Teorema de Feit-Thompson

Esto es fácil en el caso CA porque la relación " a conmuta con b " es una relación de equivalencia en los elementos no identidad. Así, los elementos se dividen en clases de equivalencia, de modo que cada clase de equivalencia es el conjunto de elementos no identidad de un subgrupo abeliano maximal. Los normalizadores de estos subgrupos abelianos maximales resultan ser exactamente los subgrupos propios maximales de G. Estos normalizadores son grupos de Frobenius cuya teoría de caracteres es razonablemente transparente y adecuada para manipulaciones que involucran inducción de caracteres . Además, el conjunto de divisores primos de | G | se particiona según los primos que dividen los órdenes de las distintas clases de conjugación de los subgrupos abelianos maximales de | G |. Este patrón de partición de los divisores primos de | G | Según las clases de conjugación de ciertos subgrupos de Hall (un subgrupo de Hall es aquel cuyo orden e índice son primos relativos) que corresponden a los subgrupos máximos de G (salvo conjugación), esto se repite tanto en la demostración del teorema CN de Feit-Hall-Thompson como en la demostración del teorema de orden impar de Feit-Thompson.

Each maximal subgroup M has a certain nilpotent Hall subgroup M_σ with normalizer contained in M, whose order is divisible by certain primes forming a set σ(M). Two maximal subgroups are conjugate if and only if the sets σ(M) are the same, and if they are not conjugate then the sets σ(M) are disjoint. Every prime dividing the order of G occurs in some set σ(M). So the primes dividing the order of G are partitioned into equivalence classes corresponding to the conjugacy classes of maximal subgroups.

The proof of the CN-case is already considerably more difficult than the CA-case: the main extra problem is to prove that two different Sylow subgroups intersect in the identity. This part of the proof of the odd-order theorem takes over 100 journal pages. A key step is the proof of the Thompson uniqueness theorem, stating that abelian subgroups of normal rank at least 3 are contained in a unique maximal subgroup, which means that the primes p for which the Sylow p-subgroups have normal rank at most 2 need to be considered separately. Bender later simplified the proof of the uniqueness theorem using Bender's method. Whereas in the CN-case, the resulting maximal subgroups M are still Frobenius groups, the maximal subgroups that occur in the proof of the odd-order theorem need no longer have this structure, and the analysis of their structure and interplay produces 5 possible types of maximal subgroups, called types I, II, III, IV, V.

Type I subgroups are of "Frobenius type", a slight generalization of Frobenius group, and in fact later on in the proof are shown to be Frobenius groups. They have the structure M_F⋊U where M_F is the largest normal nilpotent Hall subgroup, and U has a subgroup U₀ with the same exponent such that M_F⋊U₀ is a Frobenius group with kernel M_F. Types II, III, IV, V are all 3-step groups with structure M_F⋊U⋊W₁, where M_F⋊U is the derived subgroup of M. The subdivision into types II, III, IV and V depends on the structure and embedding of the subgroup U as follows:

• Type II: U is nontrivial abelian and its normalizer is not contained in M.
• Type III: U is nontrivial abelian and its normalizer is contained in M.
• Type IV: U is nonabelian.
• Type V: U is trivial.

All but two classes of maximal subgroups are of type I, but there may also be two extra classes of maximal subgroups, one of type II, and one of type II, III, IV, or V.

If X is an irreducible character of the normalizer H of the maximal abelian subgroup A of the CA group G, not containing A in its kernel, we can induce X to a character Y of G, which is not necessarily irreducible. Because of the known structure of G, it is easy to find the character values of Y on all but the identity element of G. This implies that if X₁ and X₂ are two such irreducible characters of H and Y₁ and Y₂ are the corresponding induced characters, then Y₁ − Y₂ is completely determined, and calculating its norm shows that it is the difference of two irreducible characters of G (these are sometimes known as exceptional characters of G with respect to H). A counting argument shows that each non-trivial irreducible character of G arises exactly once as an exceptional character associated to the normalizer of some maximal abelian subgroup of G.

