Numerical sign problem

In applied mathematics, the numerical sign problem is the problem of numerically evaluating the integral of a highly oscillatoryfunction of a large number of variables. Numerical methods fail because of the near-cancellation of the positive and negative contributions to the integral. Each has to be integrated to very high precision in order for their difference to be obtained with useful accuracy.

The sign problem is one of the major unsolved problems in the physics of many-particle systems. It often arises in calculations of the properties of a quantum mechanical system with large number of strongly interacting fermions, or in field theories involving a non-zero density of strongly interacting fermions.

In physics the sign problem is typically (but not exclusively) encountered in calculations of the properties of a quantum mechanical system with large number of strongly interacting fermions, or in field theories involving a non-zero density of strongly interacting fermions. Because the particles are strongly interacting, perturbation theory is inapplicable, and one is forced to use brute-force numerical methods. Because the particles are fermions, their wavefunction changes sign when any two fermions are interchanged (due to the anti-symmetry of the wave function, see Pauli principle). So unless there are cancellations arising from some symmetry of the system, the quantum-mechanical sum over all multi-particle states involves an integral over a function that is highly oscillatory, hence hard to evaluate numerically, particularly in high dimension. Since the dimension of the integral is given by the number of particles, the sign problem becomes severe in the thermodynamic limit. The field-theoretic manifestation of the sign problem is discussed below.

The sign problem is one of the major unsolved problems in the physics of many-particle systems, impeding progress in many areas:

• Condensed matter physics — It prevents the numerical solution of systems with a high density of strongly correlated electrons, such as the Hubbard model.^[1]
• Nuclear physics — It prevents the ab initio calculation of properties of nuclear matter and hence limits our understanding of nuclei and neutron stars.
• Teoría cuántica de campos : impide el uso de la QCD reticular ^{[ 2 ]} para predecir las fases y propiedades de la materia de quarks . ^{[ 3 ]} (En la teoría de campos reticulares , el problema también se conoce como el problema de la acción compleja ). ^{[ 4 ]}

^{[ a ]} ​​En un enfoque de teoría de campos para sistemas de múltiples partículas, la densidad de fermiones está controlada por el valor delpotencial químico${\displaystyle \mu }$Se evalúa la función de partición .${\displaystyle Z}$sumando sobre todas las configuraciones de campo clásicas, ponderadas por${\displaystyle \exp(-S)}$, dónde${\displaystyle S}$es la acción de la configuración. La suma sobre los campos fermiónicos se puede realizar analíticamente, y queda una suma sobre los campos bosónicos .${\displaystyle \sigma }$(que pueden haber formado parte originalmente de la teoría, o haber sido producidas por una transformación de Hubbard-Stratronovich para hacer que la acción del fermión sea cuadrática)

${\displaystyle Z=\int D\sigma \,\rho [\sigma ],}$

dónde${\displaystyle D\sigma }$representa la medida de la suma sobre todas las configuraciones${\displaystyle \sigma (x)}$de los campos bosónicos, ponderados por

${\displaystyle \rho [\sigma ]=\det(M(\mu ,\sigma ))\exp(-S[\sigma ]),}$

dónde${\displaystyle S}$ahora es la acción de los campos bosónicos, y${\displaystyle M(\mu ,\sigma )}$es una matriz que codifica cómo los fermiones se acoplaron a los bosones. El valor esperado de un observable${\displaystyle A[\sigma ]}$es, por lo tanto, un promedio sobre todas las configuraciones ponderado por${\displaystyle \rho [\sigma ]}$:

${\displaystyle \langle A\rangle _{\rho }={\frac {\int D\sigma \,A[\sigma ]\,\rho [\sigma ]}{\int D\sigma \,\rho [\sigma ]}}.}$

Si${\displaystyle \rho [\sigma ]}$es positivo, entonces puede interpretarse como una medida de probabilidad, y${\displaystyle \langle A\rangle _ {\rho }}$se puede calcular realizando la suma sobre configuraciones de campo numéricamente, utilizando técnicas estándar como el muestreo de importancia de Monte Carlo .

El problema del signo surge cuando${\displaystyle \rho [\sigma ]}$es no positivo. Esto suele ocurrir en teorías de fermiones cuando el potencial químico del fermión${\displaystyle \mu }$es distinto de cero, es decir, cuando existe una densidad de fondo de fermiones distinta de cero. Si${\displaystyle \mu \neq 0}$, no existe simetría partícula-antipartícula, y${\displaystyle \det(M(\mu ,\sigma ))}$y por lo tanto el peso${\displaystyle \rho (\sigma )}$, en general es un número complejo , por lo que el muestreo de importancia de Monte Carlo no se puede utilizar para evaluar la integral.

El problema del signo es NP-difícil , lo que implica que una solución completa y genérica del problema del signo también resolvería todos los problemas de la clase de complejidad NP en tiempo polinomial. ^{[ 8 ]} Si (como se sospecha generalmente) no hay soluciones en tiempo polinomial para los problemas NP (véase P versus problema NP ), entonces no hay una solución genérica para el problema del signo. Esto deja abierta la posibilidad de que existan soluciones que funcionen en casos específicos, donde las oscilaciones del integrando tengan una estructura que pueda aprovecharse para reducir los errores numéricos.

En sistemas con un problema de signo moderado, como teorías de campo a una temperatura suficientemente alta o en un volumen suficientemente pequeño, el problema del signo no es demasiado severo y se pueden obtener resultados útiles mediante varios métodos, como un reponderado más cuidadosamente ajustado, continuación analítica desde lo imaginario.${\displaystyle \mu }$a real${\displaystyle \mu }$, o expansión de Taylor en potencias de${\displaystyle \mu }$. ^{[ 3 ] [ 9 ]}

• Method of stationary phase
• Oscillatory integral