ecuación diferencial parcial no lineal

Una cuestión fundamental para cualquier ecuación diferencial parcial es la existencia y unicidad de una solución para unas condiciones de contorno dadas. Para ecuaciones no lineales, estas cuestiones suelen ser muy difíciles: por ejemplo, la parte más difícil de la solución de Yau a la conjetura de Calabi fue la demostración de la existencia de una solución para la ecuación de Monge-Ampere . El problema abierto de la existencia (y la suavidad) de soluciones para las ecuaciones de Navier-Stokes es uno de los siete problemas del Premio del Milenio en matemáticas.

Las cuestiones básicas sobre las singularidades (su formación, propagación y eliminación, y la regularidad de las soluciones) son las mismas que para las EDP lineales, pero, como de costumbre, mucho más difíciles de estudiar. En el caso lineal, basta con usar espacios de distribuciones, pero las EDP no lineales no suelen definirse sobre distribuciones arbitrarias, por lo que se sustituyen los espacios de distribuciones por refinamientos como los espacios de Sobolev .

Un ejemplo de formación de singularidades lo proporciona el flujo de Ricci : Richard S. Hamilton demostró que, si bien existen soluciones a corto plazo, las singularidades suelen formarse tras un tiempo finito. La solución de Grigori Perelman a la conjetura de Poincaré se basó en un estudio profundo de estas singularidades, donde demostró cómo extender la solución más allá de ellas.

En ocasiones, las soluciones en un entorno de una solución conocida pueden estudiarse linealizando la ecuación diferencial parcial alrededor de dicha solución. Esto equivale a estudiar el espacio tangente de un punto del espacio de módulos de todas las soluciones.

Idealmente, uno querría describir explícitamente el espacio (de módulos) de todas las soluciones, y para algunas EDP muy especiales esto es posible. (En general, este es un problema irresoluble: es improbable que exista alguna descripción útil de todas las soluciones de la ecuación de Navier-Stokes , por ejemplo, ya que esto implicaría describir todos los posibles movimientos de fluidos). Si la ecuación tiene un grupo de simetría muy grande, entonces uno generalmente solo está interesado en el espacio de módulos de soluciones módulo el grupo de simetría, y este es a veces una variedad compacta de dimensión finita, posiblemente con singularidades; por ejemplo, esto sucede en el caso de las ecuaciones de Seiberg-Witten . Un caso un poco más complicado son las ecuaciones de Yang-Mills autoduales, cuando el espacio de módulos es de dimensión finita pero no necesariamente compacto, aunque a menudo se puede compactificar explícitamente. Otro caso en el que a veces uno puede esperar describir todas las soluciones es el caso de modelos completamente integrables, cuando las soluciones son a veces una especie de superposición de solitones ; esto sucede, por ejemplo, para la ecuación de Korteweg-de Vries .

A menudo es posible expresar algunas soluciones especiales de forma explícita mediante funciones elementales (aunque rara vez es posible describir todas las soluciones de esta manera). Una forma de hallar dichas soluciones explícitas es reducir las ecuaciones a ecuaciones de menor dimensión, preferiblemente ecuaciones diferenciales ordinarias, que suelen tener una solución exacta. Esto se puede lograr a veces mediante la separación de variables o buscando soluciones altamente simétricas.

Algunas ecuaciones tienen varias soluciones exactas diferentes.

La resolución numérica mediante ordenador suele ser el único método disponible para obtener información sobre sistemas arbitrarios de ecuaciones diferenciales parciales. Se ha avanzado mucho en este campo, pero aún queda mucho por hacer para resolver numéricamente ciertos sistemas , especialmente las ecuaciones de Navier-Stokes y otras relacionadas con la predicción meteorológica .

Si un sistema de EDP se puede expresar en forma de pares de Lax

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=LA-AL}$

Entonces, por lo general, tiene un número infinito de integrales primeras, lo que ayuda a estudiarlo.

Los sistemas de ecuaciones diferenciales parciales suelen surgir como ecuaciones de Euler-Lagrange para un problema variacional. En ocasiones, estos sistemas pueden resolverse hallando un extremo del problema variacional original.

Las EDP que surgen de sistemas integrables suelen ser las más fáciles de estudiar y, en ocasiones, pueden resolverse por completo. Un ejemplo bien conocido es la ecuación de Korteweg-de Vries .

Algunos sistemas de ecuaciones diferenciales parciales poseen grandes grupos de simetría. Por ejemplo, las ecuaciones de Yang-Mills son invariantes bajo un grupo de gauge de dimensión infinita , y muchos sistemas de ecuaciones (como las ecuaciones de campo de Einstein ) son invariantes bajo difeomorfismos de la variedad subyacente. Estos grupos de simetría suelen ser útiles para el estudio de las ecuaciones; en particular, si se conoce una solución, se pueden generar fácilmente otras mediante la interacción con el grupo de simetría.

A veces, las ecuaciones son parabólicas o hiperbólicas "módulo la acción de algún grupo": por ejemplo, la ecuación de flujo de Ricci no es exactamente parabólica, pero es "parabólica módulo la acción del grupo de difeomorfismos", lo que implica que tiene la mayoría de las buenas propiedades de las ecuaciones parabólicas.