Identity (mathematics)

Certain identities, such as ${\displaystyle a+0=a}$ and ${\displaystyle a+(-a)=0}$, form the basis of algebra,^[5] while other identities, such as ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$ and ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(ab)}$, can be useful in simplifying algebraic expressions and in expanding them.^[6]

Geometrically, trigonometric identities are identities involving certain functions of one or more angles.^[7] They are distinct from triangle identities, which are identities involving both angles and side lengths of a triangle. Only the former are covered in this article.

These identities are useful whenever expressions involving trigonometric functions need to be simplified. Another important application is the integration of non-trigonometric functions: a common technique which involves first using the substitution rule with a trigonometric function, and then simplifying the resulting integral with a trigonometric identity.

One of the most prominent examples of trigonometric identities involves the equation ${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,}$ which is true for all real values of ${\displaystyle \theta }$. On the other hand, the equation

${\displaystyle \cos \theta =1}$

is only true for certain values of ${\displaystyle \theta }$, not all. For example, this equation is true when ${\displaystyle \theta =0,}$pero falso cuando${\displaystyle \theta =2}$.

Otro grupo de identidades trigonométricas se refiere a las llamadas fórmulas de suma/resta (por ejemplo, la identidad del ángulo doble).${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta }$, la fórmula de adición para${\displaystyle \tan(x+y)}$), que se puede utilizar para descomponer expresiones de ángulos más grandes en aquellas con componentes más pequeños.

Las siguientes identidades se cumplen para todos los exponentes enteros , siempre que la base sea distinta de cero:

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{m+n}&=b^{m}\cdot b^{n}\\(b^{m})^{n}&=b^{m\cdot n}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}\end{aligned}}}$

A diferencia de la suma y la multiplicación, la exponenciación no es conmutativa . Por ejemplo, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 y 2 · 3 = 3 · 2 = 6 , pero 2 ³ = 8 mientras que 3 ² = 9 .

A diferencia de la suma y la multiplicación, la potenciación tampoco es asociativa . Por ejemplo, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 y (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24 , pero 2³ ^elevado a la 4 es 8⁴ ⁽ o 4096), mientras que 2³ elevado a la 4 ^es 2⁸¹ ⁽ o 2 417 851 639 229 258 349 412 352). Cuando no se escriben paréntesis, por convención el orden es de arriba hacia abajo, no de abajo hacia arriba:

${\displaystyle b^{p^{q}}:=b^{(p^{q})},}$ mientras ${\displaystyle (b^{p})^{q}=b^{p\cdot q}.}$

Varias fórmulas importantes, a veces llamadas identidades logarítmicas o leyes de logaritmos , relacionan los logaritmos entre sí: ^{[ a ]}

Las funciones hiperbólicas satisfacen muchas identidades, todas ellas similares en forma a las identidades trigonométricas . De hecho, la regla de Osborn ^{[ 9 ]} establece que se puede convertir cualquier identidad trigonométrica en una identidad hiperbólica desarrollándola completamente en términos de potencias enteras de senos y cosenos, cambiando seno por sinh y coseno por cosh, e invirtiendo el signo de cada término que contenga un producto de un número par de senos hiperbólicos. ^{[ 10 ]}

La función de Gudermann establece una relación directa entre las funciones trigonométricas y las hiperbólicas que no involucra números complejos .