Paralelepípedo

En geometría , un paralelepípedo es una figura tridimensional formada por seis paralelogramos (el término romboide también se usa a veces con este significado). Por analogía, se relaciona con un paralelogramo del mismo modo que un cubo se relaciona con un cuadrado . ^{[ a ]}

Tres definiciones equivalentes de paralelepípedo son:

• un hexaedro con tres pares de caras paralelas,
• un poliedro con seis caras ( hexaedro ), cada una de las cuales es un paralelogramo, y
• un prisma cuya base es un paralelogramo .

El paralelepípedo rectangular (seis caras rectangulares ), el cubo (seis caras cuadradas ) y el romboedro (seis caras romboidales ) son todos casos especiales de paralelepípedo.

Paralelepípedo ahora se suele pronunciar / ˌ p ær ə ˌ l ɛ l ɪ ˈ p ɪ p ɪ d / o / ˌ p ær ə ˌ l ɛ l ɪ ˈ p aɪ p ɪ d / ; ^{[ 1 ]} tradicionalmente, era / ˌ p ær ə l ɛ l ˈ ɛ p ɪ p ɛ d / PARR -ə-lel- EP -ih-ped ^{[ 2 ]} debido a su etimología en griego antiguo παραλληλεπίπεδον ( parallēlepípedon ) (con una corta -i-), es decir, un cuerpo "que tiene planos paralelos ".

Los paralelepípedos son una subclase de los prismatoides .

Cualquiera de los tres pares de caras paralelas puede considerarse como la base del prisma. Un paralelepípedo tiene tres conjuntos de cuatro aristas paralelas; las aristas dentro de cada conjunto tienen la misma longitud.

Los paralelepípedos resultan de transformaciones lineales de un cubo (en los casos no degenerados: las transformaciones lineales biyectivas).

Dado que cada cara posee simetría puntual , un paralelepípedo es un zonohedro . Además, el paralelepípedo completo posee simetría puntual C _i (véase también triclínico ). Cada cara, vista desde el exterior, es la imagen especular de la cara opuesta. Las caras son, en general, quirales , pero el paralelepípedo no lo es.

Es posible crear una teselación que llene el espacio con copias congruentes de cualquier paralelepípedo.

Un paralelepípedo es un prisma con un paralelogramo como base. Por lo tanto, el volumen${\displaystyle V}$de un paralelepípedo es el producto del área de la base${\displaystyle B}$y la altura${\displaystyle h}$(ver diagrama). Con

• ${\displaystyle B=\left|\mathbf {a} \right|\cdot \left|\mathbf {b} \right|\cdot \sin \gamma =\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|}$(dónde${\displaystyle \gamma }$es el ángulo entre vectores${\displaystyle \mathbf {a} }$y${\displaystyle \mathbf {b} }$), y
• ${\displaystyle h=\left|\mathbf {c} \right|\cdot \left|\cos \theta \right|}$(dónde${\displaystyle \theta }$es el ángulo entre el vector${\displaystyle \mathbf {c} }$y la normal a la base), se obtiene:

$${\displaystyle V=B\cdot h=\left(\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \gamma \right)\cdot \left|\mathbf {c} \right|\left|\cos \theta \right|=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|\left|\mathbf {c} \right|\left|\cos \theta \right|=\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|.}$$ El producto mixto de tres vectores se llama producto triple . Se puede describir mediante un determinante . Por lo tanto, para${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})^{\mathsf {T}},~\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})^{\mathsf {T}},~\mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3})^{\mathsf {T}},}$El volumen es:

Otra forma de demostrar ( V1 ) es usar el componente escalar en la dirección de${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }$del vector${\displaystyle \mathbf {c} }$: $${\displaystyle {\begin{aligned}V=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|\left|\operatorname {scal} _ {\mathbf {a} \times \mathbf {b} }\mathbf {c} \right|=\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|{\frac {\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|}{\left|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right|}}=\left|\left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)\cdot \mathbf {c} \right|.\end{alineado}}}$$ El resultado es el siguiente.

Una representación alternativa del volumen utiliza únicamente propiedades geométricas (ángulos y longitudes de arista):

dónde${\displaystyle \alpha =\angle (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )}$,${\displaystyle \beta =\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {c} )}$,${\displaystyle \gamma =\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$, y${\displaystyle a,b,c}$son las longitudes de los bordes.

Tetraedro correspondiente

El volumen de cualquier tetraedro que comparte tres aristas convergentes de un paralelepípedo es igual a un sexto del volumen de ese paralelepípedo (ver demostración ).

El área de la superficie de un paralelepípedo es la suma de las áreas de los paralelogramos que lo delimitan: $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=2\cdot \left(|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |+|\mathbf {a} \times \mathbf {c} |+|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |\right)\\&=2\left(ab\sin \gamma +bc\sin \alpha +ca\sin \beta \right).\end{aligned}}}$$ (Para el etiquetado: véase la sección anterior.)