A similar argument (but replacing abelian Hall subgroups by nilpotent Hall subgroups) works in the proof of the CN-theorem. However, in the proof of the odd-order theorem, the arguments for constructing characters of G from characters of subgroups are far more delicate, and use the Dade isometry between character rings rather than character induction, since the maximal subgroups have a more complicated structure and are embedded in a less transparent way. The theory of exceptional characters is replaced by the theory of a coherent set of characters to extend the Dade isometry. Roughly speaking, this theory says that the Dade isometry can be extended unless the groups involved have a certain precise structure.^[13]

En el paso 2, tenemos una descripción completa y precisa de la tabla de caracteres del grupo CA G. A partir de esto, y utilizando el hecho de que G tiene un orden impar, se dispone de información suficiente para obtener estimaciones de | G | y llegar a una contradicción con la suposición de que G es simple. Esta parte del argumento funciona de manera similar en el caso del grupo CN.

En la demostración del teorema de Feit-Thompson, sin embargo, este paso es (como de costumbre) mucho más complicado. La teoría de caracteres solo elimina algunas de las configuraciones posibles que quedan después del paso 1. Primero, demuestran que los subgrupos maximales de tipo I son todos grupos de Frobenius. Si todos los subgrupos maximales son de tipo I, entonces un argumento similar al caso CN muestra que el grupo G no puede ser un grupo simple mínimo de orden impar, por lo que hay exactamente dos clases de subgrupos maximales de tipos II, III, IV o V. La mayor parte del resto de la demostración se centra ahora en estos dos tipos de subgrupos maximales S y T y la relación entre ellos. Más argumentos basados ​​en la teoría de caracteres muestran que no pueden ser de tipo IV o V. Los dos subgrupos tienen una estructura precisa: el subgrupo S es de orden p ^q × q ×( p ^q –1)/( p –1) y consta de todos los automorfismos del conjunto subyacente del cuerpo finito de orden p ^q de la forma x → ax ^σ + b donde a tiene norma 1 y σ es un automorfismo del cuerpo finito, donde p y q son primos distintos. El subgrupo maximal T tiene una estructura similar con p y q invertidos. Los subgrupos S y T están estrechamente relacionados. Tomando p > q , se puede demostrar que el subgrupo cíclico de S de orden ( p ^q –1)/( p –1) es conjugado a un subgrupo del subgrupo cíclico de T de orden ( q ^p –1)/( q –1). (En particular, el primer número divide al segundo, por lo que si la conjetura de Feit-Thompson es cierta, afirmaría que esto no puede ocurrir, y esto podría usarse para finalizar la demostración en este punto. Sin embargo, la conjetura aún no ha sido demostrada. ^{[ 14 ]} )

La conclusión de aplicar la teoría de caracteres al grupo G es que G tiene la siguiente estructura: existen primos p > q tales que ( p ^q –1)/( p –1) es coprimo con p –1 y G tiene un subgrupo dado por el producto semidirecto PU donde P es el grupo aditivo de un cuerpo finito de orden p ^q y U sus elementos de norma 1. Además, G tiene un subgrupo abeliano Q de orden primo con p que contiene un elemento y tal que P ₀ normaliza Q y ( P ₀ ) ^y normaliza U , donde P ₀ es el grupo aditivo del cuerpo finito de orden p . (Para p =2 ocurre una configuración similar en el grupo SL ₂ (2 ^q ), con PU un subgrupo de Borel de matrices triangulares superiores y Q el subgrupo de orden 3 generado por${\displaystyle \scriptstyle y=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&1\end{smallmatrix}}\right)}$.) Para eliminar este último caso, Thompson utilizó algunas manipulaciones terriblemente complicadas con generadores y relaciones , que luego fueron simplificadas por Peterfalvi (1984) ^{[ 15 ]} La demostración examina el conjunto de elementos a en el cuerpo finito de orden p ^q tales que a y 2–a tienen ambos norma 1. Primero se comprueba que este conjunto tiene al menos un elemento distinto de 1. Luego, un argumento bastante difícil utilizando generadores y relaciones en el grupo G muestra que el conjunto es cerrado bajo tomar inversos. Si a está en el conjunto y no es igual a 1, entonces el polinomio N((1– a ) x +1)–1 tiene grado q y tiene al menos p raíces distintas dadas por los elementos x en F _p , utilizando el hecho de que x →1/(2– x ) mapea el conjunto en sí mismo, por lo que p ≤ q , contradiciendo la suposición p > q .