Función de partición (teoría cuántica de campos)

En un${\displaystyle d}$teoría de campos de -dimensiones con un campo escalar real${\displaystyle \phi }$y acción${\displaystyle S[\phi ]}$, la función de partición se define en el formalismo de la integral de trayectoria como el funcional ^{[ 1 ]}

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \ e^{iS[\phi ]+i\int d^{d}xJ(x)\phi (x)}}$

dónde${\displaystyle J(x)}$es una fuente de corriente ficticia . Actúa como un funcional generador para funciones de correlación arbitrarias de n puntos.

${\displaystyle G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=(-1)^{n}{\frac {1}{Z[0]}}{\frac {\delta ^{n}Z[J]}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}{\bigg |}_{J=0}.}$

Las derivadas utilizadas aquí son derivadas funcionales en lugar de derivadas regulares, ya que actúan sobre funcionales en lugar de funciones regulares. De esto se deduce que una expresión equivalente para la función de partición que recuerda a una serie de potencias en corrientes de fuente viene dada por ^{[ 2 ].}

${\displaystyle Z[J]=\sum _{n\geq 0}{\frac {1}{n!}}\int \prod _{i=1}^{n}d^{d}x_{i}G(x_{1},\dots ,x_{n})J(x_{1})\cdots J(x_{n}).}$

En los espaciotiempos curvos existe una sutileza adicional que debe abordarse debido a que el estado de vacío inicial no tiene por qué ser el mismo que el estado de vacío final. ^{[ 3 ]} Las funciones de partición también pueden construirse para operadores compuestos de la misma manera que para campos fundamentales. Las funciones de correlación de estos operadores pueden calcularse como derivadas funcionales de estos funcionales. ^{[ 4 ]} Por ejemplo, la función de partición para un operador compuesto${\displaystyle {\mathcal {O}}(x)}$es dado por

${\displaystyle Z_{\mathcal {O}}[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{iS[\phi ]+i\int d^{d}xJ(x){\mathcal {O}}(x)}.}$

Conocer la función de partición resuelve completamente la teoría, ya que permite el cálculo directo de todas sus funciones de correlación. Sin embargo, existen muy pocos casos en los que la función de partición pueda calcularse con exactitud. Si bien las teorías libres admiten soluciones exactas, las teorías con interacción generalmente no. En cambio, la función de partición puede evaluarse perturbativamente en el acoplamiento débil , lo que equivale a la teoría de perturbaciones regular utilizando diagramas de Feynman con${\displaystyle J}$inserciones en las patas externas. ^{[ 5 ]} Los factores de simetría para este tipo de diagramas difieren de los de las funciones de correlación ya que todas las patas externas tienen idénticas${\displaystyle J}$inserciones que se pueden intercambiar, mientras que las patas externas de las funciones de correlación están todas fijas en coordenadas específicas y, por lo tanto, son fijas.

Al realizar una transformación de Wick , la función de partición se puede expresar en el espaciotiempo euclidiano como ^{[ 6 ].}

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \ e^{-(S_{E}[\phi ]+\int d^{d}x_{E}J\phi )},}$

dónde${\displaystyle S_{E}}$es la acción euclidiana y${\displaystyle x_{E}}$son coordenadas euclidianas. Esta forma está estrechamente relacionada con la función de partición en mecánica estadística, especialmente porque el lagrangiano euclidiano suele estar acotado inferiormente, en cuyo caso puede interpretarse como una densidad de energía . También permite interpretar el factor exponencial como un peso estadístico para las configuraciones de campo, donde mayores fluctuaciones en el gradiente o los valores del campo conllevan una mayor supresión. Esta conexión con la mecánica estadística también aporta una intuición adicional sobre cómo deberían comportarse las funciones de correlación en una teoría cuántica de campos.

La mayoría de los principios del caso escalar se mantienen para teorías más generales con campos adicionales. Cada campo requiere la introducción de su propia corriente ficticia, y los campos de antipartículas requieren corrientes separadas. Al aplicar la derivada de una corriente a la función de partición, se reduce su campo asociado desde la exponencial, lo que permite la construcción de funciones de correlación arbitrarias. Tras la diferenciación, las corrientes se anulan cuando se desean funciones de correlación en el vacío, pero también se les pueden asignar valores específicos para obtener funciones de correlación en campos de fondo distintos de cero.

Para funciones de partición con campos fermiónicos con valores de Grassmann , las fuentes también tienen valores de Grassmann. ^{[ 7 ]} Por ejemplo, una teoría con un único fermión de Dirac${\displaystyle \psi (x)}$requiere la introducción de dos corrientes de Grassmann${\displaystyle \eta }$y${\displaystyle {\bar {\eta }}}$de modo que la función de partición sea

${\displaystyle Z[{\bar {\eta }},\eta ]=\int {\mathcal {D}}{\bar {\psi }}{\mathcal {D}}\psi \ e^{iS[\psi ,{\bar {\psi }}]+i\int d^{d}x({\bar {\eta }}\psi +{\bar {\psi }}\eta )}.}$

Derivados funcionales con respecto a${\displaystyle {\bar {\eta }}}$dar campos fermiónicos mientras que las derivadas con respecto a${\displaystyle \eta }$dar campos antifermiónicos en las funciones de correlación.

Una teoría de campo térmico a temperatura${\displaystyle T}$es equivalente en el formalismo euclidiano a una teoría con una dirección temporal compactificada de longitud${\displaystyle \beta =1/T}$Las funciones de partición deben modificarse adecuadamente imponiendo condiciones de periodicidad en los campos y las integrales del espaciotiempo euclidiano.

${\displaystyle Z[\beta ,J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-S_{E,\beta }[\phi ]+\int _{\beta }d^{d}x_{E}J\phi }{\bigg |}_{\phi ({\boldsymbol {x}},0)=\phi ({\boldsymbol {x}},\beta )}.}$

Esta función de partición puede tomarse como la definición de la teoría del campo térmico en el formalismo del tiempo imaginario. ^{[ 8 ]} Las funciones de correlación se obtienen a partir de la función de partición mediante las derivadas funcionales usuales con respecto a las corrientes.

${\displaystyle G_{n,\beta }(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\delta ^{n}Z[\beta ,J]}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}{\bigg |}_{J=0}.}$