• El paralelepípedo con simetría O _h se conoce como cubo , que tiene seis caras cuadradas congruentes.
• El paralelepípedo con simetría D _4h se conoce como cuboide cuadrado , que tiene dos caras cuadradas y cuatro caras rectangulares congruentes.
• El paralelepípedo con simetría D3d _se conoce como trapezoedro trigonal , que tiene seis caras rómbicas congruentes (también llamado romboedro isoédrico ).
• Para paralelepípedos con simetría D _2h , existen dos casos:
  • Cuboide rectangular : tiene seis caras rectangulares (también llamado paralelepípedo rectangular o, a veces, simplemente cuboide ).
  • Prisma rómbico recto : tiene dos caras rómbicas y cuatro caras rectangulares congruentes.
• Para paralelepípedos con simetría C2h _, existen dos casos:
  • Prisma paralelogramático recto : tiene cuatro caras rectangulares y dos caras paralelas.
  • Prisma rómbico oblicuo : tiene dos caras rómbicas, mientras que de las otras dos caras, dos adyacentes son iguales y las otras dos también (los dos pares son imágenes especulares entre sí).

Un paralelepípedo perfecto es un paralelepípedo con aristas, diagonales de caras y diagonales de espacios de longitud entera . En 2009, se demostró la existencia de docenas de paralelepípedos perfectos, ^{[ 3 ]} respondiendo a una pregunta abierta de Richard Guy . Un ejemplo tiene aristas 271, 106 y 103, diagonales de caras menores 101, 266 y 255, diagonales de caras mayores 183, 312 y 323, y diagonales de espacios 374, 300, 278 y 272.

Se conocen algunos paralelepípedos perfectos con dos caras rectangulares. Pero se desconoce si existen paralelepípedos con todas sus caras rectangulares; tal caso sería un cuboide perfecto .

Coxeter denominó paralelepípedo a la generalización de un paralelepípedo en dimensiones superiores . En la literatura moderna, el término paralelepípedo también se usa con frecuencia en dimensiones superiores (o arbitrariamente finitas). ^{[ 4 ]}

Específicamente en el espacio n -dimensional, se le llama paralelepípedo n- dimensional, o simplemente n -paralelotopo (o n -paralelepípedo). Así, un paralelogramo es un 2-paralelotopo y un paralelepípedo es un 3-paralelotopo.

Las diagonales de un n -paralelotopo se intersecan en un punto y son bisecadas por este punto. La inversión en este punto deja el n -paralelotopo inalterado. Véase también Puntos fijos de grupos de isometría en el espacio euclidiano .

Las aristas que irradian desde un vértice de un k -paralelotopo forman un k -marco${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}$del espacio vectorial, y el paralelotopo se puede recuperar a partir de estos vectores, tomando combinaciones lineales de los vectores, con pesos entre 0 y 1.

El n -volumen de un n -paralelotopo incrustado en${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$dónde${\displaystyle m\geq n}$se puede calcular mediante el determinante de Gram . Alternativamente, el volumen es la norma del producto exterior de los vectores: $${\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|.}$$

Si m = n , esto equivale al valor absoluto del determinante de la matriz formada por las componentes de los n vectores.

Una fórmula para calcular el volumen de un n -paralelotopo P en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, cuyos n + 1 vértices son${\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}}$, es $${\displaystyle \mathrm {Vol} (P)=\left|\det \left(\left[V_{0}\ 1\right]^{\mathsf {T}},\left[V_{1}\ 1\right]^{\mathsf {T}},\ldots ,\left[V_{n}\ 1\right]^{\mathsf {T}}\right)\right|,}$$ dónde${\displaystyle [V_{i}\ 1]}$es el vector fila formado por la concatenación de los componentes de${\displaystyle V_{i}}$y 1.

De manera similar, el volumen de cualquier n - símplex que comparte n aristas convergentes de un paralelepípedo tiene un volumen igual a uno 1/ n ! del volumen de ese paralelepípedo.

El término paralelepípedo proviene del griego antiguo παραλληλεπίπεδον ( parallēlepípedon , «cuerpo con superficies planas paralelas»), de parallēl («paralelo») + epípedon («superficie plana»), de epí- («sobre») + pedon («suelo»). Así, las caras de un paralelepípedo son planas, siendo las caras opuestas paralelas. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

En inglés, el término parallelipipedon está documentado en una traducción de 1570 de los Elementos de Euclides realizada por Henry Billingsley . La grafía parallelepipedum se utiliza en la edición de 1644 del Cursus mathematicus de Pierre Hérigone . En 1663, el paralelepípedo actual aparece documentado en Chorea gigantum de Walter Charleton . ^{[ 5 ]}

El diccionario de Charles Hutton (1795) muestra parallelopiped y parallelopipedon , lo que evidencia la influencia del prefijo parallelo- , como si el segundo elemento fuera pipedon en lugar de epipedon . Noah Webster (1806) incluye la grafía parallelopiped . La edición de 1989 del Oxford English Dictionary describe parallelopiped (y parallelipiped ) explícitamente como formas incorrectas, pero estas aparecen sin comentarios en la edición de 2004, y solo se ofrecen pronunciaciones con énfasis en la quinta sílaba pi ( /paɪ/ ).

• Listas de formas

• Coxeter, HSM Regular Polytopes , 3.ª ed. Nueva York: Dover, pág.  122, 1973. (Define el paralelepípedo como una generalización del paralelogramo y el paralelepípedo en n dimensiones).

• Weisstein, Eric W. "Paralelepípedo" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Paralelotopo" . MathWorld .
• Modelo de paralelepípedo de papel (red)