criterio de estabilidad de Nyquist

En la teoría de control y la teoría de estabilidad , el criterio de estabilidad de Nyquist o criterio de estabilidad de Strecker-Nyquist , descubierto independientemente por el ingeniero eléctrico alemán Felix Strecker en Siemens en 1930 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} y el ingeniero eléctrico sueco-estadounidense Harry Nyquist en Bell Telephone Laboratories en 1932, ^{[ 4 ]} es una técnica gráfica para determinar la estabilidad de un sistema dinámico lineal .

Dado que solo considera el diagrama de Nyquist de los sistemas de lazo abierto , puede aplicarse sin calcular explícitamente los polos y ceros de los sistemas de lazo cerrado o abierto (aunque se debe conocer el número de singularidades de cada tipo en el semiplano derecho ). En consecuencia, puede aplicarse a sistemas definidos por funciones no racionales , como sistemas con retardos. A diferencia de los diagramas de Bode , puede manejar funciones de transferencia con singularidades en el semiplano derecho. Además, existe una generalización natural a sistemas más complejos con múltiples entradas y múltiples salidas , como los sistemas de control de aeronaves.

El criterio de estabilidad de Nyquist se utiliza ampliamente en electrónica e ingeniería de sistemas de control , así como en otros campos, para el diseño y análisis de sistemas con retroalimentación . Si bien Nyquist es una de las pruebas de estabilidad más generales, aún se limita a sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI). No obstante, existen generalizaciones del criterio de Nyquist (y su gráfica) para sistemas no lineales, como el criterio del círculo y la gráfica relativa escalada de un operador no lineal . ^{[ 5 ]} Además, otros criterios de estabilidad, como los métodos de Lyapunov, también pueden aplicarse a sistemas no lineales.

Si bien el criterio de Nyquist es una técnica gráfica, solo proporciona una comprensión limitada de por qué un sistema es estable o inestable, o cómo modificar un sistema inestable para que sea estable. Técnicas como los diagramas de Bode , aunque menos generales, a veces resultan una herramienta de diseño más útil.

Un diagrama de Nyquist es una representación gráfica paramétrica de la respuesta en frecuencia que se utiliza en el control automático y el procesamiento de señales . Su uso más común es evaluar la estabilidad de un sistema con retroalimentación . En coordenadas cartesianas , la parte real de la función de transferencia se representa en el eje X, mientras que la parte imaginaria se representa en el eje Y. La frecuencia se varía como parámetro, obteniendo un punto por frecuencia. El mismo diagrama se puede describir utilizando coordenadas polares , donde la ganancia de la función de transferencia es la coordenada radial y la fase de la función de transferencia es la coordenada angular correspondiente. El diagrama de Nyquist recibe su nombre de Harry Nyquist , un antiguo ingeniero de los Laboratorios Bell .

La estabilidad de un sistema de retroalimentación negativa en lazo cerrado se evalúa aplicando el criterio de estabilidad de Nyquist al diagrama de Nyquist del sistema en lazo abierto (es decir, el mismo sistema sin su retroalimentación ). Este método es fácilmente aplicable incluso a sistemas con retardos y otras funciones de transferencia no racionales, cuyo análisis con otros métodos puede resultar complejo. La estabilidad se determina observando el número de veces que el sistema pasa por el punto (−1, 0). El rango de ganancias para el cual el sistema es estable se puede determinar observando los cruces del eje real.

El diagrama de Nyquist puede proporcionar información sobre la forma de la función de transferencia. Por ejemplo, el diagrama proporciona información sobre la diferencia entre el número de ceros y polos de la función de transferencia ^{[ 6 ]} según el ángulo en el que la curva se aproxima al origen.

Cuando se dibuja a mano, a veces se utiliza una versión esquemática del diagrama de Nyquist, que muestra la linealidad de la curva, pero con coordenadas distorsionadas para mostrar más detalles en las regiones de interés. Al graficarlo computacionalmente, es necesario asegurarse de cubrir todas las frecuencias de interés. Esto generalmente implica que el parámetro se varía logarítmicamente para abarcar un amplio rango de valores.

Las matemáticas emplean la transformada de Laplace , que transforma las integrales y derivadas en el dominio del tiempo en simples multiplicaciones y divisiones en el dominio espacial .

Consideramos un sistema cuya función de transferencia es${\displaystyle G(s)}$; cuando se coloca en un circuito cerrado con retroalimentación negativa${\displaystyle H(s)}$, la función de transferencia de lazo cerrado (CLTF) se convierte entonces en:

${\displaystyle {\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}}$

La estabilidad se puede determinar examinando las raíces del polinomio del factor de desensibilización.${\displaystyle 1+G(s)H(s)}$Por ejemplo, utilizando la matriz de Routh , pero este método es algo tedioso. También se pueden obtener conclusiones examinando la función de transferencia de lazo abierto (OLTF).${\displaystyle G(s)H(s)}$, utilizando sus diagramas de Bode o, como en este caso, su diagrama polar utilizando el criterio de Nyquist, como sigue.

