Conjuntos cercanos

En matemáticas, los conjuntos cercanos son espacialmente cercanos o descriptivamente cercanos. Los conjuntos espacialmente cercanos tienen intersección no vacía . En otras palabras, los conjuntos espacialmente cercanos no son conjuntos disjuntos , ya que siempre tienen al menos un elemento en común. Los conjuntos descriptivamente cercanos contienen elementos que tienen descripciones coincidentes. Dichos conjuntos pueden ser conjuntos disjuntos o no disjuntos. Los conjuntos espacialmente cercanos también son conjuntos descriptivamente cercanos.

La suposición subyacente con conjuntos descriptivamente cercanos es que dichos conjuntos contienen elementos que tienen ubicación y características mensurables como color y frecuencia de ocurrencia. La descripción del elemento de un conjunto está definida por un vector de características . La comparación de vectores de características proporciona una base para medir la cercanía de conjuntos descriptivamente cercanos. La teoría de conjuntos cercanos proporciona una base formal para la observación, comparación y clasificación de elementos en conjuntos en función de su cercanía, ya sea espacial o descriptiva. Los conjuntos cercanos ofrecen un marco para resolver problemas basados ​​en la percepción humana que surgen en áreas como el procesamiento de imágenes , la visión por computadora , así como problemas de ingeniería y ciencia.

Los conjuntos cercanos tienen una variedad de aplicaciones en áreas como topología ^[37] , detección y clasificación de patrones ^[50] , álgebra abstracta ^[51] , matemáticas en informática ^[38] y solución de una variedad de problemas basados ​​en la percepción humana ^{[42] [82] [47] [52] [56]} que surgen en áreas como análisis de imágenes ^{[54] [14] [46] [17] [18]} , procesamiento de imágenes ^[40] , reconocimiento facial ^[13] , etología ^[64] , así como problemas de ingeniería y ciencia ^{[55] [64] [42] [19] [17] [18]} . Desde el principio, los conjuntos descriptivos cercanos han demostrado ser útiles en aplicaciones de topología ^[37] y reconocimiento de patrones visuales ^[50] , abarcando un amplio espectro de aplicaciones que incluyen detección de camuflaje , micropaleontología , detección de falsificación de escritura a mano, análisis de imágenes biomédicas, recuperación de imágenes basada en contenido , dinámica de poblaciones , topología de cocientes , diseño textil , comercialización visual y psicología topológica.

Como ilustración del grado de proximidad descriptiva entre dos conjuntos, considere un ejemplo del modelo de color de Henry para distintos grados de proximidad entre conjuntos de elementos de imagen en imágenes (véase, por ejemplo , ^[17] §4.3). Los dos pares de óvalos en la Fig. 1 y la Fig. 2 contienen segmentos coloreados. Cada segmento en las figuras corresponde a una clase de equivalencia donde todos los píxeles de la clase tienen descripciones similares, es decir , elementos de imagen con colores similares. Los óvalos en la Fig. 1 están más cerca entre sí descriptivamente que los óvalos en la Fig. 2.

Se ha observado que el concepto simple de proximidad unifica varios conceptos de estructuras topológicas ^[20] en la medida en que la categoría Near de todos los espacios de proximidad y mapas que preservan la proximidad contiene las categorías sTop (espacios topológicos simétricos y mapas continuos ^[3] ), Prox ( espacios de proximidad y -mapas ^{[8] [67]} ), Unif ( espacios uniformes y mapas uniformemente continuos ^{[81] [77]} ) y Cont (espacios de contigüidad y mapas de contigüidad ^[24] ) como subcategorías completas incrustadas ^{[20] [59]} . Se muestra que las categorías y son supercategorías completas de varias categorías bien conocidas, incluida la categoría de espacios topológicos simétricos y mapas continuos, y la categoría de espacios métricos extendidos y mapas no expansivos. La notación se lee category está incrustada en category . Las categorías y son supercategorías para una variedad de categorías familiares ^[76] que se muestran en la Fig. 3. Sea la categoría de todos los espacios de proximidad y contracciones de aproximación, y sea la categoría de todos los espacios merotópicos y contracciones de aproximación. ${\estilo de visualización \delta}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon {AMer}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {sTop}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {Met^{\infty }}}}$${\displaystyle {\boldsímbolo {A}}\hookrightarrow {\boldsímbolo {B}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon AMer}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon ANear}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}}$${\estilo de visualización \varepsilon}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon AMer}}}$${\estilo de visualización \varepsilon}$

Entre estas categorías familiares se encuentra , la forma simétrica de (véase categoría de espacios topológicos ), la categoría con objetos que son espacios topológicos y morfismos que son aplicaciones continuas entre ellos ^{[1] [32]} . con objetos que son espacios métricos extendidos es una subcategoría de (que tiene objetos -espacios de aproximación y contracciones) (véase también ^{[57] [75]} ). Sean pseudometrías extendidas en conjuntos no vacíos , respectivamente. La aplicación es una contracción si y solo si es una contracción. Para subconjuntos no vacíos , la función de distancia se define por ${\displaystyle {\boldsymbol {sTop}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {Arriba}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {Met^{\infty }}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon AP}}}$${\estilo de visualización \varepsilon}$${\displaystyle \rho _ {X}, \ rho _ {Y}}$${\estilo de visualización X, Y}$${\displaystyle f:(X,\rho _{X})\longrightarrow (Y,\rho _{Y})}$${\displaystyle f:(X,\nu _{D_{\rho _{X}}})\longrightarrow (Y,\nu _{D_{\rho _{Y}}})}$${\displaystyle A,B\in 2^{X}}$${\displaystyle D_{\rho }:2^{X}\times 2^{X}\longrightarrow [0,\infty ]}$

