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Paridad (matemáticas)

Regletas Cuisenaire : 5 (amarillas) no se pueden dividir exactamente en 2 (rojas) por dos regletas cualesquiera del mismo color/longitud, mientras que 6 (verde oscuro) se pueden...

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Regletas Cuisenaire : 5 (amarillas) no se pueden dividir exactamente en 2 (rojas) por dos regletas cualesquiera del mismo color/longitud, mientras que 6 (verde oscuro) se pueden dividir exactamente en 2 por 3 (verde lima).

En matemáticas , la paridad es la propiedad de un número entero que determina si es par o impar . Un número entero es par si es divisible por 2, e impar si no lo es. [ 1 ] Por ejemplo, −4, 0 y 82 son números pares, mientras que −3, 5 y 23 son números impares.

La definición anterior de paridad se aplica únicamente a números enteros; por lo tanto , no puede aplicarse a números con fracciones o decimales, como 1/2 o 4,6978 . Véase la sección «  Matemáticas superiores» para consultar algunas extensiones del concepto de paridad a una clase más amplia de «números» o en otros contextos más generales.

Los números pares e impares tienen paridades opuestas, por ejemplo, 22 (un número par) y 13 (un número impar). En particular, la paridad del cero es par. [ 2 ] Cualquier par de enteros consecutivos tiene paridad opuesta. Un entero expresado en el sistema numérico decimal es par o impar según si su último dígito es par o impar. Es decir, si el último dígito es 1, 3, 5, 7 o 9, entonces es impar; de lo contrario, es par, ya que el último dígito de cualquier número par es 0, 2, 4, 6 u 8. [ 3 ]

Este concepto se aplica a cualquier sistema de base par: cualquier número entero expresado en el sistema numérico binario es impar si su último dígito es 1; y es par si su último dígito es 0. En una base impar, el número es par si y solo si la suma de sus dígitos es par; por ejemplo, en base siete , 11 (equivalente a 8 en base diez) es par (porque ) y 115 (equivalente a 61 en base diez) es impar (porque ). [ 3 ]Σ=2{\displaystyle \Sigma =2}Σ=7{\displaystyle \Sigma =7}

Definición

Un número par es un entero de la forma donde k es un entero; [ 4 ] un número impar es un entero de la forma incógnita=2k{\displaystyle x=2k}incógnita=2k+1.{\displaystyle x=2k+1.}

Una definición equivalente es que un número par es divisible por 2 y un número impar no lo es: 2 | incógnita{\displaystyle 2\ |\ x}2⧸| incógnita{\displaystyle 2\not |\ x}

Los conjuntos de números pares e impares se pueden definir de la siguiente manera: [ 5 ]{2k:k∈Z}{\displaystyle \{2k:k\in \mathbb {Z} \}}{2k+1:k∈Z}{\displaystyle \{2k+1:k\in \mathbb {Z} \}}

El conjunto de los números pares es un ideal primo de y el anillo cociente es el cuerpo con dos elementos . La paridad se puede definir como el homomorfismo de anillos único de a donde los números impares son 1 y los pares son 0. Las consecuencias de este homomorfismo se analizan más adelante.Z{\displaystyle \mathbb {Z} }Z/2Z{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }Z{\displaystyle \mathbb {Z} }Z/2Z{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }

Propiedades

Las siguientes leyes se pueden verificar utilizando las propiedades de divisibilidad . Son un caso especial de reglas en aritmética modular y se usan comúnmente para comprobar si una igualdad es probablemente correcta mediante la prueba de la paridad de cada lado. Al igual que en la aritmética ordinaria, la multiplicación y la suma son conmutativas y asociativas en la aritmética módulo 2, y la multiplicación es distributiva sobre la suma. Sin embargo, la resta en módulo 2 es idéntica a la suma, por lo que la resta también posee estas propiedades, lo cual no es cierto para la aritmética entera normal.

Suma y resta

  • par ± par = par; [ 1 ]
  • par ± impar = impar;
  • impar ± impar = par;

Multiplicación

  • par × par = par;
  • par × impar = par;
  • impar × impar = impar.

Por construcción en la sección anterior, la estructura ({par, impar}, +, ×) es de hecho el campo con dos elementos .

