Número negativo

En matemáticas , un número negativo es el opuesto de un número real positivo . ^{[ 1 ]} De forma equivalente, un número negativo es un número real menor que cero . Los números negativos se utilizan a menudo para representar la magnitud de una pérdida o deficiencia. Una deuda pendiente puede considerarse un activo negativo. Si una cantidad, como la carga de un electrón, puede tener dos sentidos opuestos, se puede optar por distinguir entre esos sentidos —quizás arbitrariamente— como positivo y negativo . Los números negativos se utilizan para describir valores en una escala que va por debajo de cero, como las escalas Celsius y Fahrenheit para la temperatura. Las leyes de la aritmética para números negativos aseguran que la idea de sentido común de un opuesto se refleje en la aritmética. Por ejemplo, − ‍ ( −3) = 3 porque el opuesto de un opuesto es el valor original.

Los números negativos se suelen escribir con un signo menos delante. Por ejemplo, −3 representa una cantidad negativa con una magnitud de tres, y se pronuncia y lee como "menos tres" o "menos tres". Por el contrario, un número que es mayor que cero se llama positivo ; el cero generalmente ( pero no siempre ) no se considera ni positivo ni negativo . ^{[ 2 ]} La positividad de un número se puede enfatizar colocando un signo más delante de él, por ejemplo, +3. En general, la negatividad o positividad de un número se denomina su signo .

Todo número real distinto del cero es positivo o negativo. Los números enteros no negativos se denominan números naturales (es decir, 0, 1, 2, 3, ...), mientras que los números enteros positivos y negativos (junto con el cero) se denominan números enteros . (Algunas definiciones de números naturales excluyen el cero).

En contabilidad , las cantidades adeudadas suelen representarse con números rojos o con un número entre paréntesis, como notación alternativa para representar números negativos.

Los números negativos se usaron en los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático , que en su forma actual data del período de la dinastía Han china (202 a. C. – 220 d. C.), pero bien podría contener material mucho más antiguo. ^{[ 3 ]} Liu Hui (c. siglo III) estableció reglas para sumar y restar números negativos. ^{[ 4 ]} Para el siglo VII, matemáticos indios como Brahmagupta describían el uso de números negativos. Los matemáticos islámicos desarrollaron aún más las reglas de resta y multiplicación de números negativos y resolvieron problemas con coeficientes negativos . ^{[ 5 ]} Antes del concepto de números negativos, matemáticos como Diofanto consideraban "falsas" las soluciones negativas a los problemas y describían como absurdas las ecuaciones que requerían soluciones negativas. ^{[ 6 ]} Matemáticos occidentales como Leibniz sostenían que los números negativos no eran válidos, pero aun así los usaban en cálculos. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

El signo menos "−" representa el operador tanto para la resta binaria (de dos operandos ) ( como en y − z ) como para la negación unaria (de un operando) (como en − x , o dos veces en −(− x ) ). Un caso especial de negación unaria se da cuando opera sobre un número positivo, en cuyo caso el resultado es un número negativo (como en −5 ).

La ambigüedad del símbolo "−" generalmente no genera ambigüedad en las expresiones aritméticas, ya que el orden de las operaciones solo permite una interpretación para cada "−". Sin embargo, puede causar confusión y dificultar la comprensión de una expresión cuando los símbolos de los operadores aparecen uno junto al otro. Una solución consiste en colocar el símbolo "−" entre paréntesis junto con su operando.

Por ejemplo, la expresión 7 + −5 puede ser más clara si se escribe 7 + (−5) (aunque formalmente signifiquen exactamente lo mismo). La expresión de resta 7 − 5 es diferente y no representa las mismas operaciones, pero el resultado es el mismo.

A veces, en las escuelas primarias, un número puede ir precedido de un signo menos o más en superíndice para distinguir explícitamente los números negativos y positivos, como en ^{[ 23 ].}

Suma

La suma de dos números negativos es muy similar a la suma de dos números positivos. Por ejemplo,

(−3) + (−5) = −8 .

La idea es que dos deudas se puedan combinar en una sola deuda de mayor magnitud.

Al sumar una mezcla de números positivos y negativos, se puede pensar en los números negativos como cantidades positivas que se restan. Por ejemplo:

8 + (−3) = 8 − 3 = 5  y (−2) + 7 = 7 − 2 = 5 . 

En el primer ejemplo, un crédito de 8 se combina con una deuda de 3 , lo que da como resultado un crédito total de 5. Si el número negativo tiene mayor magnitud, entonces el resultado es negativo:

(−8) + 3 = 3 − 8 = −5  y 2 + (−7) = 2 − 7 = −5 . 

En este caso, el crédito es menor que la deuda, por lo que el resultado neto es una deuda.

Multiplicación

Al multiplicar números, la magnitud del producto siempre es simplemente el producto de las dos magnitudes. El signo del producto se determina mediante las siguientes reglas:

• El producto de un número positivo y un número negativo es negativo.
• El producto de dos números negativos es positivo.