${\displaystyle D_{\rho }(A,B)={\begin{cases}\inf {\{\rho (a,b):a\in A,b\in B\}},&{\text{if }}A{\text{ and }}B{\text{ are not empty}},\\\infty ,&{\text{if }}A{\text{ or }}B{\text{ is empty}}.\end{cases}}}$

Por lo tanto, AP está incrustado como una subcategoría completa en por el funtor definido por y . Entonces es una contracción si y solo si es una contracción. Por lo tanto, está incrustado como una subcategoría completa en por el funtor definido por y Dado que la categoría de espacios métricos extendidos y mapas no expansivos es una subcategoría completa de , por lo tanto, también es una supercategoría completa de . La categoría es una construcción topológica ^[76] . ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}}$${\displaystyle F:{\boldsymbol {\varepsilon {AP}}}\longrightarrow {\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}}$${\displaystyle F((X,\rho ))=(X,\nu _{D_{\rho }})}$${\displaystyle F(f)=f}$${\displaystyle f:(X,\rho _{X})\longrightarrow (Y,\rho _{Y})}$${\displaystyle f:(X,\nu _{D_{\rho _{X}}})\longrightarrow (Y,\nu _{D_{\rho _{Y}}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon {AP}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}}$${\displaystyle F:{\boldsymbol {\varepsilon {AP}}}\longrightarrow {\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}}$${\displaystyle F((X,\rho ))=(X,\nu _{D_{\rho }})}$${\displaystyle F(f)=f.}$${\displaystyle {\boldsymbol {Met^{\infty }}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon {AP}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {Met^{\infty }}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon {ANear}}}}$

Las nociones de cercano y lejano ^[A] en matemáticas se remontan a los trabajos de Johann Benedict Listing y Felix Hausdorff . Las nociones relacionadas de semejanza y similitud se remontan a JH Poincaré , quien introdujo conjuntos de sensaciones similares (clases de tolerancia nacientes) para representar los resultados de los experimentos de sensibilidad a la sensación de GT Fechner ^[10] y un marco para el estudio de la semejanza en espacios representativos como modelos de lo que denominó continuos físicos ^{[63] [60] [61]} . Los elementos de un continuo físico (pc) son conjuntos de sensaciones. La noción de un pc y varios espacios representativos (táctiles, visuales, motores) fueron introducidos por Poincaré en un artículo de 1894 sobre el continuo matemático ^[63] , un artículo de 1895 sobre espacio y geometría ^[60] y un libro compendioso de 1902 sobre ciencia e hipótesis ^[61] seguido por una serie de elaboraciones, por ejemplo , ^[62] . Los artículos de 1893 y 1895 sobre continuos (Pt. 1, cap. II) así como espacios representativos y geometría (Pt. 2, cap. IV) se incluyen como capítulos en ^[61] . Más tarde, F. Riesz introdujo el concepto de proximidad o cercanía de pares de conjuntos en el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) en 1908 ^[65] .

Durante la década de 1960, EC Zeeman introdujo espacios de tolerancia en el modelado de la percepción visual ^[83] . AB Sossinsky observó en 1986 ^[71] que la idea principal que subyace a la teoría del espacio de tolerancia proviene de Poincaré, especialmente ^[60] . En 2002, Z. Pawlak y J. Peters ^[B] consideraron un enfoque informal para la percepción de la proximidad de objetos físicos como copos de nieve que no se limitaba a la proximidad espacial. En 2006, J. Peters, A. Skowron y J. Stepaniuk ^[C] consideraron un enfoque formal para la proximidad descriptiva de objetos en el contexto de los espacios de proximidad ^{[39] [33] [35] [21] . En 2007, J. Peters [D] [E]} introdujo conjuntos descriptivamente cercanos , seguidos de la introducción de conjuntos de tolerancia cercanos ^{[41] [45]} . Recientemente, el estudio de conjuntos descriptivamente cercanos ha conducido a fundamentos algebraicos ^{[22] [51]} , topológicos y de espacio de proximidad ^[37] de dichos conjuntos.

El adjetivo "cerca" en el contexto de conjuntos cercanos se utiliza para denotar el hecho de que las diferencias observadas en los valores de las características de objetos distintos son lo suficientemente pequeñas como para ser consideradas indistinguibles, es decir , dentro de cierta tolerancia.

La idea exacta de proximidad o "semejanza" o de "estar dentro de la tolerancia" es lo suficientemente universal como para aparecer, de forma bastante natural, en casi cualquier contexto matemático (véase, por ejemplo , ^[66] ). Es especialmente natural en aplicaciones matemáticas: los problemas prácticos, en la mayoría de los casos, tratan con datos de entrada aproximados y solo requieren resultados viables con un nivel tolerable de error ^[71] .

