Oscilación (matemáticas)

La oscilación de una secuencia (mostrada en azul) es la diferencia entre el límite superior y el límite inferior de la secuencia.

En matemáticas , la oscilación de una función o una sucesión es un número que cuantifica cuánto varía dicha sucesión o función entre sus valores extremos al aproximarse al infinito o a un punto. Al igual que con los límites , existen varias definiciones que transforman el concepto intuitivo en una forma adecuada para el tratamiento matemático: oscilación de una sucesión de números reales , oscilación de una función de valores reales en un punto y oscilación de una función en un intervalo (o conjunto abierto ).

Definiciones

Oscilación de una secuencia

Dejar $(a_{n})$ sea una secuencia de números reales. La oscilación $\omega (a_{n})$ de esa secuencia se define como la diferencia (posiblemente infinita) entre el límite superior y el límite inferior de $(a_{n})$ :

\omega (a_{n})=\limsup _{n\to \infty }a_{n}-\liminf _{n\to \infty }a_{n}

.

La oscilación es cero si y solo si la secuencia converge. Es indefinida si $\limsup _ {n\to \infty }$ y $\liminf _{n\to \infty }$ son ambos iguales a +∞ o ambos iguales a −∞, es decir, si la secuencia tiende a +∞ o −∞.

Oscilación de una función en un conjunto abierto

Dejar $f$ sea una función de valor real de una variable real . La oscilación de $f$ a intervalos $I$ en su dominio está la diferencia entre el supremo y el ínfimo de $f$ :

\omega _{f}(I)=\sup _{x\in I}f(x)-\inf _{x\in I}f(x).

En términos más generales, si $f:X\to \mathbb {R}$ es una función en un espacio topológico $X$ (como un espacio métrico ), entonces la oscilación de $f$ en un escenario abierto $U$ es

\omega _{f}(U)=\sup _{x\in U}f(x)-\inf _{x\in U}f(x).

Oscilación de una función en un punto

La oscilación de una función $f$ de una variable real en un punto $x_{0}$ se define como el límite como $\epsilon \to 0$ de la oscilación de $f$ en un $\epsilon$ -vecindario de $x_{0}$ :

\omega _{f}(x_{0})=\lim _{\epsilon \to 0}\omega _{f}(x_{0}-\epsilon ,x_{0}+\epsilon ).

Esto es lo mismo que la diferencia entre el límite superior y el límite inferior de la función en $x_{0}$ , siempre que el punto $x_{0}$ no está excluido de los límites.

En términos más generales, si $f:X\to \mathbb {R}$ es una función de valor real en un espacio métrico , entonces la oscilación es

\omega _{f}(x_{0})=\lim _{\epsilon \to 0}\omega _{f}(B_{\epsilon }(x_{0})).

Ejemplos

${\frac {1}{x}}$ tiene oscilación ∞ en $x$ = 0, y oscilación 0 en otros valores finitos $x$ y en −∞ y +∞.
$\sin {\frac {1}{x}}$ (la curva sinusoidal del topólogo ) tiene oscilación 2 en $x$ = 0, y 0 en cualquier otro caso.
$\sin x$ tiene oscilación 0 en cada finito $x$ y 2 en −∞ y +∞.
$(-1)^{x}$ o 1, −1, 1, −1, 1, −1... tiene oscilación 2.

En el último ejemplo, la secuencia es periódica , y cualquier secuencia periódica sin ser constante tendrá una oscilación distinta de cero. Sin embargo, la oscilación distinta de cero no suele indicar periodicidad.

Geométricamente, la gráfica de una función oscilante en los números reales sigue una trayectoria en el plano xy , sin converger hacia regiones cada vez más pequeñas. En los casos predecibles, la trayectoria puede parecer un bucle que regresa sobre sí mismo, es decir, un comportamiento periódico; en los peores casos, un movimiento bastante irregular que abarca toda una región.

Continuidad

La oscilación puede usarse para definir la continuidad de una función , y es fácilmente equivalente a la definición usual ε - δ (en el caso de funciones definidas en cualquier punto de la recta real): una función ƒ es continua en un punto x ₀ si y solo si la oscilación es cero; ^{[ 1 ]} en símbolos, $\omega _{f}(x_{0})=0.$ Una ventaja de esta definición es que cuantifica la discontinuidad: la oscilación indica hasta qué punto la función es discontinua en un punto.

Por ejemplo, en la clasificación de discontinuidades :

En una discontinuidad removible , la distancia en la que se desvía el valor de la función es la oscilación;
En una discontinuidad de salto , el tamaño del salto es la oscilación (suponiendo que el valor en el punto se encuentra entre estos límites de los dos lados);
En una discontinuidad esencial , la oscilación mide la ausencia de un límite.

Esta definición es útil en la teoría descriptiva de conjuntos para estudiar el conjunto de discontinuidades y puntos continuos –los puntos continuos son la intersección de los conjuntos donde la oscilación es menor que ε (por lo tanto, un conjunto G _δ )– y proporciona una demostración muy rápida de una dirección de la condición de integrabilidad de Lebesgue . ^{[ 2 ]}

La oscilación es equivalente a la definición ε - δ mediante una simple reordenación, y utilizando un límite ( lim sup , lim inf ) para definir la oscilación: si (en un punto dado) para un ε ₀ dado no hay ningún δ que satisfaga la definición ε - δ , entonces la oscilación es al menos ε ₀ , y recíprocamente si para cada ε hay un δ deseado, la oscilación es 0. La definición de oscilación puede generalizarse naturalmente a aplicaciones de un espacio topológico a un espacio métrico.

Generalizaciones

De forma más general, si f : X → Y es una función de un espacio topológico X a un espacio métrico Y , entonces la oscilación de f se define en cada x ∈ X por

\omega (x)=\inf \left\{\mathrm {diam} (f(U))\mid U\mathrm {\ es\ un\ entorno\ de\ } x\right\}

Véase también

Referencias

↑ Introducción al análisis real , actualizado en abril de 2010, William F. Trench, Teorema 3.5.2, pág. 172
↑ Introducción al análisis real , actualizado en abril de 2010, William F. Trench, 3.5 "Una mirada más avanzada a la existencia de la integral de Riemann propia", págs. 171-177

Lecturas adicionales

Hewitt y Stromberg (1965). Análisis real y abstracto . Springer-Verlag. pág . 78. ISBN 9780387901381.
Oxtoby, J. (1996). Medida y categoría (4.ª ed.). Springer-Verlag. pp. 31–35 . ISBN 978-0-387-90508-2.
Pugh, CC (2002). Análisis matemático real . Nueva York: Springer. pp. 164–165 . ISBN 0-387-95297-7.{{cite book}}: CS1 mantenimiento: ubicación del editor ( enlace )

[1] Introducción al análisis real , actualizado en abril de 2010, William F. Trench, Teorema 3.5.2, pág. 172

[2] Introducción al análisis real , actualizado en abril de 2010, William F. Trench, 3.5 "Una mirada más avanzada a la existencia de la integral de Riemann propia", págs. 171-177

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