Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Número Pisot–Vijayaraghavan

En matemáticas , un número de Pisot-Vijayaraghavan (o número de Pisot o número PV ) es un entero algebraico real mayor que 1, cuyos conjugados de Galois son todos menores que 1 ...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

En matemáticas , un número de Pisot-Vijayaraghavan (o número de Pisot o número PV ) es un entero algebraico real mayor que 1, cuyos conjugados de Galois son todos menores que 1 en valor absoluto . Estos números fueron descubiertos por Axel Thue en 1912 y redescubiertos por G. H. Hardy en 1919 en el contexto de la aproximación diofántica . Se hicieron ampliamente conocidos tras la publicación de la tesis doctoral de Charles Pisot en 1938. También aparecen en el problema de unicidad de las series de Fourier . Tirukkannapuram Vijayaraghavan y Raphael Salem continuaron su estudio en la década de 1940. Los números de Salem son un conjunto de números estrechamente relacionados.

Una propiedad característica de los números PV es que sus potencias se aproximan a los enteros a un ritmo exponencial. Pisot demostró un recíproco notable : si α  >  1 es un número real tal que la secuencia

‖αnorte‖{\displaystyle \|\alpha ^{n}\|}

Si al medir la distancia de sus potencias consecutivas al entero más cercano es sumable al cuadrado , o ℓ 2 , entonces α es un número de Pisot (y, en particular, algebraico). Partiendo de esta caracterización de los números PV, Salem demostró que el conjunto S de todos los números PV es cerrado . Su elemento mínimo es una irracionalidad cúbica conocida como la razón plástica . Se sabe mucho sobre los puntos de acumulación de S. El más pequeño de ellos es la razón áurea .

Definición y propiedades

Método de Newton para p(z) = z⁴ − z³ − 1. El segundo número de Pisot χ (derecha) y sus conjugados en los núcleos de sus cuencas de atracción en el plano complejo. Conjunto de Julia del mapa de Newton en naranja, con círculo unitario y curva real como referencia.

Un entero algebraico de grado n es una raíz α de un polinomio mónico irreducible P ( x ) de grado n con coeficientes enteros, su polinomio mínimo . Las demás raíces de P ( x ) se denominan conjugados de α . Si α > 1, pero todas las demás raíces de P ( x ) son números reales o complejos con valor absoluto menor que 1, de modo que se encuentran estrictamente dentro del círculo unitario en el plano complejo , entonces α se denomina número de Pisot , número de Pisot-Vijayaraghavan o simplemente número PV . Por ejemplo, la proporción áurea , φ ≈ 1,618, es un entero cuadrático real mayor que 1, mientras que el valor absoluto de su conjugado, −φ⁻¹ ≈ −0,618, es menor que 1. Por lo tanto, φ es un número de Pisot. Su polinomio mínimo es x² − x − 1.  

Propiedades elementales

  • Todo número entero mayor que 1 es un número PV. Recíprocamente, todo número racional PV es un número entero mayor que 1.
  • Si α es un número PV irracional cuyo polinomio mínimo termina en k, entonces α es mayor que | k |.
  • Si α es un número PV, entonces también lo son sus potencias α k , para todos los exponentes enteros positivos k .
  • Todo cuerpo numérico algebraico real K de grado n contiene un número PV de grado n . Este número es un generador de cuerpo. El conjunto de todos los números PV de grado n en K es cerrado bajo la multiplicación.
  • Dado un límite superior M y un grado n , solo hay un número finito de números PV de grado n que son menores que M.
  • Todo número PV es un número de Perron (un número algebraico real mayor que uno cuyos conjugados tienen todos un valor absoluto menor).

Propiedades diofánticas

El principal interés en los números PV se debe a que sus potencias tienen una distribución muy "sesgada" (módulo 1). Si α es un número PV y λ es cualquier entero algebraico en el campoQ(α){\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}luego la secuencia

‖λαnorte‖,{\displaystyle \|\lambda \alpha ^{n}\|,}

donde || x || denota la distancia del número real x al entero más cercano, y tiende a 0 a una velocidad exponencial. En particular, es una sucesión sumable al cuadrado y sus términos convergen a 0.

Se conocen dos afirmaciones recíprocas: caracterizan los números PV entre todos los números reales y entre los números algebraicos (pero bajo una suposición diofántica más débil).