División

La división de dos números enteros no necesariamente da como resultado un número entero. Por ejemplo, 1 dividido entre 4 es igual a 1/4, que no es ni par ni impar, ya que los conceptos de paridad e imparidad solo se aplican a los números enteros. Pero cuando el cociente es un número entero, será par si y solo si el dividendo tiene más factores de dos que el divisor. [ 6 ]

Historia

Los antiguos griegos consideraban que el 1, la mónada , no era ni completamente impar ni completamente par. [ 7 ] Parte de este sentimiento sobrevivió hasta el siglo XIX: La educación del hombre de Friedrich Wilhelm August Fröbel , de 1826, instruye al maestro a instruir a los estudiantes con la afirmación de que el 1 no es ni par ni impar, a lo que Fröbel adjunta la reflexión filosófica posterior,

Es conveniente dirigir la atención del alumno de inmediato hacia una ley fundamental, tanto de la naturaleza como del pensamiento. Esta ley establece que entre dos cosas o ideas relativamente diferentes siempre existe un tercero, en una especie de equilibrio, que parece unirlas. Así, entre los números pares e impares hay un número (uno) que no es ninguno de los dos. De manera similar, en la forma, el ángulo recto se sitúa entre los ángulos agudos y obtusos; y en el lenguaje, las semivocales o aspirantes entre las mudas y las vocales. Un maestro reflexivo y un alumno educado para pensar por sí mismo difícilmente podrán dejar de notar esta y otras leyes importantes. [ 8 ]

matemáticas superiores

Dimensiones superiores y clases de números más generales

Cada uno de los alfiles blancos está confinado a casillas de la misma paridad; el caballo negro solo puede saltar a casillas de paridad alterna.

Las coordenadas enteras de los puntos en espacios euclidianos de dos o más dimensiones también tienen paridad, generalmente definida como la paridad de la suma de las coordenadas. Por ejemplo, la red cúbica centrada en las caras y sus generalizaciones de dimensiones superiores (las redes D n ) consisten en todos los puntos enteros cuyas coordenadas tienen una suma par. [ 9 ] Esta característica también se manifiesta en el ajedrez , donde la paridad de una casilla se indica por su color: los alfiles están restringidos a moverse entre casillas de la misma paridad, mientras que los caballos alternan la paridad entre movimientos. [ 10 ] Esta forma de paridad se utilizó para resolver el problema del tablero mutilado : si se eliminan dos casillas de esquina opuestas de un tablero de ajedrez, el tablero restante no puede cubrirse con dominós, porque cada dominó cubre una casilla de cada paridad y hay dos casillas más de una paridad que de la otra. [ 11 ]

La paridad de un número ordinal puede definirse como par si el número es un ordinal límite , o un ordinal límite más un número par finito, e impar en caso contrario. [ 12 ]

Sea R un anillo conmutativo y sea I un ideal de R cuyo índice es 2. Los elementos de la clase lateral se denominan pares , mientras que los elementos de la clase lateral se denominan impares . Como ejemplo, sea R = Z (2) la localización de Z en el ideal primo (2). Entonces, un elemento de R es par o impar si y solo si su numerador es par o impar en Z.0+I{\displaystyle 0+I}1+I{\displaystyle 1+I}

teoría de números

Los números pares forman un ideal en el anillo de los enteros, [ 13 ] pero los impares no ; esto se deduce del hecho de que el elemento neutro de la suma, el cero, pertenece únicamente a los números pares. Un entero es par si es congruente con 0 módulo este ideal, es decir, si es congruente con 0 módulo 2, e impar si es congruente con 1 módulo 2.

Todos los números primos son impares, con una excepción: el número primo 2. [ 14 ] Todos los números perfectos conocidos son pares; se desconoce si existen números perfectos impares. [ 15 ]

La conjetura de Goldbach afirma que todo entero par mayor que 2 puede representarse como la suma de dos números primos. Los cálculos informáticos modernos han demostrado que esta conjetura es cierta para enteros de hasta al menos 4 × 10¹⁸ , pero aún no se ha encontrado una prueba general . [ 16 ]

teoría de grupos

Rubik's Revenge en estado resuelto

La paridad de una permutación (tal como se define en álgebra abstracta ) es la paridad del número de transposiciones en las que se puede descomponer la permutación. [ 17 ] Por ejemplo, (ABC) a (BCA) es par porque se puede hacer intercambiando A y B y luego C y A (dos transposiciones). Se puede demostrar que ninguna permutación se puede descomponer en un número par e impar de transposiciones. Por lo tanto, la definición anterior es adecuada. En el Cubo de Rubik , el Megaminx y otros rompecabezas giratorios, los movimientos del rompecabezas solo permiten permutaciones pares de las piezas, por lo que la paridad es importante para comprender el espacio de configuración de estos rompecabezas. [ 18 ]

El teorema de Feit-Thompson establece que un grupo finito siempre es resoluble si su orden es impar. Este es un ejemplo de cómo los números impares desempeñan un papel en un teorema matemático avanzado, donde el método de aplicación de la simple hipótesis de "orden impar" dista mucho de ser obvio. [ 19 ]

