Baraja Faro

El barajado faro (estadounidense), el barajado tejido (británico) o el barajado cola de milano es un método para barajar cartas en el que se sujeta la mitad de la baraja en cada mano con los pulgares hacia adentro, y luego se sueltan las cartas con los pulgares para que caigan sobre la mesa intercaladas. Diaconis, Graham y Kantor también lo denominan técnica cuando se utiliza en magia. ^{[ 1 ]}

Los matemáticos utilizan el término "barajado faro" para describir una reorganización precisa de una baraja en dos pilas iguales de 26 cartas que luego se intercalan perfectamente. ^{[ 2 ]}

Un practicante diestro sostiene las cartas desde arriba con la mano izquierda y desde abajo con la derecha. La baraja se divide en dos partes, preferiblemente iguales, simplemente levantando ligeramente la mitad de las cartas con el pulgar derecho y empujando el paquete de la mano izquierda hacia adelante, alejándolo de la derecha. A menudo, los dos paquetes se cruzan y se golpean entre sí para alinearlos. Luego se juntan por los lados cortos y se doblan hacia arriba o hacia abajo. Las cartas caerán entonces alternativamente una sobre la otra, idealmente alternando una a una de cada mitad, como una cremallera . Se puede añadir un adorno juntando los paquetes aplicando presión y doblándolos desde arriba. ^{[ 3 ]}

Una partida de Faro termina con las cartas en dos montones iguales que el repartidor debe combinar para repartirlas en la siguiente partida. Según el mago John Maskelyne , se utilizaba el método anterior, al que denomina «barajado del repartidor de Faro». ^{[ 4 ]} Maskelyne fue el primero en dar instrucciones claras, pero el barajado ya se utilizaba y se asociaba al Faro con anterioridad, como descubrió principalmente el matemático y mago Persi Diaconis . ^{[ 5 ]}

El método Faro es un método de barajado controlado que no aleatoriza completamente la baraja.

Para realizar una mezcla faro perfecta, en la que las cartas se alternan de forma óptima, quien baraja debe cortar la baraja en dos pilas iguales y aplicar la presión justa al juntar las dos mitades.

Una baraja Faro que deja la carta superior original arriba y la carta inferior original abajo se conoce como baraja de salida , mientras que una que mueve la carta superior original al segundo lugar y la carta inferior original al segundo lugar desde abajo se conoce como baraja de entrada . Estos nombres fueron acuñados por el mago y programador informático Alex Elmsley . ^{[ 6 ]}

Un barajado hacia afuera tiene el mismo resultado que retirar las cartas superior e inferior, barajar las cartas restantes hacia adentro y luego volver a colocar las cartas superior e inferior en sus posiciones originales. Los barajados repetidos hacia afuera no pueden invertir el orden de toda la baraja, solo el de las n-2 cartas centrales. Los teoremas matemáticos sobre barajados Faro suelen referirse a barajados hacia afuera.

Una barajada interna tiene el mismo resultado que añadir una carta sobrante en la parte superior y otra en la inferior, barajar la baraja ampliada y, finalmente, retirar las cartas sobrantes. Las barajadas internas repetidas pueden invertir el orden de la baraja.

Si se pueden realizar barajados perfectos, entonces 26 barajados invertirán el orden de la baraja y 26 más la restaurarán a su orden original. ^{[ 7 ]}

En general,${\displaystyle k}$Las reorganizaciones perfectas restablecerán el orden de un${\displaystyle n}$-baraja de cartas si${\displaystyle 2^{k}\equiv 1{\pmod {n+1}}}$Por ejemplo, 52 barajados consecutivos restauran el orden de una baraja de 52 cartas, porque${\displaystyle 2^{52}\equiv 1{\pmod {53}}}$.

En general,${\displaystyle k}$Los barajados perfectos restablecerán el orden de un${\displaystyle n}$-baraja de cartas si${\displaystyle 2^{k}\equiv 1{\pmod {n-1}}}$Por ejemplo, si uno logra realizar ocho barajadas consecutivas, entonces la baraja de 52 cartas volverá a su orden original, porque${\displaystyle 2^{8}\equiv 1{\pmod {51}}}$Sin embargo, solo se requieren 6 barajadas Faro para restablecer el orden de una baraja de 64 cartas.

En otras palabras, el número de barajados necesarios para devolver una baraja de cartas de tamaño par n a su orden original viene dado por el orden multiplicativo de 2 módulo ( n  +  1).

