Función parcial

En matemáticas , una función parcial $f$ de un conjunto $X$ a un conjunto $Y$ es una función de un subconjunto $S$ de $X$ (posiblemente el conjunto $X$ completo ) a $Y.$ El subconjunto $S$ , es decir, el dominio de $f$ considerado como una función, se denomina dominio de definición o dominio natural de $f$ . Si $S$ es igual $a X$ , es decir, si $f$ está definida en cada elemento de $X$ , entonces se dice que $f es una$ función total .

En otras palabras, una función parcial es una relación binaria entre dos conjuntos que asocia a cada elemento del primer conjunto, como máximo, un elemento del segundo; por lo tanto, es una relación univalente . Esto generaliza el concepto de función (total) al no requerir que cada elemento del primer conjunto esté asociado a un elemento del segundo.

Una función parcial se usa a menudo cuando se desconoce su dominio de definición exacto o es difícil de especificar. Sin embargo, incluso cuando se conoce el dominio de definición exacto, las funciones parciales se usan con frecuencia por simplicidad o brevedad. Este es el caso en cálculo , donde, por ejemplo, el cociente de dos funciones es una función parcial cuyo dominio de definición no puede contener los ceros del denominador; en este contexto, una función parcial generalmente se llama simplemente función .

En la teoría de la computabilidad , una función recursiva general es una función parcial de los números enteros a los números enteros; no puede existir ningún algoritmo para decidir si una función arbitraria de este tipo es, de hecho, total.

Cuando se utiliza la notación de flechas para funciones, una función parcial $f$ de $X$ a $Y$ a veces se escribe como $f:X\rightharpoonup Y,$ $f:X\nrightarrow Y,$ o $f:X\hookrightarrow Y.$ Sin embargo, no existe una convención general, y la segunda notación se usa más comúnmente para mapas de inclusión o incrustaciones .

Específicamente, para una función parcial $f:X\rightharpoonup Y,$ y cualquier $x\in X,$ uno tiene una de las siguientes opciones:

$f(x)=y\in Y$ (es un único elemento en $Y$ ), o
$f(x)$ no está definido.

Por ejemplo, si $f$ ¿La función de raíz cuadrada está restringida a los números enteros?

f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} ,

definido por:

f(n)=m

si, y solo si,

m^{2}=n,

m\in \mathbb {N} ,n\in \mathbb {Z} ,

entonces $f(n)$ solo se define si $n$ es un cuadrado perfecto (es decir, $0,1,4,9,16,\ldots$ ). Entonces $f(25)=5$ pero $f(26)$ no está definido.

Conceptos básicos

Una función parcial surge de la consideración de aplicaciones entre dos conjuntos $X$ e $Y$ que pueden no estar definidas en todo el conjunto $X.$ ^{[ 1 ]} Un ejemplo común es la operación de raíz cuadrada en los números reales . $\mathbb {R}$ : debido a que los números reales negativos no tienen raíces cuadradas reales, la operación puede verse como una función parcial de $\mathbb {R}$ a $\mathbb {R} .$ El dominio de definición de una función parcial es el subconjunto $S$ de $X$ sobre el cual se define la función parcial; en este caso, la función parcial también puede verse como una función de $S$ a $Y.$ En el ejemplo de la operación de raíz cuadrada, el conjunto $S$ consta de los números reales no negativos. $[0,+\infty ).$

La noción de función parcial resulta particularmente conveniente cuando se desconoce o incluso se desconoce el dominio exacto de definición. Para un ejemplo de esto último en informática, véase el problema de la parada .

En caso de que el dominio de definición $S$ sea igual al conjunto completo $X$ , se dice que la función parcial es total . Por lo tanto, las funciones parciales totales de $X$ a $Y$ coinciden con las funciones de $X$ a $Y.$

Muchas propiedades de las funciones pueden extenderse en el sentido apropiado de las funciones parciales. Se dice que una función parcial es inyectiva , sobreyectiva o biyectiva cuando la función resultante de restringir la función parcial a su dominio de definición es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva, respectivamente.

Dado que una función es trivialmente sobreyectiva cuando se restringe a su imagen, el término biyección parcial denota una función parcial que es inyectiva. ^{[ 2 ]}

Una función parcial inyectiva puede invertirse para obtener otra función parcial inyectiva, y una función parcial que es tanto inyectiva como sobreyectiva tiene una función inyectiva como inversa. Además, una función inyectiva puede invertirse para obtener una función parcial biyectiva.