Cualquier función de transferencia del dominio de Laplace${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$se puede expresar como la razón de dos polinomios :

${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)={\frac {N(s)}{D(s)}}.}$

Las raíces de${\displaystyle N(s)}$se llaman los ceros de${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$y las raíces de${\displaystyle D(s)}$son los polos de${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$. Los polos de${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$También se dice que son las raíces de la ecuación característica.${\displaystyle D(s)=0}$.

La estabilidad de${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$está determinada por los valores de sus polos: para la estabilidad, la parte real de cada polo debe ser negativa. Si${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$se forma cerrando un bucle de retroalimentación unitaria negativa alrededor de la función de transferencia de bucle abierto,

${\displaystyle G(s)H(s)={\frac {A(s)}{B(s)}}}$

entonces las raíces de la ecuación característica son también los ceros de${\displaystyle 1+G(s)H(s)}$, o simplemente las raíces de${\displaystyle A(s)+B(s)=0}$.

A partir de un análisis complejo , un contorno${\displaystyle \Gamma _{s}}$dibujado en el complejo${\displaystyle s}$plano, que abarca pero no pasa por ningún número de ceros y polos de una función.${\displaystyle F(s)}$, se puede mapear a otro plano (llamado${\displaystyle F(s)}$plano) por la función${\displaystyle F}$. Precisamente, cada punto complejo${\displaystyle s}$en el contorno${\displaystyle \Gamma _{s}}$está mapeado hasta el punto ${\displaystyle F(s)}$en el nuevo${\displaystyle F(s)}$plano que produce un nuevo contorno.

El diagrama de Nyquist de${\displaystyle F(s)}$, que es el contorno${\ Displaystyle \ Gamma _ {F (s)} = F (\ Gamma _ {s})}$rodeará el punto${\displaystyle s={-1/k+j0}}$del${\displaystyle F(s)}$avión${\displaystyle N}$tiempos, donde${\displaystyle N=P-Z}$por el principio de argumentación de Cauchy . Aquí${\displaystyle Z}$y${\displaystyle P}$son, respectivamente, el número de ceros de${\displaystyle 1+kF(s)}$y polos de${\displaystyle F(s)}$dentro del contorno${\displaystyle \Gamma _{s}}$. Tenga en cuenta que contamos los cercos en el${\displaystyle F(s)}$plano en el mismo sentido que el contorno${\displaystyle \Gamma _{s}}$y que los cercos en la dirección opuesta son cercos negativos . Es decir, consideramos que los cercos en el sentido de las agujas del reloj son positivos y los cercos en sentido contrario son negativos.

En lugar del principio de argumentación de Cauchy, el artículo original de Harry Nyquist de 1932 emplea un enfoque menos elegante. El enfoque que se explica aquí es similar al utilizado por Leroy MacColl (Teoría fundamental de los servomecanismos, 1945) o por Hendrik Bode (Análisis de redes y diseño de amplificadores de retroalimentación, 1945), quienes también trabajaron para los Laboratorios Bell . Este enfoque aparece en la mayoría de los libros de texto modernos sobre teoría de control.

Primero construimos el contorno de Nyquist , un contorno que abarca la mitad derecha del plano complejo:

• un camino que sube por el${\displaystyle j\omega }$eje, desde${\displaystyle 0-j\infty }$a${\displaystyle 0+j\infty }$.
• un arco semicircular, con radio${\displaystyle r\to \infty }$, que comienza en${\displaystyle 0+j\infty }$y viaja en el sentido de las agujas del reloj hasta${\displaystyle 0-j\infty }$.

El contorno de Nyquist mapeado a través de la función${\displaystyle 1+G(s)}$produce un gráfico de${\displaystyle 1+G(s)}$en el plano complejo. Por el principio del argumento, el número de vueltas en sentido horario del origen debe ser el número de ceros de${\displaystyle 1+G(s)}$en el semiplano complejo derecho menos el número de polos de${\displaystyle 1+G(s)}$en el semiplano complejo derecho. Si, en cambio, el contorno se mapea a través de la función de transferencia de lazo abierto.${\displaystyle G(s)}$, el resultado es el diagrama de Nyquist de${\displaystyle G(s)}$. Al contar los círculos de −1 del contorno resultante, encontramos la diferencia entre el número de polos y ceros en el semiplano complejo derecho de${\displaystyle 1+G(s)}$. Recordando que los ceros de${\displaystyle 1+G(s)}$son los polos del sistema de lazo cerrado, y observando que los polos de${\displaystyle 1+G(s)}$son iguales a los polos de${\displaystyle G(s)}$A continuación, enunciamos el criterio de Nyquist :

