes . Academic Press. ISBN 978-0-12-374444-9.
• O'Neil, TC (2001) [1994], "Teoría de la medida geométrica" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
• Radó, Tibor (1930). "Sobre el problema de Plateau". Ann. of Math . 2. 31 (3): 457– 469. Bibcode : 1930AnMat..31..457R . doi : 10.2307/1968237 . JSTOR 1968237 . 
• Struwe, Michael (1989). El problema de Plateau y el cálculo de variaciones . Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08510-4.
• Almgren, Frederick (1966). El problema de Plateau: una invitación a la geometría de varifold . Nueva York-Ámsterdam: Benjamin. ISBN 978-0-821-82747-5.

• Harrison, Jenny; Pugh, Harrison (2016). Problemas abiertos en matemáticas (el problema de Plateau) . Springer. arXiv : 1509.03797 . doi : 10.1007/978-3-319-32162-2 . ISBN 978-3-319-32160-8.

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