Por ejemplo, para un tamaño de baraja de n = 2, 4, 6, 8, 10, 12 ..., el número de barajados necesarios es: 2, 4, 3, 6, 10, 12, 4, 8, 18, 6, 11, ... (secuencia A002326 en el OEIS ) .

Según la conjetura de Artin sobre raíces primitivas , se deduce que existen infinitos tamaños de baraja que requieren el conjunto completo de n barajadas. ^{[ 8 ]}

La operación análoga a una mezcla de salida para una secuencia infinita es la secuencia de intercalación .

El mago Alex Elmsley descubrió que una serie controlada de barajados, tanto de entrada como de salida, permite mover la carta superior de la baraja a cualquier posición deseada. El truco consiste en expresar la posición deseada de la carta como un número binario y, a continuación, realizar un barajado de entrada por cada 1 y un barajado de salida por cada 0.

Por ejemplo, para bajar la carta superior de modo que haya diez cartas encima, expresa el número diez en binario (1010² ₎ . Baraja hacia adentro, hacia afuera, hacia adentro, hacia afuera. Reparte diez cartas de la parte superior del mazo; la undécima será tu carta original. Observa que no importa si expresas el número diez como 1010² _o 00001010² _; los barajados preliminares hacia afuera no afectarán el resultado porque los barajados hacia afuera siempre mantienen la carta superior arriba.

En matemáticas , una mezcla perfecta puede considerarse un elemento del grupo simétrico .

De manera más general, en${\displaystyle S_{2n}}$La mezcla perfecta es la permutación que divide el conjunto en 2 montones y los intercala:

${\displaystyle S_{2n}}$=${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4&\cdots &2n-1&2n\\1&n+1&2&n+2&\cdots &n&2n\end{pmatrix}}}$

En otras palabras, es el mapa

${\displaystyle k\mapsto {\begin{cases}{\frac {k+1}{2}}&k\ {\text{impar}}\\n+{\frac {k}{2}}&k\ {\text{par}}\end{cases}}}$

Análogamente, el${\displaystyle (k,n)}$-permutación de barajado perfecto ^{[ 9 ]} es el elemento de${\displaystyle S_{kn}}$que divide el conjunto en k pilas y las intercala.

El${\displaystyle (2,n)}$-baraja perfecta, denotada${\displaystyle \rho _{n}}$, es la composición de la${\displaystyle (2,n-1)}$-barajado perfecto con un${\displaystyle n}$-ciclo, por lo tanto el signo de${\displaystyle \rho _{n}}$es:

${\displaystyle {\mbox{sgn}}(\rho _{n})=(-1)^{n+1}{\mbox{sgn}}(\rho _{n-1}).}$

El signo es, por lo tanto, 4-periódico:

${\displaystyle {\mbox{sgn}}(\rho _{n})=(-1)^{\lfloor n/2\rfloor }={\begin{cases}+1&n\equiv 0,1{\pmod {4}}\\-1&n\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

Las primeras barajadas perfectas son:${\displaystyle \rho _{0}}$y${\displaystyle \rho _{1}}$son triviales y${\displaystyle \rho _{2}}$es la transposición${\displaystyle (23)\in S_{4}}$.

• Diaconis, Persi ; Graham, RL ; Kantor, WM (1983). "Las matemáticas de las mezclas aleatorias perfectas" (PDF) . Avances en Matemática Aplicada . 4 (2): 175– 196. doi : 10.1016/0196-8858(83)90009-X .

• Ellis, J.; Fan, H.; Shallit, J. (2002). "Los ciclos de la permutación de mezcla perfecta multiway" (PDF) . Matemáticas discretas y ciencias de la computación teórica . 5 308: 169– 180. doi : 10.46298/dmtcs.308 . Recuperado el 26 de diciembre de 2013 .

• Maskelyne, John (1894). Sharps and Flats: A Complete Revelation of the Secrets of Cheating at Games of Chance and Skill . Longmans, Green and Company . Recuperado el 26 de diciembre de 2013 .

• Morris, S. Brent (1998). Trucos de magia, barajado de cartas y memorias informáticas dinámicas . The Mathematical Association of America. ISBN 0-883-85527-5Consultado el 26 de diciembre de 2013 .

• Kolata, Gina (abril de 1982). "Barajadas perfectas y su relación con las matemáticas". Science . 216 (4545): 505– 506. Bibcode : 1982Sci...216..505K . doi : 10.1126/science.216.4545.505 . PMID 17735734 . 

• Jain, Peiyush (mayo de 2008). "Un algoritmo simple in situ para in-shuffles". arXiv : 0805.1598 [ cs.DS ].