Invariante digital perfecto

En teoría de números , un invariante digital perfecto (PDI) es un número en una base numérica dada (${\displaystyle b}$) que es la suma de sus propios dígitos, cada uno elevado a una potencia dada (${\displaystyle p}$). ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Dejar${\displaystyle n}$sea ​​un número natural . La función invariante digital perfecta (también conocida como función feliz , de números felices ) para base${\displaystyle b>1}$y energía${\displaystyle p>0}$${\displaystyle F_{p,b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$se define como:

${\displaystyle F_{p,b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}^{p}.}$

dónde${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1}$es el número de dígitos en el número en base${\displaystyle b}$, y

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

es el valor de cada dígito del número. Un número natural${\displaystyle n}$es un invariante digital perfecto si es un punto fijo para${\displaystyle F_{p,b}}$, lo cual ocurre si${\displaystyle F_{p,b}(n)=n}$.${\displaystyle 0}$y${\displaystyle 1}$son invariantes digitales perfectos triviales para todos${\displaystyle b}$y${\displaystyle p}$, todos los demás invariantes digitales perfectos son invariantes digitales perfectos no triviales .

Por ejemplo, el número 4150 en base${\displaystyle b=10}$es un invariante digital perfecto con${\displaystyle p=5}$, porque${\displaystyle 4150=4^{5}+1^{5}+5^{5}+0^{5}}$.

Un número natural${\displaystyle n}$es un invariante digital social si es un punto periódico para${\displaystyle F_{p,b}}$, dónde${\displaystyle F_{p,b}^{k}(n)=n}$para un entero positivo${\displaystyle k}$(aquí${\displaystyle F_{p,b}^{k}}$es el${\displaystyle k}$la iteración de${\displaystyle F_{p,b}}$), y forma un ciclo de período${\displaystyle k}$. Un invariante digital perfecto es un invariante digital sociable con${\displaystyle k=1}$y un invariante digital amistoso es un invariante digital sociable con${\displaystyle k=2}$.

Todos los números naturales${\displaystyle n}$son puntos preperiódicos para${\displaystyle F_{p,b}}$, independientemente de la base. Esto se debe a que si${\displaystyle k\geq p+2}$,${\displaystyle n\geq b^{k-1}>b^{p}k}$, así que cualquier${\displaystyle n}$satisfará${\displaystyle n>F_{b,p}(n)}$hasta${\displaystyle n<b^{p+1}}$. Hay un número finito de números naturales menores que${\displaystyle b^{p+1}}$, por lo que se garantiza que el número alcanzará un punto periódico o un punto fijo menor que${\displaystyle b^{p+1}}$, lo que lo convierte en un punto preperiódico.

Números en base${\displaystyle b>p}$conducen a puntos fijos o periódicos de números${\displaystyle n\leq (p-2)^{p}+p(b-1)^{p}}$.

El número de iteraciones${\displaystyle i}$necesario para${\displaystyle F_{p,b}^{i}(n)}$alcanzar un punto fijo es la persistencia de la función invariante digital perfecta de${\displaystyle n}$y no definido si nunca alcanza un punto fijo.

${\displaystyle F_{1,b}}$es la suma de dígitos . Los únicos invariantes digitales perfectos son los números de un solo dígito en base 1/2.${\displaystyle b}$y no hay puntos periódicos con período primo mayor que 1.

${\displaystyle F_{p,2}}$se reduce a${\displaystyle F_{1,2}}$, como para cualquier poder${\displaystyle p}$,${\displaystyle 0^{p}=0}$y${\displaystyle 1^{p}=1}$.

Para cada número natural${\displaystyle k>1}$, si${\displaystyle p<b}$,${\displaystyle (b-1)\equiv 0{\bmod {k}}}$y${\displaystyle (p-1)\equiv 0{\bmod {\phi }}(k)}$, entonces para cada número natural${\displaystyle n}$, si${\displaystyle n\equiv m{\bmod {k}}}$, entonces${\displaystyle F_{p,b}(n)\equiv m{\bmod {k}}}$, dónde${\displaystyle \phi (k)}$es la función totiente de Euler .

No se puede determinar un límite superior para el tamaño de los invariantes digitales perfectos en una base dada y una potencia arbitraria, y actualmente se desconoce si el número de invariantes digitales perfectos para una base arbitraria es finito o infinito. ^{[ 1 ]}

Por definición, cualquier invariante digital perfecto de tres dígitos${\displaystyle n=d_{2}d_{1}d_{0}}$para${\displaystyle F_{2,b}}$con dígitos de números naturales${\displaystyle 0\leq d_{0}<b}$,${\displaystyle 0\leq d_{1}<b}$,${\displaystyle 0\leq d_{2}<b}$debe satisfacer la ecuación diofántica cúbica${\displaystyle d_{0}^{2}+d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$.${\displaystyle d_{2}}$tiene que ser igual a 0 o 1 para cualquier${\displaystyle b>2}$, porque el valor máximo${\displaystyle n}$puede tomar es${\displaystyle n=(2-1)^{2}+2(b-1)^{2}=1+2(b-1)^{2}<2b^{2}}$Como resultado, en realidad hay dos ecuaciones diofánticas cuadráticas relacionadas que resolver:

${\displaystyle d_{0}^{2}+d_{1}^{2}=d_{1}b+d_{0}}$cuando${\displaystyle d_{2}=0}$, y

${\displaystyle d_{0}^{2}+d_{1}^{2}+1=b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$cuando${\displaystyle d_{2}=1}$.