Las palabras cerca y lejos se utilizan en la vida diaria y fue una sugerencia incisiva de F. Riesz ^[65] que estos conceptos intuitivos se hicieran rigurosos. Introdujo el concepto de proximidad de pares de conjuntos en el ICM en Roma en 1908. Este concepto es útil para simplificar la enseñanza del cálculo y el cálculo avanzado. Por ejemplo, el paso de una definición intuitiva de continuidad de una función en un punto a su definición rigurosa de épsilon-delta es a veces difícil de explicar para los profesores y de entender para los estudiantes. Intuitivamente, la continuidad se puede explicar utilizando el lenguaje de proximidad, es decir , una función es continua en un punto , siempre que los puntos cercanos entren en puntos cercanos . Utilizando la idea de Riesz, esta definición se puede hacer más precisa y su contrapositiva es la definición familiar ^{[4] [36]} . ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle c}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \{f(x)\}}$${\displaystyle f(c)}$

Desde un punto de vista espacial, la proximidad se considera una generalización de la intersección de conjuntos . Para conjuntos disjuntos, una forma de intersección de conjuntos de proximidad se define en términos de un conjunto de objetos (extraídos de conjuntos disjuntos) que tienen características similares dentro de cierta tolerancia (véase, por ejemplo , §3 en ^[80] ). Por ejemplo, los óvalos de la Fig. 1 se consideran cercanos entre sí, ya que estos óvalos contienen pares de clases que muestran colores similares (visualmente indistinguibles).

Sea un espacio topológico métrico dotado de una o más relaciones de proximidad y sea la colección de todos los subconjuntos de . La colección se denomina conjunto potencia de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2^{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 2^{X}}$${\displaystyle X}$

Hay muchas maneras de definir proximidades de Efremovič en espacios topológicos (proximidad discreta, proximidad estándar, proximidad métrica, proximidad de Čech, proximidad de Alexandroff y proximidad de Freudenthal). Para más detalles, véase § 2, pp. 93-94 en ^[6] . El foco aquí está en la proximidad estándar en un espacio topológico. Para , es cercano (denotado por ), siempre que sus clausuras compartan un punto común. ${\displaystyle A,B\subset X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\ \delta \ B}$

El cierre de un subconjunto (denotado por ) es el cierre de Kuratowski habitual de un conjunto ^[F] , introducido en § 4, p. 20 ^[27] , se define por ${\displaystyle A\in 2^{X}}$${\displaystyle {\mbox{cl}}(A)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{cl}}(A)&=\left\{x\in X:D(x,A)=0\right\},\ {\mbox{where}}\\D(x,A)&=\inf \left\{d(x,a):a\in A\right\}.\end{aligned}}}$

Es decir, es el conjunto de todos los puntos en que están cerca de ( es la distancia de Hausdorff (véase § 22, p. 128, en ^[15] ) entre y el conjunto y (distancia estándar)). Una relación de proximidad estándar se define por ${\displaystyle {\mbox{cl}}(A)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D(x,A)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle d(x,a)=\left|x-a\right|}$

${\displaystyle \delta =\left\{(A,B)\in 2^{X}\times 2^{X}:{\mbox{cl}}(A)\ \cap \ {\mbox{cl}}(B)\neq \emptyset \right\}.}$

Siempre que los conjuntos y no tienen puntos en común, los conjuntos están lejos uno del otro (denotado ). ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\ {\underline {\delta }}\ B}$

Los siguientes axiomas del espacio de proximidad EF ^[G] son ​​dados por Jurij Michailov Smirnov ^[67] basándose en lo que Vadim Arsenyevič Efremovič introdujo durante la primera mitad de la década de 1930 ^[8] . Sea . ${\displaystyle A,B,E\in 2^{X}}$

EF.1

Si el conjunto está cerca de , entonces está cerca de .${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

EF.2

${\displaystyle A\cup B}$está cerca de , si y solo si, al menos uno de los conjuntos o está cerca de .${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle E}$

EF.3

Dos puntos están cerca, si y sólo si, son el mismo punto.

EF.4

Todos los conjuntos están lejos del conjunto vacío .${\displaystyle \emptyset }$

EF.5

Para cualesquiera dos conjuntos y que estén lejos uno del otro, existe , , tal que está lejos de y está lejos de ( axioma de Efremovič ).${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C,D\in 2^{X}}$${\displaystyle C\cup D=X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle D}$

El par se denomina espacio de proximidad EF . En este contexto, un espacio es un conjunto con alguna estructura añadida. En un espacio de proximidad , la estructura de se induce mediante la relación de proximidad EF . En un espacio de proximidad , el cierre de en coincide con la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen . ${\displaystyle (X,\delta )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$

Teorema 1 ^[67]

El cierre de cualquier conjunto en el espacio de proximidad es el conjunto de puntos que están cerca de .${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle A}$

Sea el conjunto representado por los puntos dentro de la región rectangular en la Fig. 5. Además, sean dos subconjuntos cualesquiera que no se intersequen ( es decir, subconjuntos espacialmente alejados entre sí) en , como se muestra en la Fig. 5. Sea ( complemento del conjunto ). Luego, a partir del axioma EF, observe lo siguiente: ${\displaystyle X}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C^{c}=X\backslash C}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&{}\mathrel {\underline {\delta }} B,\\B&\subset C,\\D&=C^{c},\\X&=D\cup C,\\A&\subset D,\ {\mbox{hence, we can write}}\\A\ {\underline {\delta }}\ B\ &\Rightarrow \ A\ {\underline {\delta }}\ C\ {\mbox{and}}\ B\ {\underline {\delta }}\ D,\ {\mbox{for some}}\ C,D\ {\mbox{in}}\ X{\mbox{ so that }}C\cup D=X.\qquad \blacksquare \end{aligned}}}$