Dado un contorno de Nyquist${\displaystyle \Gamma _{s}}$, dejar${\displaystyle P}$sea ​​el número de polos de${\displaystyle G(s)}$rodeado por${\displaystyle \Gamma _{s}}$, y${\displaystyle Z}$sea ​​el número de ceros de${\displaystyle 1+G(s)}$rodeado por${\displaystyle \Gamma _{s}}$Alternativamente, y más importante aún, si${\displaystyle Z}$es el número de polos del sistema de lazo cerrado en el semiplano derecho, y${\displaystyle P}$es el número de polos de la función de transferencia de lazo abierto${\displaystyle G(s)}$en el semiplano derecho, el contorno resultante en el${\displaystyle G(s)}$-avión,${\displaystyle \Gamma _{G(s)}}$rodeará (en el sentido de las agujas del reloj) el punto${\displaystyle (-1+j0)}$${\displaystyle N}$tiempos tales que${\displaystyle N=Z-P}$.

Si el sistema es originalmente inestable en lazo abierto, se necesita retroalimentación para estabilizarlo. Los polos del semiplano derecho (RHP) representan esa inestabilidad. Para la estabilidad en lazo cerrado de un sistema, el número de raíces en lazo cerrado en la mitad derecha del plano s debe ser cero. Por lo tanto, el número de vueltas en sentido antihorario alrededor de${\displaystyle -1+j0}$Debe ser igual al número de polos de lazo abierto en el semiplano derecho (RHP). Cualquier giro en sentido horario del punto crítico por la respuesta en frecuencia de lazo abierto (considerada de baja a alta frecuencia) indicaría que el sistema de control por retroalimentación se desestabilizaría si se cerrara el lazo. (El uso de ceros en el RHP para "cancelar" los polos del RHP no elimina la inestabilidad, sino que garantiza que el sistema permanezca inestable incluso en presencia de retroalimentación, ya que las raíces de lazo cerrado se mueven entre polos y ceros de lazo abierto en presencia de retroalimentación. De hecho, el cero en el RHP puede hacer que el polo inestable sea inobservable y, por lo tanto, no se pueda estabilizar mediante retroalimentación).

La consideración anterior se realizó bajo el supuesto de que la función de transferencia de lazo abierto${\displaystyle G(s)}$no tiene ningún polo en el eje imaginario (es decir, polos de la forma${\displaystyle 0+j\omega }$Esto se debe al requisito del principio de argumentación de que el contorno no puede pasar por ningún polo de la función de mapeo. El caso más común son los sistemas con integradores (polos en cero).

Para poder analizar sistemas con polos en el eje imaginario, el contorno de Nyquist se puede modificar para evitar que pase por el punto.${\displaystyle 0+j\omega }$Una forma de hacerlo es construir un arco semicircular con radio${\displaystyle r\to 0}$alrededor${\displaystyle 0+j\omega }$, que comienza en${\displaystyle 0+j(\omega -r)}$y viaja en sentido contrario a las agujas del reloj hasta${\displaystyle 0+j(\omega +r)}$. Dicha modificación implica que el fasor${\displaystyle G(s)}$viaja a lo largo de un arco de radio infinito por${\displaystyle -l\pi }$, dónde${\displaystyle l}$es la multiplicidad del polo en el eje imaginario.

Nuestro objetivo es, a través de este proceso, comprobar la estabilidad de la función de transferencia de nuestro sistema de retroalimentación unitaria con ganancia k , que viene dada por

${\displaystyle T(s)={\frac {kG(s)}{1+kG(s)}}}$

Es decir, nos gustaría comprobar si la ecuación característica de la función de transferencia anterior, dada por

${\displaystyle D(s)=1+kG(s)=0}$

tiene ceros fuera del semiplano izquierdo abierto (comúnmente inicializado como OLHP).

Suponemos que tenemos un contorno en el sentido de las agujas del reloj (es decir, orientado negativamente).${\displaystyle \Gamma _{s}}$encerrando el semiplano derecho, con las hendiduras necesarias para evitar pasar por los ceros o polos de la función.${\displaystyle G(s)}$El principio argumentativo de Cauchy establece que

${\displaystyle -{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds=N=Z-P}$

Dónde${\displaystyle Z}$denota el número de ceros de${\displaystyle D(s)}$encerrado por el contorno y${\displaystyle P}$denota el número de polos de${\displaystyle D(s)}$por el mismo contorno. Reordenando, tenemos ${\displaystyle Z=N+P}$, es decir

${\displaystyle Z=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds+P}$

Luego observamos que${\displaystyle D(s)=1+kG(s)}$tiene exactamente los mismos polos que${\displaystyle G(s)}$Por lo tanto, podemos encontrar${\displaystyle P}$contando los polos de${\displaystyle G(s)}$que aparecen dentro del contorno, es decir, dentro del semiplano derecho abierto (ORHP).