Análisis

La paridad de una función describe cómo cambian sus valores cuando sus argumentos se intercambian con sus negaciones. Una función par, como una potencia par de una variable, da el mismo resultado para cualquier argumento que para su negación. Una función impar, como una potencia impar de una variable, da para cualquier argumento la negación de su resultado cuando se le da la negación de ese argumento. Es posible que una función no sea ni impar ni par, y que, en el caso f ( x )  =  0, sea tanto impar como par. [ 20 ] La serie de Taylor de una función par contiene solo términos cuyo exponente es un número par, y la serie de Taylor de una función impar contiene solo términos cuyo exponente es un número impar. [ 21 ]

teoría de juegos combinatoria

En la teoría de juegos combinatorios , un número malvado es aquel que tiene un número par de 1s en su representación binaria , y un número odioso es aquel que tiene un número impar de 1s en su representación binaria; estos números desempeñan un papel importante en la estrategia del juego Kayles . [ 22 ] La función de paridad asigna a un número el número de 1s en su representación binaria, módulo 2 , por lo que su valor es cero para los números malvados y uno para los números odiosos. La secuencia de Thue-Morse , una secuencia infinita de 0s y 1s, tiene un 0 en la posición i cuando i es malvado, y un 1 en esa posición cuando i es odioso. [ 23 ]

Aplicaciones adicionales

En teoría de la información , un bit de paridad añadido a un número binario proporciona la forma más simple de código de detección de errores . Si se modifica un solo bit en el valor resultante, este ya no tendrá la paridad correcta: cambiar un bit en el número original le da una paridad diferente a la registrada, y cambiar el bit de paridad sin cambiar el número del que se derivó produce nuevamente un resultado incorrecto. De esta manera, todos los errores de transmisión de un solo bit pueden detectarse de forma fiable. [ 24 ] Algunos códigos de detección de errores más sofisticados también se basan en el uso de múltiples bits de paridad para subconjuntos de los bits del valor codificado original. [ 25 ]

En los instrumentos de viento con un tubo cilíndrico y, en efecto, cerrado en un extremo, como el clarinete en la boquilla, los armónicos producidos son múltiplos impares de la frecuencia fundamental . (Con tubos cilíndricos abiertos en ambos extremos, utilizados, por ejemplo, en algunos registros de órgano como el diapasón abierto , los armónicos son múltiplos pares de la misma frecuencia para la longitud del tubo dada, pero esto tiene el efecto de duplicar la frecuencia fundamental y producir todos sus múltiplos). Véase serie armónica (música) . [ 26 ]

En algunos países, la numeración de las casas se elige de manera que las casas de un lado de la calle tengan números pares y las del otro lado, números impares. [ 27 ] De manera similar, en Estados Unidos, entre las autopistas numeradas , los números pares indican principalmente autopistas que van de este a oeste, mientras que los números impares indican principalmente autopistas que van de norte a sur. [ 28 ] En los números de vuelo de las aerolíneas , los números pares suelen identificar vuelos con dirección este o norte, y los números impares suelen identificar vuelos con dirección oeste o sur. [ 29 ]

Véase también

Referencias

  1. 1 2 Vijaya, AV; Rodríguez, Dora, Averiguar las matemáticas , Pearson Education India, págs. 20-21 , ISBN  9788131703571.
  2. ↑ Bóna, Miklós (2011), Un recorrido por la combinatoria: una introducción a la enumeración y la teoría de grafos , World Scientific, pág. 178, ISBN  9789814335232.
  3. 1 2 Owen, Ruth L. (1992), "Divisibilidad en bases" (PDF) , The Pentagon: A Mathematics Magazine for Students , 51 (2): 17–20 , archivado del original (PDF) el 17 de marzo de 2015.
  4. ↑ Bassarear, Tom (2010), Matemáticas para maestros de primaria , Cengage Learning, pág. 198, ISBN  9780840054630.
  5. ↑ Sidebotham, Thomas H. (2003), De la A a la Z de las matemáticas: una guía básica , John Wiley & Sons, pág. 181, ISBN  9780471461630.
  6. ↑ Pólya, George ; Tarjan, Robert E.; Woods, Donald R. (2009), Notas sobre combinatoria introductoria , Springer, págs. 21–22 , ISBN  9780817649524.
  7. ↑ Tankha (2006), Filosofía griega antigua: De Tales a Gorgias , Pearson Education India, pág. 126, ISBN  9788177589399.
  8. ↑ Froebel, Friedrich (1885), La educación del hombre , traducido por Jarvis, Josephine, Nueva York: A Lovell & Company, págs. 240 
  9. ^ Conway, JH; Sloane, NJA (1999), Empaquetamientos, redes y grupos de esferas , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol. 290 (3ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag, pág. 10 , ISBN    978-0-387-98585-5, MR 1662447 .
  10. ↑ Pandolfini, Bruce (1995), Chess Thinking: The Visual Dictionary of Chess Moves, Rules, Strategies and Concepts , Simon and Schuster, pp. 273–274 , ISBN  9780671795023.
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  13. ↑ Stillwell, John (2003), Elementos de la teoría de números , Springer, pág. 199, ISBN  9780387955872.
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  26. ↑ Randall, Robert H. (2005), Introducción a la acústica , Dover, pág. 181, ISBN  9780486442518.
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