Los conjuntos descriptivamente cercanos se introdujeron como un medio para resolver problemas de clasificación y reconocimiento de patrones que surgen de conjuntos disjuntos que se parecen entre sí. ^{[44] [43]} Recientemente, se han explorado las conexiones entre conjuntos cercanos en espacios EF y conjuntos cercanos en espacios EF descriptivos de proximidad. ^{[53] [48]}

Nuevamente, sea un espacio topológico métrico y sea un conjunto de funciones de sondeo que representan características de cada . La suposición hecha aquí es que contiene puntos no abstractos que tienen características mensurables como la orientación del gradiente. Un punto no abstracto tiene una ubicación y características que se pueden medir (ver § 3 en ^[26] ). ${\displaystyle X}$${\displaystyle \Phi =\left\{\phi _{1},\dots ,\phi _{n}\right\}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle X}$

Una función de sonda representa una característica de un punto de muestra en . La asignación se define por , donde es un espacio vectorial euclidiano real n-dimensional . es un vector de características para , que proporciona una descripción de . Por ejemplo, esto conduce a una vista proximal de conjuntos de puntos de imagen en imágenes digitales. ^[48]${\displaystyle \phi :X\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Phi :X\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \Phi (x)=(\phi _{1}(x),\dots ,\phi _{n}(x))}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\in X}$

Para obtener una relación de proximidad descriptiva (denotada por ), primero se elige un conjunto de funciones de sondeo. Sea una función de mapeo de un subconjunto de en un subconjunto de . Por ejemplo, sean y denoten conjuntos de descripciones de puntos en , respectivamente. Es decir, ${\displaystyle \delta _{\Phi }}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}:2^{X}\longrightarrow 2^{R^{n}}}$${\displaystyle 2^{X}}$${\displaystyle 2^{R^{n}}}$${\displaystyle A,B\in 2^{X}}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}(A),{\mathcal {Q}}(B)}$${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Q}}(A)&=\left\{\Phi (a):a\in A\right\},\\{\mathcal {Q}}(B)&=\left\{\Phi (b):b\in B\right\}.\end{aligned}}}$

La expresión lee está descriptivamente cerca de . De manera similar, lee está descriptivamente lejos de . La proximidad descriptiva de y se define por ${\displaystyle A\mathrel {\delta _{\Phi }} B}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle A\mathrel {{\underline {\delta }}_{\Phi }} B}$${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle A\mathrel {\delta _{\Phi }} B\Leftrightarrow {\mathcal {Q}}({\mbox{cl}}(A))\mathrel {\delta } {\mathcal {Q}}({\mbox{cl}}(B))\neq \emptyset .}$

La intersección descriptiva de y está definida por ${\displaystyle \mathop {\cap } _{\Phi }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle A\mathbin {\mathop {\cap } _{\Phi }} B=\left\{x\in A\cup B:{\mathcal {Q}}(A)\mathrel {\delta } {\mathcal {Q}}(B)\right\}.}$

Es decir, está en , siempre que haya algún . Observe que y pueden ser disjuntos y, sin embargo, pueden ser no vacíos. ${\displaystyle x\in A\cup B}$${\displaystyle A\mathbin {\mathop {\cap } _{\Phi }} B}$${\displaystyle \Phi (x)=\Phi (a)=\Phi (b)}$${\displaystyle a\in A,b\in B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\mathbin {\mathop {\cap } _{\Phi }} B}$

La relación de proximidad descriptiva se define por ${\displaystyle \delta _{\Phi }}$

${\displaystyle \delta _{\Phi }=\left\{(A,B)\in 2^{X}\times 2^{X}:{\mbox{cl}}(A)\mathbin {\mathop {\cap } _{\Phi }} {\mbox{cl}}(B)\neq \emptyset \right\}.}$

Siempre que los conjuntos y no tengan puntos con descripciones coincidentes, los conjuntos están descriptivamente lejos unos de otros (denotado por ). ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\ {\underline {\delta }}_{\Phi }\ B}$

La relación binaria es una EF-proximidad descriptiva , siempre que se cumplan los siguientes axiomas para . ${\displaystyle \delta _{\Phi }}$${\displaystyle A,B,E\subset X}$

deF.1

Si el conjunto está descriptivamente cerca de , entonces está descriptivamente cerca de .${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

deEF.2

${\displaystyle A\cup B}$es descriptivamente cercano a , si y solo si, al menos uno de los conjuntos o es descriptivamente cercano a .${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle E}$

deF.3

Dos puntos son descriptivamente cercanos, si y solo si, la descripción de coincide con la descripción de .${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

deF.4

Todos los conjuntos no vacíos están descriptivamente lejos del conjunto vacío .${\displaystyle \emptyset }$

def.5

Para cualesquiera dos conjuntos y que estén descriptivamente lejos uno del otro, existe , , tal que está descriptivamente lejos de y está descriptivamente lejos de ( Axioma descriptivo de Efremovič ).${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C,D\in 2^{X}}$${\displaystyle C\cup D=X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle D}$