Ahora reorganizaremos la integral anterior mediante sustitución. Es decir, igualando a cero la integral anterior, obtendremos:${\displaystyle u(s)=D(s)}$, tenemos

${\displaystyle N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{u(\Gamma _{s})}{1 \over u}\,du}$

Luego hacemos una sustitución adicional, estableciendo${\displaystyle v(u)={\frac {u-1}{k}}}$Esto nos da

${\displaystyle N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{u(\Gamma _{s})}{1 \over u}\,du=-{{1} \over {2\pi i}}\oint _{v(u(\Gamma _{s}))}{1 \over {v+1/k}}\,dv}$

Ahora observamos que${\displaystyle v(u(\Gamma _{s}))={{D(\Gamma _{s})-1} \over {k}}=G(\Gamma _{s})}$nos da la imagen de nuestro contorno debajo${\displaystyle G(s)}$, es decir, nuestro diagrama de Nyquist . Podemos reducir aún más la integral.

${\displaystyle N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{G(\Gamma _{s}))}{\frac {1}{v+1/k}}\,dv}$

aplicando la fórmula integral de Cauchy . De hecho, encontramos que la integral anterior corresponde precisamente al número de veces que el diagrama de Nyquist rodea el punto.${\displaystyle -1/k}$en el sentido de las agujas del reloj. Por lo tanto, finalmente podemos afirmar que

${\displaystyle {\begin{aligned}Z={}&N+P\\[6pt]={}&{\text{(number of times the Nyquist plot encircles }}{-1/k}{\text{ clockwise)}}\\&{}+{\text{(number of poles of }}G(s){\text{ in ORHP)}}\end{aligned}}}$

Por lo tanto, encontramos que${\displaystyle T(s)}$como se definió anteriormente corresponde a un sistema estable de retroalimentación unitaria cuando${\displaystyle Z}$, según la evaluación anterior, es igual a  0.

El criterio de estabilidad de Nyquist es una técnica gráfica que determina la estabilidad de un sistema dinámico, como un sistema de control por retroalimentación. Se basa en el principio del argumento y en el diagrama de Nyquist de la función de transferencia en lazo abierto del sistema. Puede aplicarse a sistemas que no se definen mediante funciones racionales, como sistemas con retardos. También puede manejar funciones de transferencia con singularidades en el semiplano derecho, a diferencia de los diagramas de Bode. El criterio de estabilidad de Nyquist también puede utilizarse para hallar los márgenes de fase y ganancia de un sistema, que son importantes para el diseño de controladores en el dominio de la frecuencia . ^{[ 7 ]}

• Si la función de transferencia de lazo abierto${\displaystyle G(s)}$tiene un polo cero de multiplicidad${\displaystyle l}$, entonces el diagrama de Nyquist tiene una discontinuidad en${\displaystyle \omega =0}$. Durante el análisis posterior se debe asumir que el fasor viaja${\displaystyle l}$veces en sentido horario a lo largo de un semicírculo de radio infinito. Después de aplicar esta regla, se deben despreciar los polos cero, es decir, si no hay otros polos inestables, entonces la función de transferencia de lazo abierto${\displaystyle G(s)}$debe considerarse estable.
• Si la función de transferencia de lazo abierto${\displaystyle G(s)}$es estable, entonces el sistema de lazo cerrado es inestable, si y solo si , el diagrama de Nyquist rodea el punto −1 al menos una vez.
• Si la función de transferencia de lazo abierto${\displaystyle G(s)}$es inestable , entonces para que el sistema de lazo cerrado sea estable, debe haber un círculo en sentido contrario a las agujas del reloj de −1 para cada polo de${\displaystyle G(s)}$en la mitad derecha del plano complejo.
• El número de círculos excedentes ( N  + P mayor que 0) es exactamente el número de polos inestables del sistema de lazo cerrado. 
• Sin embargo, si la gráfica pasa por el punto${\displaystyle -1+j0}$, entonces decidir incluso sobre la estabilidad marginal del sistema se vuelve difícil y la única conclusión que se puede extraer del gráfico es que existen ceros en el${\displaystyle j\omega }$eje.

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• Faulkner, EA (1969): Introducción a la teoría de los sistemas lineales ; Chapman & Hall; ISBN 0-412-09400-2
• Pippard, AB (1985): Respuesta y estabilidad ; Cambridge University Press; ISBN 0-521-31994-3
• Gessing, R. (2004): Fundamentos del control ; Universidad Tecnológica de Silesia; ISBN 83-7335-176-0
• Franklin, G. (2002): Control por retroalimentación de sistemas dinámicos ; Prentice Hall, ISBN 0-13-032393-4

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