De este modo

(−2) × 3 = −6

y

(−2) × (−3) = 6 .

La razón detrás del primer ejemplo es simple: sumar tres -2 da como resultado -6 :

(−2) × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6 .

El razonamiento detrás del segundo ejemplo es más complejo. La idea es, nuevamente, que perder una deuda es lo mismo que ganar un crédito. En este caso, perder dos deudas de tres cada una es lo mismo que ganar un crédito de seis:

(−2 deudas ) × (−3 cada una ) = +6 crédito.

La convención de que el producto de dos números negativos es positivo también es necesaria para que la multiplicación siga la ley distributiva . En este caso, sabemos que

(−2) × (−3) + 2 × (−3) = (−2 + 2) × (−3) = 0 × (−3) = 0 .

Dado que 2 × (−3) = −6 , el producto (−2) × (−3) debe ser igual a 6 .

Estas reglas conducen a otra regla (equivalente): el signo de cualquier producto a × b depende del signo de a de la siguiente manera:

• Si a es positivo, entonces el signo de a × b es el mismo que el signo de b , y
• Si a es negativo, entonces el signo de a × b es el opuesto al signo de b .

La justificación de por qué el producto de dos números negativos es un número positivo se puede observar en el análisis de los números complejos .

La versión negativa de un número positivo se denomina su negación . Por ejemplo, -3 es la negación del número positivo 3. La suma de un número y su negación es igual a cero.

Es decir, la negación de un número positivo es el inverso aditivo de ese número.

Utilizando álgebra , podemos escribir este principio como una identidad algebraica :

Esta identidad se cumple para cualquier número positivo x . Se puede extender a todos los números reales ampliando la definición de negación para incluir el cero y los números negativos. Específicamente:

• La negación de 0 es 0, y
• La negación de un número negativo es el número positivo correspondiente.

Por ejemplo, la negación de −3 es +3 . En general,

El valor absoluto de un número es el número no negativo con la misma magnitud. Por ejemplo, el valor absoluto de −3 y el valor absoluto de 3 son ambos iguales a 3 , y el valor absoluto de 0 es 0 .

De manera similar a los números racionales , podemos extender los números naturales.${\displaystyle \mathbb {N} }$a los números enteros${\displaystyle \mathbb {Z} }$Al definir los números enteros como un par ordenado de números naturales ( a , b ), podemos extender la suma y la multiplicación a estos pares con las siguientes reglas:

Definimos una relación de equivalencia ~ sobre estos pares con la siguiente regla:

Esta relación de equivalencia es compatible con la suma y la multiplicación definidas anteriormente, y podemos definir${\displaystyle \mathbb {Z} }$ser el conjunto cociente${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}/\sim }$, es decir, identificamos dos pares ( a , b ) y ( c , d ) si son equivalentes en el sentido anterior. Nótese que${\displaystyle \mathbb {Z} }$, equipado con estas operaciones de suma y multiplicación, es un anillo y, de hecho, es el ejemplo prototípico de un anillo.

También podemos definir un pedido total en${\displaystyle \mathbb {Z} }$escribiendo

Esto dará como resultado un cero aditivo de la forma ( a , a ), un inverso aditivo de ( a , b ) de la forma ( b , a ), una unidad multiplicativa de la forma ( a + 1, a ) y una definición de resta.

Esta construcción es un caso especial de la construcción de Grothendieck .

Durante mucho tiempo, la comprensión de los números negativos se vio retrasada por la imposibilidad de tener una cantidad negativa de un objeto físico, por ejemplo, "menos tres manzanas", y las soluciones negativas a los problemas se consideraban "falsas".

En el Egipto helenístico , el matemático griego Diofanto, en el siglo III d.C., se refirió a una ecuación que era equivalente a${\displaystyle 4x+20=4}$(que tiene una solución negativa) en Arithmetica , diciendo que la ecuación era absurda. ^{[ 24 ]} Por esta razón, los geómetras griegos pudieron resolver geométricamente todas las formas de la ecuación cuadrática que dan raíces positivas, mientras que no pudieron tener en cuenta las demás. ^{[ 25 ]}

Los números negativos aparecen por primera vez en la historia en los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático (九章算術, Jiǔ zhāng suàn-shù ), que en su forma actual data del período Han , pero bien podría contener material mucho más antiguo. ^{[ 3 ]} El matemático Liu Hui (c. siglo III) estableció reglas para la suma y la resta de números negativos. El historiador Jean-Claude Martzloff teorizó que la importancia de la dualidad en la filosofía natural china facilitó que los chinos aceptaran la idea de los números negativos. ^{[ 4 ]} Los chinos eran capaces de resolver ecuaciones simultáneas que involucraban números negativos. Los Nueve Capítulos usaban varillas rojas para denotar coeficientes positivos y varillas negras para los negativos. ^{[ 4 ] [ 26 ]} Este sistema es exactamente lo opuesto a la impresión contemporánea de números positivos y negativos en los campos de la banca, la contabilidad y el comercio, donde los números rojos denotan valores negativos y los números negros significan valores positivos. Liu Hui escribe:

Ahora bien, existen dos tipos opuestos de varillas para contar ganancias y pérdidas; llamémoslas positivas y negativas. Las varillas rojas son positivas y las negras, negativas. ^{[ 4 ]}

El antiguo manuscrito indio Bakhshali realizaba cálculos con números negativos, utilizando "+" como signo negativo. ^{[ 27 ]} La fecha del manuscrito es incierta. LV Gurjar lo fecha no más tarde del siglo IV, ^{[ 28 ]} Hoernle lo fecha entre los siglos III y IV, Ayyangar y Pingree lo fechan en los siglos VIII o IX, ^{[ 29 ]} y George Gheverghese Joseph lo fecha alrededor del año 400 d. C. y no más tarde de principios del siglo VII. ^{[ 30 ]}

Durante el siglo VII d. C., en la India se utilizaban números negativos para representar deudas. El matemático indio Brahmagupta , en su obra Brahma-Sphuta-Siddhanta (escrita hacia el año 630 d. C.), analizó el uso de números negativos para generar una fórmula cuadrática general similar a la que se utiliza hoy en día. ^{[ 24 ]}

En el siglo IX, los matemáticos islámicos estaban familiarizados con los números negativos gracias a las obras de los matemáticos indios, pero el reconocimiento y uso de los números negativos durante este período seguía siendo tímido. ^{[ 5 ]} Al-Juarismi en su Al-jabr wa'l-muqabala (de donde deriva la palabra "álgebra") no utilizó números negativos ni coeficientes negativos. ^{[ 5 ]} Pero en cincuenta años, Abu Kamil ilustró las reglas de los signos para expandir la multiplicación.${\displaystyle (a\pm b)(c\pm d)}$[ ^{31 ]} y al-Karaji escribió en su al-Fakhrī que «las cantidades negativas deben contarse como términos». ^{[ 5 ]} En el siglo X, Abū al-Wafā' al-Būzjānī consideró las deudas como números negativos en Un libro sobre lo necesario de la ciencia de la aritmética para escribas y ^comerciantes . ^{[ 31 ]}

Para el siglo XII, los sucesores de al-Karaji debían enunciar las reglas generales de los signos y utilizarlas para resolver divisiones de polinomios . ^{[ 5 ]} Como escribe al-Samaw'al :

El producto de un número negativo (al-nāqiṣ , pérdida) por un número positivo ( al-zāʾid , ganancia) es negativo, y por un número negativo es positivo. Si restamos un número negativo de un número negativo mayor, el resto es su diferencia negativa. La diferencia sigue siendo positiva si restamos un número negativo de un número negativo menor. Si restamos un número negativo de un número positivo, el resto es su suma positiva. Si restamos un número positivo de una potencia vacía ( martaba khāliyya ), el resto es el mismo número negativo, y si restamos un número negativo de una potencia vacía, el resto es el mismo número positivo. ^{[ 5 ]}

En el siglo XII en la India, Bhāskara II propuso raíces negativas para ecuaciones cuadráticas, pero las rechazó por considerarlas inapropiadas en el contexto del problema. Afirmó que un valor negativo «no debe tomarse en este caso, pues es inadecuado; la gente no aprueba las raíces negativas».

Fibonacci permitió soluciones negativas en problemas financieros donde podían interpretarse como débitos (capítulo 13 de Liber Abaci , 1202) y más tarde como pérdidas (en Flos , 1225).

En el siglo XV, Nicolas Chuquet , un francés, utilizó números negativos como exponentes ^{[ 32 ]} pero se refería a ellos como "números absurdos". ^{[ 33 ]}

Michael Stifel trató el tema de los números negativos en su obra Arithmetica Integra de 1544 d.C. , donde también los denominó numeri absurdi (números absurdos).

En 1545, Gerolamo Cardano , en su Ars Magna , proporcionó el primer tratamiento satisfactorio de los números negativos en Europa. ^{[ 24 ]} No permitió números negativos en su consideración de ecuaciones cúbicas , por lo que tuvo que tratar, por ejemplo,${\displaystyle x^{3}+ax=b}$por separado de${\displaystyle x^{3}=ax+b}$(con${\displaystyle a,b>0}$En ambos casos). En total, Cardano se dedicó al estudio de trece tipos de ecuaciones cúbicas, en las que todos los términos negativos se pasaban al otro lado del signo = para convertirlos en positivos. (Cardano también trabajó con números complejos , pero, como es comprensible, le gustaban aún menos).

• Información biográfica de Maseres
• Programa de BBC Radio 4, In Our Time , sobre "Números negativos", 9 de marzo de 2006.
• Ejemplos y ejercicios infinitos: Operaciones con números enteros con signo
• Foro de Matemáticas: Preguntas frecuentes del Dr. Matemáticas: Un número negativo multiplicado por un número negativo