  • Supongamos que α es un número real mayor que 1 y λ es un número real distinto de cero tal que
∑norte=1∞‖λαnorte‖2<∞.{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\|\lambda \alpha ^{n}\|^{2}<\infty .}
Entonces α es un número de Pisot y λ es un número algebraico en el campo.Q(α){\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}( Teorema de Pisot ).
  • Supongamos que α es un número algebraico mayor que 1 y λ es un número real distinto de cero tal que
‖λαnorte‖→0,norte→∞.{\displaystyle \|\lambda \alpha ^{n}\|\to 0,\quad n\to \infty .}
Entonces α es un número de Pisot y λ es un número algebraico en el campo.Q(α){\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}.

Un problema antiguo de Pisot-Vijayaraghavan pregunta si se puede eliminar la suposición de que α es algebraico del último enunciado. Si la respuesta es afirmativa, los números de Pisot se caracterizarían entre todos los números reales por la convergencia simple de || λα n || a 0 para algún real auxiliar λ . Se sabe que solo hay una cantidad numerable de números α con esta propiedad. [ 1 ] [ 2 ] El problema es decidir si alguno de ellos es trascendental .

Propiedades topológicas

El conjunto de todos los números de Pisot se denota por S. Dado que los números de Pisot son algebraicos, el conjunto S es numerable. Raphael Salem demostró que este conjunto es cerrado : contiene todos sus puntos límite . [ 3 ] Su demostración utiliza una versión constructiva de la principal propiedad diofántica de los números de Pisot: [ 4 ] dado un número de Pisot α , se puede elegir un número real λ de modo que 0 < λ ≤ α y

∑norte=1∞‖λαnorte‖2≤9.{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\|\lambda \alpha ^{n}\|^{2}\leq 9.}

Así, la norma ℓ 2 de la sucesión || λα n || puede acotarse mediante una constante uniforme independiente de α . En el último paso de la demostración, se recurre a la caracterización de Pisot para concluir que el límite de una sucesión de números de Pisot es también un número de Pisot.

La cerrazón de S implica que tiene un elemento mínimo . Carl Siegel demostró que es la raíz positiva de la ecuación x³ − x − 1 = 0 ( constante plástica ) y que está aislado en S. [ 5 ] Construyó dos secuencias de números de Pisot que convergen a la razón áurea φ desde abajo y preguntó si φ es el punto límite más pequeño de S. Esto fue demostrado posteriormente por Dufresnoy y Pisot, quienes también determinaron todos los elementos de S que son menores que φ ; no todos ellos pertenecen a las dos secuencias de Siegel. Vijayaraghavan demostró que S tiene infinitos puntos límite; de ​​hecho, la secuencia de conjuntos derivados

S,S′,S″,…{\displaystyle S,S',S'',\ldots }

no termina. Por otro lado, la intersecciónS(ω){\displaystyle S^{(\omega )}}de estos conjuntos está vacío , lo que significa que el rango de Cantor-Bendixson de S es ω . Aún más precisamente, se ha determinado el tipo de orden de S : [ 6 ] Seaa0=1{\displaystyle a_{0}=1}y para todo n ≥ 1, defina el tipo de orden.

anorte+1=anorteω+1+(anorteω)∗,{\displaystyle a_{n+1}=a_{n}\omega +1+(a_{n}\omega )^{*},}

donde ω es el tipo de orden de los números naturales, a * significa a en orden inverso , y la suma y la multiplicación se interpretan igual que para los números ordinales . Entonces S tiene tipo de orden

ord(S)=∑norte=0∞anorte.{\displaystyle \mathrm {ord} (S)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}

El conjunto de números de Salem , denotado por T , está íntimamente relacionado con S. Se ha demostrado que S está contenido en el conjunto T' de los puntos límite de T. [ 7 ] [ 8 ] Se ha conjeturado que la unión de S y T es cerrada. [ 9 ]

irracionales cuadráticos

Siα{\displaystyle \alpha \,}es un irracional cuadrático, solo hay otro conjugado,α′{\displaystyle \alpha '}, obtenido al cambiar el signo de la raíz cuadrada enα{\displaystyle \alpha }de

α=a+D a α′=a−D{\displaystyle \alpha =a+{\sqrt {D}}{\text{ a }}\alpha '=a-{\sqrt {D}}\,}

o de

α=a+D2 a α′=a−D2.{\displaystyle \alpha ={\frac {a+{\sqrt {D}}}{2}}{\text{ a }}\alpha '={\frac {a-{\sqrt {D}}}{2}}.\,}

Aquí a y D son enteros y en el segundo caso a es impar y D es congruente con 1 módulo 4.

