Matriz normal

En matemáticas, una matriz cuadrada compleja A es normal si conmuta con su transpuesta conjugada A ^* :

${\displaystyle A{\text{ normal}}\iff A^{*}A=AA^{*}.}$

El concepto de matrices normales puede extenderse a operadores normales en espacios normados de dimensión infinita y a elementos normales en álgebras C* . Al igual que en el caso de las matrices, la normalidad implica que la conmutatividad se conserva, en la medida de lo posible, en el contexto no conmutativo. Esto facilita el análisis de operadores normales y elementos normales de álgebras C*.

El teorema espectral establece que una matriz es normal si y solo si es unitariamente similar a una matriz diagonal ; lo que implica, en particular, que cualquier matriz A que satisfaga la ecuación A ^* A = AA ^* es diagonalizable . (Lo contrario no se cumple porque las matrices diagonalizables pueden tener autoespacios no ortogonales). Por lo tanto,${\displaystyle A=UDU^{*}}$y${\displaystyle A^{*}=UD^{*}U^{*}}$dónde${\displaystyle D}$es una matriz diagonal cuyos valores diagonales son en general complejos y${\displaystyle U}$es una matriz unitaria.

Los vectores singulares izquierdo y derecho en la descomposición en valores singulares de una matriz normal.${\displaystyle A=UDV^{*}}$Se diferencian únicamente en la fase compleja entre sí y de los vectores propios correspondientes, ya que la fase debe factorizarse de los valores propios para formar valores singulares.

Entre las matrices complejas, todas las matrices unitarias , hermíticas y antihermíticas son normales, con todos los valores propios siendo módulo unitario, reales e imaginarios, respectivamente. Del mismo modo, entre las matrices reales, todas las matrices ortogonales , simétricas y antisimétricas son normales, con todos los valores propios siendo pares complejos conjugados en el círculo unitario, reales e imaginarios, respectivamente. Sin embargo, no es cierto que todas las matrices normales sean unitarias o (anti)hermíticas, ya que sus valores propios pueden ser cualquier número complejo, en general. Por ejemplo, $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}}}$$ no es ni unitaria, ni hermitiana, ni antihermitiana, porque sus valores propios son${\displaystyle 2,(1\pm i{\sqrt {3}})/2}$; sin embargo, es normal porque $${\displaystyle AA^{*}={\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}}=A^{*}A.}$$

El concepto de normalidad es importante porque las matrices normales son precisamente aquellas a las que se aplica el teorema espectral :

Las entradas diagonales de Λ son los valores propios de A , y las columnas de U son los vectores propios de A. Los valores propios correspondientes en Λ aparecen en el mismo orden en que los vectores propios están ordenados como columnas de U.

Otra forma de enunciar el teorema espectral es decir que las matrices normales son precisamente aquellas matrices que pueden representarse mediante una matriz diagonal con respecto a una base ortonormal de C ⁿ debidamente elegida . Dicho de otro modo: una matriz es normal si y solo si sus autoespacios generan C ⁿ y son ortogonales por pares con respecto al producto interno estándar de C ⁿ .

El teorema espectral para matrices normales es un caso particular de la descomposición de Schur, más general , que se aplica a todas las matrices cuadradas. Sea A una matriz cuadrada. Por descomposición de Schur, es unitariamente similar a una matriz triangular superior, digamos B. Si A es normal, también lo es B. Pero entonces B debe ser diagonal, ya que, como se mencionó anteriormente, una matriz triangular superior normal es diagonal.

El teorema espectral permite clasificar las matrices normales en función de sus espectros, por ejemplo:

En general, la suma o el producto de dos matrices normales no tienen por qué ser normales. Sin embargo, se cumple lo siguiente:

En este caso especial, las columnas de U ^* son autovectores tanto de A como de B y forman una base ortonormal en C ⁿ . Esto se deduce de la combinación de los teoremas que establecen que, sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, las matrices conmutativas son simultáneamente triangularizables y una matriz normal es diagonalizable; el resultado añadido es que ambas operaciones pueden realizarse simultáneamente.

