Extensión de mineral

En matemáticas , especialmente en el área del álgebra conocida como teoría de anillos , una extensión de Ore , que recibe su nombre de Øystein Ore , es un tipo especial de extensión de anillo cuyas propiedades se comprenden relativamente bien. Los elementos de una extensión de Ore se denominan polinomios de Ore .

Las extensiones de mineral aparecen en varios contextos naturales, incluidos los anillos de polinomios diferenciales y sesgados , las álgebras de grupo de grupos policíclicos , las álgebras envolventes universales de álgebras de Lie resolubles y los anillos de coordenadas de grupos cuánticos .

Supongamos que R es un anillo (no necesariamente conmutativo ) ,${\displaystyle \sigma \colon R\to R}$es un homomorfismo de anillos y${\displaystyle \delta \colon R\to R}$es una σ -derivación de R , lo que significa que${\displaystyle \delta }$es un homomorfismo de grupos abelianos que satisface

${\displaystyle \delta (r_{1}r_{2})=\sigma (r_{1})\delta (r_{2})+\delta (r_{1})r_{2}}$.

Luego la extensión de mineral${\displaystyle R[x;\sigma ,\delta ]}$, también llamado anillo de polinomios sesgados , es el anillo no conmutativo que se obtiene al dar el anillo de polinomios${\displaystyle R[x]}$una nueva multiplicación, sujeta a la identidad

${\displaystyle xr=\sigma (r)x+\delta (r)}$.

Si δ = 0 (es decir, es la aplicación cero), entonces la extensión de Ore se denota R [ x ; σ ]. Si σ = 1 (es decir, la aplicación identidad ), entonces la extensión de Ore se denota R [ x , δ ] y se llama anillo de polinomios diferenciales .

Las álgebras de Weyl son extensiones de Ore, donde R es cualquier anillo de polinomios conmutativo , σ es el endomorfismo del anillo identidad y δ es la derivada polinómica . Las álgebras de Ore son una clase de extensiones de Ore iteradas bajo restricciones adecuadas que permiten desarrollar una extensión no conmutativa de la teoría de bases de Gröbner .

• Una extensión de Ore de un dominio es un dominio.
• Una extensión de Ore de un cuerpo sesgado es un dominio de ideales principales no conmutativo .
• Si σ es un automorfismo y R es un anillo noetheriano izquierdo , entonces la extensión de Ore R [ λ ; σ , δ ] también es noetheriana izquierda.

Un elemento f de un anillo de Ore R se llama

• bilateral ^{[ 1 ]} (o invariante ^{[ 2 ]} ), si R·f = f·R , y
• central , si g · f = f·g para todo g en R.

• Goodearl, KR; Warfield, RB Jr. (2004), Introducción a los anillos noetherianos no conmutativos, Segunda edición , Textos para estudiantes de la Sociedad Matemática de Londres, vol.  61, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-54537-4, MR 2080008 
• McConnell, JC; Robson, JC (2001), Anillos noetherianos no conmutativos , Estudios de posgrado en matemáticas , vol.  30, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2169-5, MR 1811901 
• Azeddine Ouarit (1992) Extensiones de ore d'anneaux noetheriens á ip, Comm. Álgebra, 20 N° 6,1819-1837. https://zbmath.org/?q=an:0754.16014
• Azeddine Ouarit (1994) Un comentario sobre la propiedad Jacobson de las extensiones de PI Ore. (Une remarque sur la propriété de Jacobson des extensions de Ore a IP) (francés) Zbl 0819.16024. Arco. Matemáticas. 63, núm. 2, 136-139 (1994). https://zbmath.org/?q=an:00687054
• Rowen, Louis H. (1988), Teoría de anillos, vol. I, II , Matemáticas puras y aplicadas, vol.  127, 128, Boston, MA: Academic Press , ISBN 0-12-599841-4, MR 0940245