El par se llama espacio de proximidad descriptivo. ${\displaystyle (X,\delta _{\Phi })}$

Un relator es una familia no vacía de relaciones en un conjunto no vacío ^[72] . El par (también denotado ) se llama espacio de relator. Los espacios de relator son generalizaciones naturales de conjuntos ordenados y espacios uniformes. ^{[73] [74]} Con la introducción de una familia de relaciones de proximidad en , obtenemos un espacio de relator proximal . Para simplificar, consideramos solo dos relaciones de proximidad, a saber, la proximidad de Efremovič ^[8] y la proximidad descriptiva al definir el relator descriptivo . ^{[53] [48]} El par se llama espacio de relator proximal ^[49] . En este trabajo, denota un espacio topológico métrico que está dotado de las relaciones en un relator proximal. Con la introducción de , el cierre tradicional de un subconjunto (por ejemplo, ^{[9] [7]} ) se puede comparar con el cierre descriptivo más reciente de un subconjunto. ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,{\mathcal {R}})}$${\displaystyle X({\mathcal {R}})}$${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\delta }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,{\mathcal {R}}_{\delta })}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta _{\Phi }}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }}}$${\displaystyle (X,{\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,{\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }})}$

En un espacio relator proximal , el cierre descriptivo de un conjunto (denotado por ) se define por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mbox{cl}}_{\Phi }(A)}$

${\displaystyle {\mbox{cl}}_{\Phi }(A)=\left\{x\in X:{\Phi (x)}\mathrel {\delta } {\mathcal {Q}}({\mbox{cl}}(A))\right\}.}$

Es decir, está en el cierre descriptivo de , siempre que el cierre de y el cierre de tengan al menos un elemento en común. ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}({\mbox{cl}}(A))}$

Teorema 2 ^[50]

El cierre descriptivo de cualquier conjunto en el espacio de proximidad EF descriptivo es el conjunto de puntos que están descriptivamente cerca de .${\displaystyle A}$${\displaystyle (X,{\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }})}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle A}$

Teorema 3 ^[50]

El cierre de Kuratowski de un conjunto es un subconjunto del cierre descriptivo de en un espacio de proximidad EF descriptivo.${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Teorema 4 ^[49]

Sea un espacio de relación proximal, . Entonces .${\displaystyle (X,{\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }})}$${\displaystyle A\subset X}$${\displaystyle {\mbox{cl}}(A)\subseteq {\mbox{cl}}_{\Phi }(A)}$

Prueba

Sea tal que para algún . En consecuencia, . Por lo tanto,${\displaystyle \Phi (x)\in {\mathcal {Q}}(X\setminus {\mbox{cl}}(A))}$${\displaystyle \Phi (x)=\Phi (a)}$${\displaystyle a\in {\mbox{cl}}A}$${\displaystyle \Phi (x)\in {\mathcal {Q}}({\mbox{cl}}_{\Phi }(A))}$${\displaystyle {\mbox{cl}}(A)\subseteq {\mbox{cl}}_{\Phi }(A)}$

En un espacio relator proximal, la proximidad EF conduce a los siguientes resultados para la proximidad descriptiva . ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta _{\Phi }}$

Teorema 5 ^[49]

Sea un espacio de relación proximal, . Entonces ${\displaystyle (X,{\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }})}$${\displaystyle A,B,C\subset X}$

1°

${\displaystyle A\ \delta \ B\ {\mbox{implies}}\ A\ \delta _{\Phi }\ B}$.

2°

${\displaystyle (A\cup B)\ \delta \ C\ {\mbox{implies}}\ (A\cup B)\ \delta _{\Phi }\ C}$.

3°

${\displaystyle {\mbox{cl}}A\ \delta \ {\mbox{cl}}B\ {\mbox{implies}}\ {\mbox{cl}}A\ \delta _{\Phi }\ {\mbox{cl}}B}$.

Prueba

1°

${\displaystyle A\ \delta \ B\Leftrightarrow A\cap B\neq \emptyset }$. Para y . En consecuencia, .${\displaystyle x\in A\cap B,\Phi (x)\in {\mathcal {Q}}(A)}$${\displaystyle \Phi (x)\in {\mathcal {Q}}(B)}$${\displaystyle A\ \delta _{\Phi }\ B}$

1° ⇒ 2°

3°

${\displaystyle {\mbox{cl}}A\ \delta \ {\mbox{cl}}B}$implica que y tienen al menos un punto en común. Por lo tanto, 1° ⇒ 3°.${\displaystyle {\mbox{cl}}A}$${\displaystyle {\mbox{cl}}A}$

${\displaystyle \qquad \blacksquare }$

En un espacio relator proximal pseudométrico , la vecindad de un punto (denotado por ), para , se define por ${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle N_{x,\varepsilon }}$${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle N_{x,\varepsilon }=\left\{y\in X:d(x,y)<\varepsilon \right\}.}$

El interior de un conjunto (denotado por ) y el límite de (denotado por ) en un espacio relator proximal se definen por ${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mbox{int}}(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mbox{bdy}}(A)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{int}}(A)&=\left\{x\in X:N_{x,\varepsilon }\subseteq A\right\}.\\{\mbox{bdy}}(A)&={\mbox{cl}}(A)\setminus {\mbox{int}}(A).\end{aligned}}}$

