Modelo estándar no conmutativo

En física teórica de partículas , el Modelo Estándar no conmutativo (más conocido como Modelo Estándar Espectral ^{[ 1 ] [ 2 ]} ), es un modelo basado en geometría no conmutativa que unifica una forma modificada de relatividad general con el Modelo Estándar (extendido con neutrinos diestros).

El modelo postula que el espacio-tiempo es el producto de una variedad de espín compacta de 4 dimensiones.${\displaystyle {\mathcal {M}}}$por un espacio finito${\displaystyle {\mathcal {F}}}$El lagrangiano completo (en signatura euclidiana) del Modelo Estándar acoplado mínimamente a la gravedad se obtiene como gravedad pura sobre ese espacio producto. Por lo tanto, se asemeja en esencia a la teoría de Kaluza-Klein, pero sin el problema de la enorme torre de estados.

Los parámetros del modelo se encuentran a escala de unificación y las predicciones físicas se obtienen reduciendo los parámetros mediante la renormalización .

Cabe destacar que se trata de algo más que una simple reforma del Modelo Estándar . Por ejemplo, las representaciones del sector escalar y de los fermiones están más restringidas que en la teoría de campos efectiva .

Siguiendo las ideas de Kaluza-Klein y Albert Einstein , el enfoque espectral busca la unificación expresando todas las fuerzas como gravedad pura en un espacio${\displaystyle {\mathcal {X}}}$.

El grupo de invariancia de dicho espacio debe combinar el grupo de invariancia de la relatividad general.${\displaystyle {\text{Diff}}({\mathcal {M}})}$con${\displaystyle {\mathcal {G}}={\text{Mapa}}({\mathcal {M}},G)}$, el grupo de mapas de${\displaystyle {\mathcal {M}}}$al grupo de indicadores del modelo estándar${\displaystyle G=\mathrm {SU} (3)\times \mathrm {SU} (2)\times U(1)}$.

${\displaystyle {\text{Diff}}({\mathcal {M}})}$actúa en${\displaystyle {\mathcal {G}}}$por permutaciones y el grupo completo de simetrías de${\displaystyle {\mathcal {X}}}$es el producto semidirecto: ${\displaystyle {\text{Diff}}({\mathcal {X}})={\mathcal {G}}\rtimes {\text{Diff}}({\mathcal {M}})}$

Tenga en cuenta que el grupo de invariancia de${\displaystyle {\mathcal {X}}}$no es un grupo simple ya que siempre contiene el subgrupo normal${\displaystyle {\mathcal {G}}}$^{Mather [ 3 ]} y Thurston ^{[ 4 ]} demostraron que para variedades ordinarias (conmutativas), la componente conexa de la identidad en${\displaystyle {\text{Diff}}({\mathcal {M}})}$siempre es un grupo simple, por lo tanto, ninguna variedad ordinaria puede tener esta estructura de producto semidirecto.

Sin embargo, es posible encontrar dicho espacio ampliando la noción de espacio.

En geometría no conmutativa, los espacios se especifican en términos algebraicos. El objeto algebraico correspondiente a un difeomorfismo es el automorfismo del álgebra de coordenadas. Si el álgebra se considera no conmutativa, posee automorfismos triviales (denominados automorfismos internos). Estos automorfismos internos forman un subgrupo normal del grupo de automorfismos y proporcionan la estructura de grupo correcta.

La elección de diferentes álgebras da lugar a diferentes simetrías. El Modelo Estándar Espectral toma como entrada el álgebra${\displaystyle A=C^{\infty }(M)\otimes A_{F}}$dónde${\displaystyle C^{\infty }(M)}$es el álgebra de funciones diferenciables que codifica la variedad de 4 dimensiones y${\displaystyle A_{F}=\mathbb {C} \oplus \mathbb {H} \oplus M_{3}(\mathbb {C} )}$es un álgebra de dimensión finita que codifica las simetrías del Modelo Estándar.

Las primeras ideas para usar la geometría no conmutativa en la física de partículas aparecieron en 1988-89, ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} y fueron formalizadas un par de años más tarde por Alain Connes y John Lott en lo que se conoce como el modelo de Connes-Lott. ^{[ 10 ]} El modelo de Connes-Lott no incorporó el campo gravitatorio.

En 1997, Ali Chamseddine y Alain Connes publicaron un nuevo principio de acción, la Acción Espectral, ^{[ 11 ]} que permitió incorporar el campo gravitatorio al modelo. Sin embargo, pronto se observó que el modelo adolecía del conocido problema de la duplicación de fermiones (cuadruplicación de los fermiones) ^{[ 12 ] [ 13 ]} y requería que los neutrinos no tuvieran masa. Un año después, los experimentos en Super-Kamiokande y el Observatorio de Neutrinos de Sudbury comenzaron a demostrar que los neutrinos solares y atmosféricos cambian de sabor y, por lo tanto, tienen masa, descartando el Modelo Estándar Espectral.

Recién en 2006 , John W. Barrett ^{[ 14 ]} y Alain Connes ^{[ 15 ]} propusieron una solución a este último problema casi simultáneamente. Demostraron que los neutrinos masivos pueden incorporarse al modelo separando la dimensión KO (que se define módulo 8) de la dimensión métrica (que es cero) para el espacio finito. Al establecer la dimensión KO en 6, no solo se hicieron posibles los neutrinos masivos, sino que el formalismo impuso el mecanismo de balancín y también se abordó el problema de la duplicación de fermiones.

La nueva versión del modelo se estudió en ^{[ 16 ]} y bajo una suposición adicional, conocida como la hipótesis del "gran desierto", se realizaron cálculos para predecir la masa del bosón de Higgs alrededor de 170 GeV y predecir posteriormente la masa del quark top . 

En agosto de 2008, los experimentos del Tevatron ^{[ 17 ]} excluyeron una masa de Higgs de 158 a 175  GeV/ c² con un nivel de confianza ^del 95%. Alain Connes reconoció en un blog sobre geometría no conmutativa que la predicción sobre la masa de Higgs había sido invalidada. ^{[ 18 ]} En julio de 2012, el CERN anunció el descubrimiento del bosón de Higgs con una masa de alrededor de 125  GeV/ c² ^.

Ali Chamseddine y Alain Connes publicaron en 2012 una propuesta para abordar el problema de la masa del bosón de Higgs ^{[ 1 ],} teniendo en cuenta un campo escalar real que ya estaba presente en el modelo pero que se había omitido en análisis previos. Christopher Estrada y Matilde Marcolli propusieron otra solución al problema de la masa del bosón de Higgs mediante el estudio del flujo del grupo de renormalización en presencia de términos de corrección gravitacional ^{[ 19 ] .}

• Geometría no conmutativa
• Geometría algebraica no conmutativa
• Teoría cuántica de campos no conmutativa
• Cronología de la física atómica y subatómica

• Connes, Alain (1994). Geometría no conmutativa (PDF) . Academic Press. ISBN 0-12-185860-X.
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• — (2006). "Geometría y física no conmutativas" (PDF) .
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• Jureit, Jan-H.; Krajewski, Thomas; Schucker, Thomas; Stephan, Christoph A. (2007). "Sobre el modelo estándar no conmutativo". Acta Phys. Polon. B . 38 (10): 3181–3202 . arXiv : 0705.0489 . Código Bib : 2007AcPPB..38.3181J .
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• Página web oficial de Alain Connes con documentos descargables.
• Modelo estándar de Alain Connes.