Las condiciones requeridas son α  >  1 y −1  < α' < 1. Estas se satisfacen en el primer caso precisamente cuando a > 0 y o bien     (a−1)2<D<a2{\displaystyle (a-1)^{2}<D<a^{2}}oa2<D<(a+1)2{\displaystyle a^{2}<D<(a+1)^{2}}y se satisfacen en el segundo caso exactamente cuandoa>0{\displaystyle a>0}y cualquiera(a−2)2<D<a2{\displaystyle (a-2)^{2}<D<a^{2}}oa2<D<(a+2)2{\displaystyle a^{2}<D<(a+2)^{2}}.

Por lo tanto, los primeros números irracionales cuadráticos que son números PV son:

Potencias de los números PV

Los números Pisot-Vijayaraghavan se pueden usar para generar casi enteros : la enésima potencia de un número Pisot se aproxima a los enteros a medida que n crece. Por ejemplo,

(3+10)6=27379+865810=54757.9999817⋯≈54758−154758.{\displaystyle (3+{\sqrt {10}})^{6}=27379+8658{\sqrt {10}}=54757.9999817\dots \approx 54758-{\frac {1}{54758}}.}

Desde27379{\displaystyle 27379\,}y865810{\displaystyle 8658{\sqrt {10}}\,}difieren en solo0,0000182…,{\displaystyle 0.0000182\dots ,\,}

273798658=3.162277662…{\displaystyle {\frac {27379}{8658}}=3.162277662\dots }

está extremadamente cerca de

10=3.162277660….{\displaystyle {\sqrt {10}}=3.162277660\dots .}

En efecto

(273798658)2=10+186582.{\displaystyle \left({\frac {27379}{8658}}\right)^{2}=10+{\frac {1}{8658^{2}}}.}

Las potencias más altas proporcionan aproximaciones racionales correspondientemente mejores.

Esta propiedad se deriva del hecho de que, para cada n , la suma de las potencias n -ésimas de un entero algebraico x y sus conjugados es exactamente un entero; esto se deduce de la aplicación de las identidades de Newton . Cuando x es un número de Pisot, las potencias n -ésimas de los demás conjugados tienden a 0 cuando n tiende a infinito. Dado que la suma es un entero, la distancia de x n al entero más cercano tiende a 0 de forma exponencial.

Números pequeños de Pisot

Todos los números de Pisot que no superan la proporción áurea φ han sido determinados por Dufresnoy y Pisot. La tabla que aparece a continuación enumera los diez números de Pisot más pequeños en orden ascendente. [ 10 ]

Dado que estos números PV son menores que 2, todos son unidades: sus polinomios mínimos terminan en 1 o −1. Los polinomios en esta tabla, [ 11 ] con la excepción de

incógnita6−2incógnita5+incógnita4−incógnita2+incógnita−1,{\displaystyle x^{6}-2x^{5}+x^{4}-x^{2}+x-1,}

son factores de cualquiera de

incógnitanorte(incógnita2−incógnita−1)+1{\displaystyle x^{n}(x^{2}-x-1)+1}

o

incógnitanorte(incógnita2−incógnita−1)+(incógnita2−1).{\displaystyle x^{n}(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1).}

El primer polinomio es divisible por x² − 1 cuando n es impar y por x − 1 cuando n es par . Tiene otro cero real, que es un número PV. Dividir cualquiera de los polinomios por x n da expresiones que se aproximan a x² − x − 1 cuando n crece muy grande y tienen ceros que convergen a φ . Un par complementario de polinomios,        

incógnitanorte(incógnita2−incógnita−1)−1{\displaystyle x^{n}(x^{2}-x-1)-1}

y

incógnitanorte(incógnita2−incógnita−1)−(incógnita2−1){\displaystyle x^{n}(x^{2}-x-1)-(x^{2}-1)\,}

produce números de Pisot que se aproximan a φ desde arriba.