Un conjunto tiene una inclusión fuerte natural en un conjunto asociado con ^{[5] [6]} } (denotado por ), siempre que ; es decir, ( esté lejos del complemento de ). En consecuencia, un conjunto tiene una inclusión fuerte descriptiva en un conjunto asociado con (denotado por ), siempre que ; es decir, ( esté lejos del complemento de ). ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle A\ll _{\delta }B}$${\displaystyle A\subset {\mbox{int}}(B)}$${\displaystyle A\mathrel {\underline {\delta }} X\setminus {\mbox{int}}(B)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mbox{int}}(B)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \delta _{\Phi }}$${\displaystyle A\mathrel {\mathop {\ll } _{\Phi }} B}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}(A)\subset \ {\mathcal {Q}}({\mbox{int}}(B))}$${\displaystyle A\ {\underline {\delta }}_{\Phi }\ X\setminus {\mbox{int}}(B)}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}(A)}$${\displaystyle {\mbox{int}}B}$

Sea una relación de vecindad descriptiva definida por ${\displaystyle \mathop {\ll } _{\Phi }}$${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \mathop {\ll } _{\Phi }=\left\{(A,B)\in 2^{X}\times 2^{X}:{\mathcal {Q}}(A)\subset {\mathcal {Q}}({\mbox{int}}(B))\right\}.}$

Es decir, , siempre que la descripción de cada uno esté contenida en el conjunto de descripciones de los puntos . Ahora observe que cualquier en el espacio de relación proximal tal que tenga vecindades disjuntas ; es decir, ${\displaystyle A\mathrel {\mathop {\ll } _{\Phi }} B}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle b\in {\mbox{int}}(B)}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\mathrel {{\underline {\delta }}_{\Phi }} B}$${\displaystyle \delta _{\Phi }}$

${\displaystyle A\mathrel {{\underline {\delta }}_{\Phi }} B\Leftrightarrow A\mathrel {\mathop {\ll } _{\Phi }} E1,B\mathrel {\mathop {\ll } _{\Phi }} E2,\ {\mbox{for some}}\ E1,E2\subset X\ {\mbox{(See Fig. 6).}}}$

Teorema 6 ^[50]

Dos conjuntos cualesquiera que se encuentren descriptivamente alejados entre sí pertenecen a barrios descriptivos disjuntos en un espacio de proximidad descriptiva .${\displaystyle \delta _{\Phi }}$${\displaystyle X}$

La consideración de la contención fuerte de un conjunto no vacío en otro conjunto conduce al estudio de topologías de aciertos y errores y de la topología de Wijsman. ^[2]

Sea un número real mayor que cero. En el estudio de conjuntos que están proximalmente próximos dentro de cierta tolerancia, el conjunto de relaciones de proximidad se amplía con una relación de proximidad de tolerancia pseudométrica (denotada por ) definida por ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }}}$${\displaystyle \delta _{\Phi ,\varepsilon }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\Phi }(A,B)&=\inf \left\{d(\Phi (a),\Phi (a)):\Phi (a)\in {\mathcal {Q}}(A),\Phi (a)\in {\mathcal {Q}}(B)\right\},\\d(\Phi (a),\Phi (a))&=\mathop {\sum } _{i=1}^{n}|\phi _{i}(a)-\phi _{i}(b)|,\\\delta _{\Phi ,\varepsilon }&=\left\{(A,B)\in 2^{X}\times 2^{X}:|D({\mbox{cl}}(A),{\mbox{cl}}(B))|<\varepsilon \right\}.\end{aligned}}}$

Sea . En otras palabras, un conjunto no vacío equipado con el relacionista proximal tiene una estructura subyacente proporcionada por el relacionista proximal y proporciona una base para el estudio de los conjuntos cercanos a la tolerancia en que están cerca dentro de cierta tolerancia. Los conjuntos en un espacio de relacionista proximal pseudométrico descriptivo son conjuntos cercanos a la tolerancia (es decir, ), siempre que ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi ,\varepsilon }}={\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }}\cup \left\{\delta _{\Phi ,\varepsilon }\right\}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi ,\varepsilon }}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi }}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle (X,{\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi ,\varepsilon }})}$${\displaystyle A\ \delta _{\Phi ,\varepsilon }\ B}$

${\displaystyle D_{\Phi }(A,B)<\varepsilon .}$

Las relaciones con las mismas propiedades formales que las relaciones de similitud de sensaciones consideradas por Poincaré ^[62] se denominan hoy en día, después de Zeeman ^[83] , relaciones de tolerancia . Una tolerancia en un conjunto${\displaystyle \tau }$${\displaystyle O}$ es una relación que es reflexiva y simétrica. En álgebra, el término relación de tolerancia también se utiliza en un sentido estricto para denotar relaciones reflexivas y simétricas definidas en universos de álgebras que también son compatibles con operaciones de un álgebra dada, es decir , son generalizaciones de relaciones de congruencia (véase , por ejemplo , ^[12] ). Al referirse a tales relaciones, se utiliza el término tolerancia algebraica o el término relación de tolerancia algebraica . Las relaciones de tolerancia transitivas son relaciones de equivalencia. Un conjunto junto con una tolerancia se denomina espacio de tolerancia (denotado como ). Un conjunto es una -preclase (o brevemente preclase cuando se entiende ) si y solo si para cualquier , . ${\displaystyle \tau \subseteq O\times O}$${\displaystyle O}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle (O,\tau )}$${\displaystyle A\subseteq O}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle x,y\in A}$${\displaystyle (x,y)\in \tau }$