El número natural de dos dígitos${\displaystyle n=d_{1}d_{0}}$es un invariante digital perfecto en base

${\displaystyle b=d_{1}+{\frac {d_{0}(d_{0}-1)}{d_{1}}}.}$

Esto se puede demostrar tomando el primer caso, donde${\displaystyle d_{2}=0}$y resolviendo para${\displaystyle b}$Esto significa que para algunos valores de${\displaystyle d_{0}}$y${\displaystyle d_{1}}$,${\displaystyle n}$no es un invariante digital perfecto en ninguna base, ya que${\displaystyle d_{1}}$no es un divisor de${\displaystyle d_{0}(d_{0}-1)}$. Además,${\displaystyle d_{0}>1}$, porque si${\displaystyle d_{0}=0}$o${\displaystyle d_{0}=1}$, entonces${\displaystyle b=d_{1}}$, lo cual contradice la afirmación anterior de que${\displaystyle 0\leq d_{1}<b}$.

No existen invariantes digitales perfectos de tres dígitos para${\displaystyle F_{2,b}}$, lo cual se puede demostrar tomando el segundo caso, donde${\displaystyle d_{2}=1}$y dejar${\displaystyle d_{0}=b-a_{0}}$y${\displaystyle d_{1}=b-a_{1}}$Entonces, la ecuación diofántica para el invariante digital perfecto de tres dígitos se convierte en:

${\displaystyle (b-a_{0})^{2}+(b-a_{1})^{2}+1=b^{2}+(b-a_{1})b+(b-a_{0})}$

${\displaystyle b^{2}-2a_{0}b+a_{0}^{2}+b^{2}-2a_{1}b+a_{1}^{2}+1=b^{2}+(b-a_{1})b+(b-a_{0})}$

${\displaystyle 2b^{2}-2(a_{0}+a_{1})b+a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+1=b^{2}+(b-a_{1})b+(b-a_{0})}$

${\displaystyle b^{2}+(b-2(a_{0}+a_{1}))b+a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+1=b^{2}+(b-a_{1})b+(b-a_{0})}$

${\displaystyle 2(a_{0}+a_{1})>a_{1}}$para todos los valores de${\displaystyle 0<a_{1}\leq b}$Por lo tanto, no hay soluciones para la ecuación diofántica, y no hay invariantes digitales perfectos de tres dígitos para${\displaystyle F_{2,b}}$.

Solo hay cuatro números, después de la unidad, que son la suma de los cubos de sus dígitos:

${\displaystyle 153=1^{3}+5^{3}+3^{3}}$

${\displaystyle 370=3^{3}+7^{3}+0^{3}}$

${\displaystyle 371=3^{3}+7^{3}+1^{3}}$

${\displaystyle 407=4^{3}+0^{3}+7^{3}.}$

Son datos curiosos, muy apropiados para columnas de acertijos y que probablemente divertirán a los aficionados, pero no hay nada en ellos que atraiga al matemático. (secuencia A046197 en la OEIS ) — GH Hardy , Apología de un matemático

Por definición, cualquier invariante digital perfecto de cuatro dígitos${\displaystyle n}$para${\displaystyle F_{3,b}}$con dígitos de números naturales${\displaystyle 0\leq d_{0}<b}$,${\displaystyle 0\leq d_{1}<b}$,${\displaystyle 0\leq d_{2}<b}$,${\displaystyle 0\leq d_{3}<b}$debe satisfacer la ecuación diofántica cuártica${\displaystyle d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}+d_{3}^{3}=d_{3}b^{3}+d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$.${\displaystyle d_{3}}$tiene que ser igual a 0, 1, 2 para cualquier${\displaystyle b>3}$, porque el valor máximo${\displaystyle n}$puede tomar es${\displaystyle n=(3-2)^{3}+3(b-1)^{3}=1+3(b-1)^{3}<3b^{3}}$Como resultado, en realidad hay tres ecuaciones diofánticas cúbicas relacionadas que resolver.

${\displaystyle d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$cuando${\displaystyle d_{3}=0}$

${\displaystyle d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}+1=b^{3}+d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$cuando${\displaystyle d_{3}=1}$

${\displaystyle d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}+8=2b^{3}+d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$cuando${\displaystyle d_{3}=2}$

Tomemos el primer caso, donde${\displaystyle d_{3}=0}$.

Todos los números están representados en base${\displaystyle b}$.

Los invariantes digitales perfectos pueden extenderse a los enteros negativos mediante el uso de una representación de dígitos con signo para representar cada entero.

Un número feliz${\displaystyle n}$para una base dada${\displaystyle b}$y un poder dado${\displaystyle p}$es un punto preperiódico para la función invariante digital perfecta${\displaystyle F_{p,b}}$de tal manera que el${\displaystyle m}$-ésima iteración de${\displaystyle F_{p,b}}$es igual al invariante digital perfecto trivial${\displaystyle 1}$y un número infeliz es aquel tal que no existe tal${\displaystyle m}$.

El siguiente ejemplo implementa la función de invariante digital perfecta descrita en la definición anterior para buscar invariantes digitales perfectas y ciclos en Python . Esto se puede utilizar para encontrar números felices .

def pdif ( x : int , p : int , b : int ) -> int : """Función invariante digital perfecta.""" total = 0 while x > 0 : total = total + pow ( x % b , p ) x = x // b return totaldef pdif_cycle ( x : int , p : int , b : int ) - > list [ int ] : seen = [ ] while x not in seen : seen.append ( x ) x = pdif ( x , p , b ) cycle = [ ] while x not in cycle : cycle.append ( x ) x = pdif ( x , p , b ) return cycle

• Dinámica aritmética
• Número de Dudeney
• Factorización
• Número feliz
• La constante de Kaprekar
• Número de Kaprekar
• Número de Meertens
• Número narcisista
• Invariante perfecta dígito a dígito
• número de suma de productos

• Invariantes digitales