La noción de transformación también puede generalizarse a funciones parciales. Una transformación parcial es una función $f:A\rightharpoonup B,$ donde ambos $A$ y $B$ son subconjuntos de algún conjunto $X.$ ^{[ 2 ]}

Espacios funcionales

Para mayor comodidad, denotemos por el conjunto de todas las funciones parciales $f:X\rightharpoonup Y$ de un conjunto $X$ a un conjunto $Y$ por $[X\rightharpoonup Y].$ Este conjunto es la unión de los conjuntos de funciones definidas en subconjuntos de $X$ con el mismo codominio $Y$ :

[X\rightharpoonup Y]=\bigcup _{D\subseteq X}[D\to Y],

este último también escrito como ${\textstyle \bigcup _{D\subseteq {X}}Y^{D}.}$ En caso finito, su cardinalidad es

|[X\rightharpoonup Y]|=(|Y|+1)^{|X|},

porque cualquier función parcial puede extenderse a una función mediante cualquier valor fijo. $c$ no está contenido en $Y,$ de modo que el codominio sea $Y\cup \{c\},$ una operación que es inyectiva (única e invertible por restricción).

Discusión y ejemplos

El primer diagrama, situado al inicio del artículo, representa una función parcial que no es una función propiamente dicha, ya que el elemento 1 del conjunto de la izquierda no está asociado con ningún elemento del conjunto de la derecha. En cambio, el segundo diagrama representa una función, puesto que cada elemento del conjunto de la izquierda está asociado con exactamente un elemento del conjunto de la derecha.

logaritmo natural

La función logaritmo natural, que relaciona los números reales consigo mismos, es una función parcial, pero no una función total, ya que no está definida para valores reales no positivos. Si el dominio se restringe a los números reales positivos (es decir, si se considera la función logaritmo natural como una función de los números reales positivos a los reales), entonces el logaritmo natural es una función.

Resta de números naturales

Resta de números naturales (en la que $\mathbb {N}$ es un número entero no negativo ) es una función parcial:

f:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \rightharpoonup \mathbb {N}

f(x,y)=x-y.

Se define únicamente cuando $x\geq y.$

Elemento inferior

En la semántica denotacional, se considera que una función parcial devuelve el elemento inferior cuando este no está definido.

En informática, una función parcial corresponde a una subrutina que genera una excepción o entra en un bucle infinito. El estándar de punto flotante IEEE define un valor que no es un número y que se devuelve cuando una operación de punto flotante no está definida y se suprimen las excepciones, por ejemplo, cuando se solicita la raíz cuadrada de un número negativo.

En un lenguaje de programación donde los parámetros de las funciones tienen un tipo estático , una función puede definirse como una función parcial porque el sistema de tipos del lenguaje no puede expresar el dominio exacto de la función, por lo que el programador le da el dominio más pequeño que se puede expresar como un tipo y que contiene el dominio de definición de la función.

En la teoría de categorías

En la teoría de categorías , al considerar la operación de composición de morfismos en categorías concretas , la operación de composición $\circ \;:\;\hom(C)\times \hom(C)\to \hom(C)$ es una función total si y solo si $\operatorname {ob} (C)$ tiene un elemento. La razón de esto es que dos morfismos $f:X\to Y$ y $g:U\to V$ solo puede componerse como $g\circ f$ si $Y=U,$ es decir, el codominio de $f$ debe ser igual al dominio de $g.$

La categoría de conjuntos y funciones parciales es equivalente a, pero no isomorfa a , la categoría de conjuntos apuntados y aplicaciones que preservan puntos. ^{[ 3 ]} Un libro de texto señala que "Esta completación formal de conjuntos y aplicaciones parciales mediante la adición de elementos "impropios" e "infinitos" se reinventó muchas veces, en particular, en topología ( compactificación de un punto ) y en informática teórica ". ^{[ 4 ]}

La categoría de conjuntos y biyecciones parciales es equivalente a su dual . ^{[ 5 ]} Es la categoría inversa prototípica . ^{[ 6 ]}

En álgebra abstracta

El álgebra parcial generaliza la noción de álgebra universal a operaciones parciales . Un ejemplo sería un cuerpo , en el que la inversión multiplicativa es la única operación parcial propia (porque la división por cero no está definida). ^{[ 7 ]}

El conjunto de todas las funciones parciales ( transformaciones parciales ) sobre un conjunto base dado, $X,$ forma un semigrupo regular llamado el semigrupo de todas las transformaciones parciales (o el semigrupo de transformaciones parciales en $X$ ), normalmente denotado por ${\mathcal {PT}}_{X}.$ ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}^{[ 10 ]} El conjunto de todas las biyecciones parciales en $X$ forma el semigrupo inverso simétrico . ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

Gráficos y atlas para colectores y haces de fibras

Los diagramas de los atlas que especifican la estructura de las variedades y los fibrados son funciones parciales. En el caso de las variedades, el dominio es el conjunto de puntos de la variedad. En el caso de los fibrados, el dominio es el espacio del fibrado. En estas aplicaciones, la construcción más importante es el mapa de transición , que es la composición de un diagrama con el inverso de otro. La clasificación inicial de las variedades y los fibrados se expresa principalmente en términos de restricciones sobre estos mapas de transición.

El motivo para utilizar funciones parciales en lugar de funciones completas es permitir que las topologías globales generales se representen mediante la unión de fragmentos locales para describir la estructura global. Los "fragmentos" son los dominios donde se definen los diagramas.

