Anillo de sobreanillo

En matemáticas, un sobreanillo de un dominio de integridad contiene el dominio de integridad, y el cuerpo de fracciones del dominio de integridad contiene el sobreanillo. Los sobreanillos proporcionan una mejor comprensión de los diferentes tipos de anillos y dominios .

Definición

En este artículo, todos los anillos son anillos conmutativos , y el anillo y el sobreanillo comparten el mismo elemento identidad .

Dejar ${\textstyle Q(A)}$ representan el campo de fracciones de un dominio integral ${\textstyle A}$ . Anillo ${\textstyle B}$ es un anillo superior de dominio integral ${\textstyle A}$ si ${\textstyle A}$ es un subanillo de ${\textstyle B}$ y ${\textstyle B}$ es un subanillo del campo de fracciones ${\textstyle Q(A)}$ ; ^{[ 1 ]}^{: 167} la relación es ${\textstyle A\subseteq B\subseteq Q(A)}$ . ^{[ 2 ]}^{: 373}

Propiedades

Anillo de fracciones

Los anillos ${\textstyle R_{A},S_{A},T_{A}}$ son los anillos de fracciones de anillos ${\textstyle R,S,T}$ por conjunto multiplicativo ${\textstyle A}$ . ^{[ 3 ]}^{: 46} Suponga que ${\textstyle T}$ es un anillo superior de ${\textstyle R}$ y ${\textstyle A}$ es un conjunto multiplicativo en ${\textstyle R}$ El anillo ${\textstyle T_{A}}$ es un anillo superior de ${\textstyle R_{A}}$ El anillo ${\textstyle T_{A}}$ es el anillo total de fracciones de ${\textstyle R_{A}}$ si cada elemento no unitario de ${\textstyle T_{A}}$ es un divisor de cero. ^{[ 4 ]}^{: 52–53} Todo sobreanillo de ${\textstyle R_{A}}$ contenido en ${\textstyle T_{A}}$ es un anillo ${\textstyle S_{A}}$ , y ${\textstyle S}$ es un anillo superior de ${\textstyle R}$ . ^{[ 4 ]}^{: 52–53} Anillo ${\textstyle R_{A}}$ está integralmente cerrado en ${\textstyle T_{A}}$ si ${\textstyle R}$ está integralmente cerrado en ${\textstyle T}$ [ ⁴^]^:^52–53

dominio noetheriano

Definiciones

Un anillo noetheriano satisface las 3 condiciones de finitud equivalentes : i) toda cadena ascendente de ideales es finita, ii) toda familia no vacía de ideales tiene un elemento maximal y iii) todo ideal tiene una base finita . ^{[ 3 ]}^{: 199}

Un dominio integral es un dominio de Dedekind si cada ideal del dominio es un producto finito de ideales primos . ^{[ 3 ]}^{: 270}

La dimensión restringida de un anillo es el rango máximo entre los rangos de todos los ideales primos que contienen un elemento regular. ^{[ 4 ]}^{: 52}

Un anillo ${\textstyle R}$ es localmente libre de nilpotente si cada anillo ${\textstyle R_{M}}$ con el máximo ideal ${\textstyle M}$ está libre de elementos nilpotentes o es un anillo donde cada no-unidad es un divisor de cero . ^{[ 4 ]}^{: 52}

Un anillo afín es la imagen homomórfica de un anillo de polinomios (un álgebra finitamente generada ) sobre un cuerpo . ^[⁴^]^:⁵⁸

Propiedades

Cada anillo superior de un anillo de Dedekind es un anillo de Dedekind. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

Todo anillo superpuesto de una suma directa de anillos cuyos elementos no unitarios son todos divisores de cero es un anillo noetheriano. ^{[ 4 ]}^{: 53}

Todo sobreanillo de un dominio noetheriano unidimensional de Krull es un anillo noetheriano. ^{[ 4 ]}^{: 53}

Estas afirmaciones son equivalentes para el anillo noetheriano. ${\textstyle R}$ con cierre integral ${\textstyle {\bar {R}}}$ . ^{[ 4 ]}^{: 57}

Cada anillo de sobrecarga ${\textstyle R}$ es un anillo noetheriano.
Para cada ideal máximo ${\textstyle M}$ de ${\textstyle R}$ , cada sobreanillo de ${\textstyle R_{M}}$ es un anillo noetheriano.
Anillo ${\textstyle R}$ es localmente nilpotente libre con dimensión restringida 1 o menos.
Anillo ${\textstyle {\bar {R}}}$ es noetheriano y anillo ${\textstyle R}$ tiene dimensión restringida 1 o menos.
Cada anillo de sobrecarga ${\textstyle {\bar {R}}}$ está integralmente cerrado.

