resonancia no lineal

En física , la resonancia no lineal es la aparición de resonancia en un sistema no lineal . En la resonancia no lineal, el comportamiento del sistema ( frecuencias y modos de resonancia ) depende de la amplitud de las oscilaciones , mientras que en los sistemas lineales es independiente de la amplitud. La mezcla de modos en sistemas no lineales se denomina interacción resonante .

En términos generales, se distinguen dos tipos de resonancias: lineales y no lineales. Desde el punto de vista físico, se definen por la coincidencia de la fuerza externa con la frecuencia propia del sistema (resonancia lineal y no lineal, respectivamente). Los modos vibracionales pueden interactuar en una interacción resonante cuando se conservan tanto la energía como el momento de los modos interactuantes. La conservación de la energía implica que la suma de las frecuencias de los modos debe ser igual a cero.

${\displaystyle \omega _{n}=\omega _{1}+\omega _{2}+\cdots +\omega _{n-1},}$

con posiblemente diferentes${\displaystyle \omega _ {i} = \ omega (\ mathbf {k} _ {i}),}$siendo autofrecuencias de la parte lineal de alguna ecuación diferencial parcial no lineal .${\displaystyle \mathbf {k} _ {i}}$es el vector de onda asociado a un modo; los subíndices enteros${\displaystyle i}$Los índices de los armónicos de Fourier —o modos propios— se encuentran en la serie de Fourier . Por consiguiente, la condición de resonancia de frecuencia equivale a una ecuación diofántica con muchas incógnitas. El problema de encontrar sus soluciones es equivalente al décimo problema de Hilbert , que se ha demostrado que es irresoluble algorítmicamente.

Las principales nociones y resultados de la teoría de resonancias no lineales son: ^{[ 1 ]}

1. El uso de relaciones de dispersión${\displaystyle \omega =\omega (\mathbf {k} )}$Su presencia en diversas aplicaciones físicas permite encontrar soluciones a la condición de resonancia de frecuencia.
2. El conjunto de resonancias para una función de dispersión dada y la forma de las condiciones de resonancia se divide en grupos de resonancia que no se intersecan; la dinámica de cada grupo puede estudiarse de forma independiente (en la escala de tiempo apropiada). A menudo se las denomina "ondas ligadas", que no pueden interactuar, a diferencia de las "ondas libres", que sí pueden. Un ejemplo famoso es el solitón de la ecuación de KdV : los solitones pueden atravesarse entre sí sin interactuar. Cuando se descomponen en modos propios, los modos de mayor frecuencia del solitón no interactúan (no satisfacen las ecuaciones de la interacción resonante ), están "ligados" al fundamental. ^{[ 2 ]}
3. Cada conjunto de modos ligados (grupo de resonancia) puede representarse mediante su diagrama NR, que es un grafo plano de la estructura especial. Esta representación permite reconstruir de forma unívoca 3a) el sistema dinámico que describe el comportamiento dependiente del tiempo del grupo, y 3b) el conjunto de sus leyes de conservación polinómicas; estas son generalizaciones de las constantes de movimiento de Manley-Rowe para los grupos más simples ( tríadas y cuartetos).
4. Los sistemas dinámicos que describen algunos tipos de clústeres pueden resolverse analíticamente; estos son los modelos exactamente solubles .
5. Estos resultados teóricos pueden utilizarse directamente para describir fenómenos físicos reales (por ejemplo, oscilaciones intraestacionales en la atmósfera terrestre) o diversos regímenes de turbulencia ondulatoria en la teoría de la turbulencia ondulatoria . En el artículo sobre interacciones resonantes se ofrecen muchos más ejemplos .

Los efectos no lineales pueden modificar significativamente la forma de las curvas de resonancia de los osciladores armónicos . En primer lugar, la frecuencia de resonancia.${\displaystyle \omega }$se desvía de su valor "natural"${\displaystyle \omega _{0}}$Según la fórmula

${\displaystyle \omega =\omega _ {0}+\kappa A^{2},}$

dónde${\displaystyle A}$es la amplitud de oscilación y${\displaystyle \kappa }$es una constante definida por los coeficientes anarmónicos. En segundo lugar, la forma de la curva de resonancia se distorsiona ( efecto de plegado ). Cuando la amplitud de la fuerza externa (sinusoidal)${\displaystyle F}$alcanza un valor crítico${\displaystyle F_{\mathrm {crit} }}$Aparecen inestabilidades. El valor crítico viene dado por la fórmula.

${\displaystyle F_{\mathrm {crit} }={\frac {4m^{2}\omega _{0}^{2}\gamma ^{3}}{3{\sqrt {3}}\kappa }},}$

dónde${\displaystyle m}$es la masa del oscilador y${\displaystyle \gamma }$es el coeficiente de amortiguación. Además, aparecen nuevas resonancias en las que oscilaciones de frecuencia cercana a${\displaystyle \omega _{0}}$son excitados por una fuerza externa con una frecuencia bastante diferente de${\displaystyle \omega _{0}.}$

• ecuación de Duffing
• Turbulencia de las olas

• Elmer, Franz-Josef (20 de julio de 1998), Resonancia no lineal , Universidad de Basilea , consultado el 27 de octubre de 2010.