Véase también

Continuación analítica – Extensión del dominio de una función analítica (matemáticas)
Función multivaluada – Función matemática generalizada
Operador densamente definido : operador lineal en un subconjunto denso de su dominio aparente.

Referencias

Martin Davis (1958), Computabilidad e insolubilidad , McGraw-Hill Book Company, Inc., Nueva York. Reeditado por Dover en 1982. ISBN 0-486-61471-9.
Stephen Kleene (1952), Introducción a las metamatemáticas , North-Holland Publishing Company, Ámsterdam, Países Bajos, 10.ª edición con correcciones añadidas en la 7.ª edición (1974). ISBN 0-7204-2103-9.
Harold S. Stone (1972), Introducción a la organización de computadoras y estructuras de datos , McGraw–Hill Book Company, Nueva York.

Notas

↑ Garrett Birkhoff y Thomas Bartee (1970) Álgebra aplicada moderna , página 13, McGraw-Hill Book Company
1 2 Christopher Hollings (2014). Matemáticas al otro lado del Telón de Acero: Una historia de la teoría algebraica de los semigrupos . American Mathematical Society. pág. 251. ISBN 978-1-4704-1493-1.
↑ Lutz Schröder (2001). "Categorías: un recorrido gratuito". En Jürgen Koslowski y Austin Melton (ed.). Perspectivas categóricas . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 10.ISBN 978-0-8176-4186-3.
↑ Neal Koblitz; B. Zilber; Yu. I. Manin (2009). Un curso de lógica matemática para matemáticos . Springer Science & Business Media. pág. 290. ISBN 978-1-4419-0615-1.
↑ Francis Borceux (1994). Manual de álgebra categórica: Volumen 2, Categorías y estructuras . Cambridge University Press. pág. 289. ISBN 978-0-521-44179-7.
↑ Marco Grandis (2012). Álgebra homológica: La interacción de la homología con retículos distributivos y semigrupos ortodoxos . World Scientific. pág. 55. ISBN 978-981-4407-06-9.
↑ Peter Burmeister (1993). «Álgebras parciales: una introducción». En Ivo G. Rosenberg; Gert Sabidussi (eds.). Álgebras y órdenes . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-7923-2143-9.
1 2 Alfred Hoblitzelle Clifford; GB Preston (1967). La teoría algebraica de los semigrupos. Volumen II . American Mathematical Soc. pág. xii. ISBN 978-0-8218-0272-4.
1 2 Peter M. Higgins (1992). Técnicas de la teoría de semigrupos . Oxford University Press, Incorporated. pág. 4. ISBN 978-0-19-853577-5.
↑ Olexandr Ganyushkin; Volodymyr Mazorchuk (2008). Semigrupos de transformación finita clásica: una introducción . Springer Science & Business Media. págs. 16 y 24. ISBN 978-1-84800-281-4.

[1] Garrett Birkhoff y Thomas Bartee (1970) Álgebra aplicada moderna , página 13, McGraw-Hill Book Company

[Hollings2014-251-2] 1 2 Christopher Hollings (2014). Matemáticas al otro lado del Telón de Acero: Una historia de la teoría algebraica de los semigrupos . American Mathematical Society. pág. 251. ISBN 978-1-4704-1493-1.

[KoslowskiMelton2001-3] Lutz Schröder (2001). "Categorías: un recorrido gratuito". En Jürgen Koslowski y Austin Melton (ed.). Perspectivas categóricas . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 10.ISBN 978-0-8176-4186-3.

[KoblitzZilber2009-4] Neal Koblitz; B. Zilber; Yu. I. Manin (2009). Un curso de lógica matemática para matemáticos . Springer Science & Business Media. pág. 290. ISBN 978-1-4419-0615-1.

[Borceux1994-5] Francis Borceux (1994). Manual de álgebra categórica: Volumen 2, Categorías y estructuras . Cambridge University Press. pág. 289. ISBN 978-0-521-44179-7.

[Grandis2012-6] Marco Grandis (2012). Álgebra homológica: La interacción de la homología con retículos distributivos y semigrupos ortodoxos . World Scientific. pág. 55. ISBN 978-981-4407-06-9.

[RosenbergSabidussi1993-7] Peter Burmeister (1993). «Álgebras parciales: una introducción». En Ivo G. Rosenberg; Gert Sabidussi (eds.). Álgebras y órdenes . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-7923-2143-9.

[CliffordPreston1967-8] 1 2 Alfred Hoblitzelle Clifford; GB Preston (1967). La teoría algebraica de los semigrupos. Volumen II . American Mathematical Soc. pág. xii. ISBN 978-0-8218-0272-4.

[Higgins1992-9] 1 2 Peter M. Higgins (1992). Técnicas de la teoría de semigrupos . Oxford University Press, Incorporated. pág. 4. ISBN 978-0-19-853577-5.

[GanyushkinMazorchuk2008-10] Olexandr Ganyushkin; Volodymyr Mazorchuk (2008). Semigrupos de transformación finita clásica: una introducción . Springer Science & Business Media. págs. 16 y 24. ISBN 978-1-84800-281-4.

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