Estas afirmaciones son equivalentes para anillos afines. ${\textstyle R}$ con cierre integral ${\textstyle {\bar {R}}}$ . ^{[ 4 ]}^{: 58}

Anillo ${\textstyle R}$ es localmente libre de nilpotentes.
Anillo ${\textstyle {\bar {R}}}$ es un finito ${\textstyle R}$ - módulo .
Anillo ${\textstyle {\bar {R}}}$ es noetheriano.

Un anillo local cerrado integralmente ${\textstyle R}$ es un dominio de integridad o un anillo cuyos elementos distintos de la unidad son todos divisores de cero. ^{[ 4 ]}^{: 58}

Un dominio integral noetheriano es un anillo de Dedekind si todo sobreanillo del anillo noetheriano es integralmente cerrado. ^{[ 7 ]}^{: 198}

Todo sobreanillo de un dominio integral noetheriano es un anillo de fracciones si el dominio integral noetheriano es un anillo de Dedekind con un grupo de clases de torsión. ^{[ 7 ]}^{: 200}

Anillos coherentes

Definiciones

Un anillo coherente es un anillo conmutativo con cada ideal finitamente generado finitamente presentado . ^{[ 2 ]}^{: 373} Los dominios noetherianos y los dominios de Prüfer son coherentes. ^{[ 8 ]}^{: 137}

Un par ${\textstyle (R,T)}$ indica una extensión de dominio integral de ${\textstyle T}$ encima ${\textstyle R}$ . ^{[ 9 ]}^{: 331}

Anillo ${\textstyle S}$ es un dominio intermedio para pares ${\textstyle (R,T)}$ si ${\textstyle R}$ es un subdominio de ${\textstyle S}$ y ${\textstyle S}$ es un subdominio de ${\textstyle T}$ . ^{[ 9 ]}^{: 331}

Propiedades

La dimensión de Krull de un anillo noetheriano es 1 o menor si cada anillo superior es coherente. ^{[ 2 ]}^{: 373}

Para pares de dominios integrales ${\textstyle (R,T)}$ , ${\textstyle T}$ es un anillo superior de ${\textstyle R}$ si cada dominio integral intermedio es integralmente cerrado en ${\textstyle T}$ . ^{[ 9 ]}^{: 332}^{[ 10 ]}^{: 175}

El cierre integral de ${\textstyle R}$ es un dominio de Prüfer si cada anillo superior propio de ${\textstyle R}$ es coherente. ^{[ 8 ]}^{: 137}

Los anillos superiores de los dominios de Prüfer y los dominios noetherianos unidimensionales de Krull son coherentes. ^{[ 8 ]}^{: 138}

Dominios de prueba

Propiedades

Un anillo tiene la propiedad QR si todo sobreanillo es una localización con un conjunto multiplicativo. ^{[ 11 ]}^{: 196} Los dominios QR son dominios de Prüfer. ^{[ 11 ]}^{: 196} Un dominio de Prüfer con un grupo de Picard de torsión es un dominio QR. ^{[ 11 ]}^{: 196} Un dominio de Prüfer es un dominio QR si el radical de todo ideal finitamente generado es igual al radical generado por un ideal principal . ^{[ 12 ]}^{: 500}

La declaración ${\textstyle R}$ un dominio de Prüfer es equivalente a: ^{[ 13 ]}^{: 56}

Cada anillo superior de ${\textstyle R}$ es la intersección de localizaciones de ${\textstyle R}$ , y ${\textstyle R}$ está integralmente cerrado.
Cada anillo superior de ${\textstyle R}$ es la intersección de anillos de fracciones de ${\textstyle R}$ , y ${\textstyle R}$ está integralmente cerrado.
Cada anillo superior de ${\textstyle R}$ tiene ideales primordiales que son extensiones de los ideales primordiales de ${\textstyle R}$ , y ${\textstyle R}$ está integralmente cerrado.
Cada anillo superior de ${\textstyle R}$ tiene como máximo 1 ideal primo que se encuentra sobre cualquier ideal primo de ${\textstyle R}$ , y ${\textstyle R}$ está integralmente cerrado
Cada anillo superior de ${\textstyle R}$ está integralmente cerrado.
Cada anillo superior de ${\textstyle R}$ es coherente.