La familia de todas las preclases de un espacio de tolerancia está ordenada naturalmente por inclusión de conjuntos y las preclases que son máximas con respecto a la inclusión de conjuntos se denominan -clases o simplemente clases , cuando se entiende . La familia de todas las clases del espacio es particularmente interesante y se denota por . La familia es una cobertura de ^[58] . ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle (O,\tau )}$${\displaystyle H_{\tau }(O)}$${\displaystyle H_{\tau }(O)}$${\displaystyle O}$

El trabajo sobre similitud de Poincaré y Zeeman presagia la introducción de conjuntos cercanos ^{[44] [43]} y la investigación sobre relaciones de similitud, por ejemplo , ^[79] . En ciencia e ingeniería, los conjuntos cercanos de tolerancia son una aplicación práctica del estudio de conjuntos que están cerca dentro de cierta tolerancia. Una tolerancia está directamente relacionada con la idea de cercanía o semejanza ( es decir , estar dentro de cierta tolerancia) al comparar objetos. A modo de aplicación del enfoque de Poincaré para definir espacios visuales y el enfoque de Zeeman para las relaciones de tolerancia, la idea básica es comparar objetos como parches de imagen en el interior de imágenes digitales. ${\displaystyle \varepsilon \in (0,\infty ]}$

Ejemplo sencillo

El siguiente ejemplo simple demuestra la construcción de clases de tolerancia a partir de datos reales. Considere los 20 objetos de la tabla siguiente con . ${\displaystyle |\Phi |=1}$

Sea una relación de tolerancia definida como

${\displaystyle \cong _{\varepsilon }{}\Leftrightarrow \{(x,y)\in O\times O:\;\parallel \Phi (x)-\Phi (y)\parallel _{_{2}}\leq \varepsilon \}}$

Luego, la configuración proporciona las siguientes clases de tolerancia: ${\displaystyle \varepsilon =0.1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\cong _{\varepsilon }}(O)={}&\{\{x_{1},x_{8},x_{10},x_{11}\},\{x_{1},x_{9},x_{10},x_{11},x_{14}\},\\&\{x_{2},x_{7},x_{18},x_{19}\},\\&\{x_{3},x_{12},x_{17}\},\\&\{x_{4},x_{13},x_{20}\},\{x_{4},x_{18}\},\\&\{x_{5},x_{6},x_{15},x_{16}\},\{x_{5},x_{6},x_{15},x_{20}\},\\&\{x_{6},x_{13},x_{20}\}\}.\end{aligned}}}$

Observe que cada objeto en una clase de tolerancia satisface la condición y que casi todos los objetos aparecen en más de una clase. Además, habría veinte clases si se utilizara la relación de indiscernibilidad, ya que no hay dos objetos con descripciones coincidentes. ${\displaystyle \parallel \Phi (x)-\Phi (y)\parallel _{2}\leq \varepsilon }$

Ejemplo de procesamiento de imágenes

El siguiente ejemplo proporciona un ejemplo basado en imágenes digitales. Sea una subimagen definida como un pequeño subconjunto de píxeles pertenecientes a una imagen digital de modo que los píxeles contenidos en la subimagen formen un cuadrado. Luego, sean los conjuntos y respectivamente las subimágenes obtenidas de dos imágenes diferentes, y sea . Finalmente, sea la descripción de un objeto dada por el componente Verde en el modelo de color RGB . El siguiente paso es encontrar todas las clases de tolerancia utilizando la relación de tolerancia definida en el ejemplo anterior. Utilizando esta información, se pueden formar clases de tolerancia que contengan objetos que tengan valores similares (dentro de unos pequeños ) para el componente Verde en el modelo de color RGB. Además, las imágenes que están cerca (similares) entre sí deben tener clases de tolerancia divididas entre ambas imágenes (en lugar de clases de tolerancia contenidas únicamente en una de las imágenes). Por ejemplo, la figura que acompaña a este ejemplo muestra un subconjunto de las clases de tolerancia obtenidas de dos imágenes de hojas. En esta figura, a cada clase de tolerancia se le asigna un color separado. Como se puede ver, las dos hojas comparten clases de tolerancia similares. Este ejemplo resalta la necesidad de medir el grado de proximidad de dos conjuntos. ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle O=\{X\cup Y\}}$${\displaystyle \varepsilon }$

Sea un espacio relator EF-proximal pseudométrico descriptivo particular equipado con la relación de proximidad y con subconjuntos no vacíos y con la relación de tolerancia definida en términos de un conjunto de sondas y con , donde ${\displaystyle (U,{\mathcal {R}}_{\delta _{\Phi ,\varepsilon }})}$${\displaystyle \delta _{\Phi ,\varepsilon }}$${\displaystyle X,Y\in 2^{U}}$${\displaystyle \cong _{\Phi ,\varepsilon }}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \varepsilon \in (0,\infty ]}$