La modelización de la turbulencia bidimensional mediante cadenas espirales logarítmicas con autosimilitud definida por un factor de escala constante puede reproducirse con algunos números de Pisot pequeños. [ 12 ]

Referencias

  1. ↑ Schleischitz, Johannes (2014). "Sobre la tasa de acumulación de $αζ^ { n } $ mod 1 a 0". arXiv : 1401.7588 [ math.NT ].
  2. ^ Bertín, MJ; Decomps-Guilloux, A.; Grandet-Hugot, M.; Pathiaux-Delefosse, M.; Schreiber, JP (1992). Números de Pisot y Salem . pag. 95.doi : 10.1007 /978-3-0348-8632-1 . ISBN  978-3-0348-9706-8.
  3. ↑ Salem, R. (1944). "Una clase notable de enteros algebraicos. Demostración de una conjetura de Vijayaraghavan". Duke Math. J. 11 : 103–108 . doi : 10.1215 /s0012-7094-44-01111-7 . Zbl 0063.06657 . 
  4. ↑ Salem (1963) pág. 13
  5. ↑ Siegel, Carl Ludwig (1944). "Enteros algebraicos cuyos conjugados se encuentran en el círculo unitario". Duke Math. J. 11 ( 3): 597– 602. doi : 10.1215/S0012-7094-44-01152-X . Zbl 0063.07005 . 
  6. ↑ Boyd, David W. ; Mauldin, R. Daniel (1996). "El tipo de orden del conjunto de números de Pisot" . Topología y sus aplicaciones . 69 (2): 115– 120. doi : 10.1016/0166-8641(95)00029-1 .
  7. ↑ Salem, R. (1945). "Series de potencias con coeficientes integrales". Duke Math. J. 12 : 153–172 . doi : 10.1215 /s0012-7094-45-01213-0 . Zbl 0060.21601 . 
  8. ↑ Salem (1963) pág. 30
  9. ↑ Salem (1963) pág. 31
  10. ^ Dufresnoy, J.; Pisot, cap. (1955), "Etude de sures fonctions méromorphes bornées sur le cercle unité. Application à un ensemble fermé d'entiers algébriques" , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (en francés), 72 : 69– 92, doi : 10.24033/asens.1030 , MR 0072902 Los números más pequeños se enumeran en orden numérico en la página 92.
  11. ↑ Bertin et al., pág. 133.
  12. ↑ Ö. D. Gürcan; Shaokang Xu; P. Morel (2019). "Modelos de cadena espiral de turbulencia bidimensional" . Physical Review E. 100 ( 4) 043113. arXiv : 1903.09494 . Bibcode : 2019PhRvE.100d3113G . doi : 10.1103/PhysRevE.100.043113 . PMID 31770954 . 
  • MJ Bertín; A. Decomps-Guilloux; el señor Grandet-Hugot; M. Pathiaux-Delefosse; JP Schreiber (1992). Números de Pisot y Salem . Birkhäuser. ISBN 3-7643-2648-4.
  • Borwein, Peter (2002). Excursiones computacionales en análisis y teoría de números . CMS Books in Mathematics. Springer-Verlag . ISBN 0-387-95444-9. Zbl 1020.12001 . Capítulo 3.
  • Boyd, David W. (1978). " Números de Pilot y Salem en intervalos de la recta real" . Math. Comp . 32 (144): 1244– 1260. doi : 10.2307/2006349 . ISSN 0025-5718 . JSTOR 2006349. Zbl 0395.12004 .   
  • Cassels, JWS (1957). Una introducción a la aproximación diofántica . Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. Vol.  45. Cambridge University Press . pp. 133–144 . 
  • Hardy, GH (1919). "Un problema de aproximación diofántica". J. Indian Math. Soc . 11 : 205–243 .
  • Ö. D. Gürcan; Shaokang Xu; P. Morel (2019). "Modelos de cadena espiral de turbulencia bidimensional". Physical Review E . 100 (4) 043113. arXiv : 1903.09494 . Bibcode : 2019PhRvE.100d3113G . doi : 10.1103/PhysRevE.100.043113 . PMID 31770954 . 
  • Pisot, Charles (1938). "La répartition módulo 1 et nombres algébriques". Ana. Carolina del Sur. Norma. Súper. PisaII . Ser. 7 (en francés): 205– 248. Zbl 0019.15502 . 
  • Salem, Raphaël (1963). Números algebraicos y análisis de Fourier . Monografías matemáticas de Heath. Boston, MA: DC Heath and Company . Zbl 0126.07802 . 
  • Martes, Axel (1912). "Über eine Eigenschaft, die keine transzendente Größe haben kann". Christiania Vidensk. Selsk. Skrifter . 2 (20): 1– 15. JFM 44.0480.04 .