La declaración ${\textstyle R}$ un dominio de Prüfer es equivalente a: ^{[ 1 ]}^{: 167}

Cada anillo superior $S$ de ${\textstyle R}$ es plano como un $S$ -módulo.
Cada valoración sobreanillo de ${\textstyle R}$ es un anillo de fracciones.

Mínimo exceso de anillo

Definiciones

Un homomorfismo de anillo mínimo ${\textstyle f}$ es un homomorfismo no sobreyectivo inyectivo , y si el homomorfismo ${\textstyle f}$ es una composición de homomorfismos ${\textstyle g}$ y ${\textstyle h}$ entonces ${\textstyle g}$ o ${\textstyle h}$ es un isomorfismo. ^{[ 14 ]}^{: 461}

Una extensión de anillo mínima adecuada ${\textstyle T}$ de subanillo ${\textstyle R}$ ocurre si la inclusión del anillo de ${\textstyle R}$ en ${\textstyle T}$ es un homomorfismo de anillos mínimo. Esto implica el par de anillos. ${\textstyle (R,T)}$ no tiene un anillo intermedio propio. ^{[ 15 ]}^{: 186}

Un anillo de sobreanillo mínimo ${\textstyle T}$ del anillo ${\textstyle R}$ occurs if ${\textstyle T}$ contains ${\textstyle R}$ as a subring, and the ring pair ${\textstyle (R,T)}$ has no proper intermediate ring.^[16]^:60

The Kaplansky ideal transform (Hayes transform, S-transform) of ideal ${\textstyle I}$ with respect to integral domain ${\textstyle R}$ is a subset of the fraction field ${\textstyle Q(R)}$ . This subset contains elements ${\textstyle x}$ such that for each element ${\textstyle y}$ of the ideal ${\textstyle I}$ there is a positive integer ${\textstyle n}$ with the product ${\textstyle x\cdot y^{n}}$ contained in integral domain ${\textstyle R}$ .^[17]^[16]^:60

Properties

Any domain generated from a minimal ring extension of domain ${\textstyle R}$ is an overring of ${\textstyle R}$ if ${\textstyle R}$ is not a field.^[17]^[15]^:186

The field of fractions of ${\textstyle R}$ contains minimal overring ${\textstyle T}$ of ${\textstyle R}$ when ${\textstyle R}$ is not a field.^[16]^:60

Assume an integrally closed integral domain ${\textstyle R}$ is not a field, If a minimal overring of integral domain ${\textstyle R}$ exists, this minimal overring occurs as the Kaplansky transform of a maximal ideal of ${\textstyle R}$ .^[16]^:60

Examples

The Bézout integral domain is a type of Prüfer domain; the Bézout domain's defining property is every finitely generated ideal is a principal ideal. The Bézout domain will share all the overring properties of a Prüfer domain.^[1]^:168

The integer ring is a Prüfer ring, and all overrings are rings of quotients.^[7]^:196 The dyadic rational is a fraction with an integer numerator and power of 2 denominators. The dyadic rational ring is the localization of the integers by powers of two and an overring of the integer ring.

Notes

Referencias

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Dobbs, David E.; Shapiro, Jay (2006). "Una clasificación de las extensiones de anillo mínimas de un dominio integral" . Journal of Algebra . 305 (1): 185– 193. doi : 10.1016/j.jalgebra.2005.10.005 .
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Anillo de sobreanillo

Definición

Propiedades

Anillo de fracciones

dominio noetheriano

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Propiedades

Anillos coherentes

Definiciones

Propiedades

Dominios de prueba

Propiedades

Mínimo exceso de anillo

Definiciones

Properties

Examples

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