${\displaystyle \simeq _{\Phi ,\varepsilon }=\{(x,y)\in U\times U\mid \ |\Phi (x)-\Phi (y)|\leq \varepsilon \}.}$

Además, supongamos y denotemos la familia de todas las clases en el espacio . ${\displaystyle Z=X\cup Y}$${\displaystyle H_{\tau _{\Phi ,\varepsilon }}(Z)}$${\displaystyle (Z,\simeq _{\Phi ,\varepsilon })}$

Sea . La distancia se define por ${\displaystyle A\subseteq X,B\subseteq Y}$${\displaystyle D_{_{tNM}}:2^{U}\times 2^{U}:\longrightarrow [0,\infty ]}$

${\displaystyle D_{_{tNM}}(X,Y)={\begin{cases}1-tNM(A,B),&{\mbox{if }}X{\mbox{ and }}Y{\mbox{ are not empty}},\\\infty ,&{\mbox{if }}X{\mbox{ or }}Y{\mbox{ is empty}},\end{cases}}}$

dónde

${\displaystyle tNM(A,B)={\Biggl (}\sum _{C\in H_{\tau _{\Phi ,\varepsilon }}(Z)}|C|{\Biggr )}^{-1}\cdot \sum _{C\in H_{\tau _{\Phi ,\varepsilon }}(Z)}|C|{\frac {\min(|C\cap A|,|[C\cap B|)}{\max(|C\cap A|,|C\cap B|)}}.}$

Los detalles relacionados se dan en ^{[14] [16] [17]} . La idea detrás es que los conjuntos que son similares deben tener un número similar de objetos en cada clase de tolerancia. Por lo tanto, para cada clase de tolerancia obtenida del cubrimiento de , cuenta el número de objetos que pertenecen a y y toma la razón (como una fracción propia) de sus cardinalidades. Además, cada razón se pondera por el tamaño total de la clase de tolerancia (dando así importancia a las clases más grandes) y el resultado final se normaliza dividiendo por la suma de todas las cardinalidades. El rango de está en el intervalo [0,1], donde se obtiene un valor de 1 si los conjuntos son equivalentes (según las descripciones de los objetos) y se obtiene un valor de 0 si no tienen descripciones en común. ${\displaystyle tNM}$${\displaystyle tNM}$${\displaystyle Z=X\cup Y}$${\displaystyle tNM}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle tNM}$

Como ejemplo del grado de proximidad entre dos conjuntos, considere la figura siguiente en la que cada imagen consta de dos conjuntos de objetos, y . Cada color en las figuras corresponde a un conjunto donde todos los objetos de la clase comparten la misma descripción. La idea detrás es que la proximidad de los conjuntos en un sistema perceptual se basa en la cardinalidad de las clases de tolerancia que comparten. Por lo tanto, los conjuntos en el lado izquierdo de la figura están más cerca (más próximos) entre sí en términos de sus descripciones que los conjuntos en el lado derecho de la figura. ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle tNM}$

El sistema de evaluación y reconocimiento de conjuntos cercanos (NEAR) es un sistema desarrollado para demostrar aplicaciones prácticas de la teoría de conjuntos cercanos a los problemas de evaluación de segmentación de imágenes y correspondencia de imágenes. Fue motivado por la necesidad de una herramienta de software disponible gratuitamente que pueda proporcionar resultados para la investigación y generar interés en la teoría de conjuntos cercanos. El sistema implementa una interfaz de documentos múltiples (MDI) donde cada tarea de procesamiento independiente se realiza en su propio marco secundario. Los objetos (en el sentido de conjunto cercano) en este sistema son subimágenes de las imágenes que se están procesando y las funciones de sondeo (características) son funciones de procesamiento de imágenes definidas en las subimágenes. El sistema fue escrito en C++ y fue diseñado para facilitar la adición de nuevas tareas de procesamiento y funciones de sondeo. Actualmente, el sistema realiza seis tareas principales, a saber, mostrar clases de equivalencia y tolerancia para una imagen, realizar la evaluación de segmentación, medir la proximidad de dos imágenes, realizar la recuperación de imágenes basada en contenido (CBIR) y mostrar el resultado del procesamiento de una imagen utilizando una función de sondeo específica.

El Sistema de Proximidad es una aplicación desarrollada para demostrar enfoques topológicos basados ​​en descripciones para la proximidad y cercanía dentro del contexto del análisis de imágenes digitales. El Sistema de Proximidad surgió del trabajo de S. Naimpally y J. Peters sobre espacios topológicos. El Sistema de Proximidad fue escrito en Java y está destinado a ejecutarse en dos entornos operativos diferentes, a saber, en teléfonos inteligentes y tabletas Android, así como en plataformas de escritorio que ejecutan la Máquina Virtual Java. Con respecto al entorno de escritorio, el Sistema de Proximidad es una aplicación Java multiplataforma para sistemas Windows, OSX y Linux, que se ha probado en Windows 7 y Debian Linux utilizando Sun Java 6 Runtime. En términos de la implementación de los enfoques teóricos, tanto la aplicación para Android como la de escritorio utilizan las mismas bibliotecas de back-end para realizar los cálculos basados ​​en descripciones, donde las únicas diferencias son la interfaz de usuario y la versión de Android tiene menos funciones disponibles debido a las restricciones en los recursos del sistema.