Es posible proporcionar una lista bastante larga de definiciones equivalentes de una matriz normal. Sea A una matriz compleja de n × n . Entonces, las siguientes definiciones son equivalentes:

1. A es normal.
2. A es diagonalizable mediante una matriz unitaria.
3. Existe un conjunto de autovectores de A que forma una base ortonormal para C ⁿ .
4. ${\displaystyle \left\|A\mathbf {x} \right\|=\left\|A^{*}\mathbf {x} \right\|}$para cada x .
5. La norma de Frobenius de A se puede calcular mediante los valores propios de A :${\textstyle \operatorname {tr} \left(A^{*}A\right)=\sum _{j}\left|\lambda _{j}\right|^{2}}$.
6. La parte hermitiana ⁠ 1 / 2 ⁠ ( A + A ^* ) y la parte antihermitiana ⁠ 1 / 2 ⁠ ( A − A ^* ) de A conmutan.
7. A ^* es un polinomio (de grado ≤ n − 1 ) en A . ^{[ a ]}
8. A ^* = AU para alguna matriz unitaria U . ^{[ 1 ]}
9. U y P conmutan, donde tenemos la descomposición polar A = UP con una matriz unitaria U y alguna matriz semidefinida positiva P.
10. A conmuta con alguna matriz normal N con valores propios distintos.
11. σ _i = | λ _i | para todo 1 ≤ i ≤ n donde A tiene valores singulares σ ₁ ≥ ⋯ ≥ σ _n y tiene autovalores indexados con el orden | λ ₁ | ≥ ⋯ ≥ | λ _n | . ^{[ 2 ]}

Algunas, pero no todas, de las anteriores se generalizan a operadores normales en espacios de Hilbert de dimensión infinita. Por ejemplo, un operador acotado que satisface (9) es solo cuasinormal .

En ocasiones resulta útil (aunque a veces engañoso) pensar en las relaciones de tipos especiales de matrices normales como análogas a las relaciones del tipo correspondiente de números complejos de los que se componen sus autovalores. Esto se debe a que cualquier función (que pueda expresarse como una serie de potencias) de una matriz no defectuosa actúa directamente sobre cada uno de sus autovalores, y la transpuesta conjugada de su descomposición espectral${\displaystyle VDV^{*}}$es${\displaystyle VD^{*}V^{*}}$, dónde${\displaystyle D}$es la matriz diagonal de valores propios. Del mismo modo, si dos matrices normales conmutan y, por lo tanto, son diagonalizables simultáneamente, cualquier operación entre estas matrices también actúa sobre cada par correspondiente de valores propios.

• La transpuesta conjugada es análoga a la conjugada compleja .
• Las matrices unitarias son análogas a los números complejos en el círculo unitario .
• Las matrices hermíticas son análogas a los números reales .
• Las matrices hermíticas definidas positivas son análogas a los números reales positivos .
• Las matrices hermíticas asimétricas son análogas a los números puramente imaginarios .
• Las matrices invertibles son análogas a los números complejos distintos de cero .
• La inversa de una matriz tiene cada valor propio invertido.
• Una matriz de escalado uniforme es análoga a un número constante.
• En particular, la matriz cero es análoga a 0, y
• La matriz identidad es análoga a 1.
• Una matriz idempotente es una proyección ortogonal en la que cada valor propio es 0 o 1.
• Una involución normal tiene valores propios${\displaystyle \pm 1}$.

Como caso especial, los números complejos pueden incrustarse en las matrices reales normales de 2×2 mediante la aplicación $${\displaystyle a+bi\mapsto {\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}}=a\,{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+b\,{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}\,.}$$ que preserva la suma y la multiplicación. Es fácil comprobar que esta incrustación respeta todas las analogías anteriores.

• matriz hermitiana
• Matriz normal de mínimos cuadrados

• Horn, Roger Alan ; Johnson, Charles Royal (1985), Análisis matricial , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6.
• Horn, Roger Alan ; Johnson, Charles Royal (1991). Temas de análisis matricial . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-30587-7.