Plano (geometría)

Un plano se puede describir mediante un sistema de ecuaciones lineales . Por ejemplo, una línea en el espacio bidimensional se puede describir mediante una única ecuación lineal que involucra x e y :

${\displaystyle 3x+5y=8.}$

En el espacio tridimensional, una sola ecuación lineal que involucra x , y y z define un plano, mientras que un par de ecuaciones lineales pueden usarse para describir una línea. En general, una ecuación lineal en n variables describe un hiperplano, y un sistema de ecuaciones lineales describe la intersección de esos hiperplanos. Suponiendo que las ecuaciones son consistentes y linealmente independientes , un sistema de k ecuaciones describe un plano de dimensión n − k .

Un plano también puede describirse mediante un sistema de ecuaciones paramétricas lineales . Una línea puede describirse mediante ecuaciones que involucran un parámetro :

${\displaystyle x=2+3t,\;\;\;\;y=-1+t\;\;\;\;z={\frac {3}{2}}-4t}$

mientras que la descripción de un avión requeriría dos parámetros:

${\displaystyle x=5+2t_{1}-3t_{2},\;\;\;\;y=-4+t_{1}+2t_{2}\;\;\;\;z=5t_{1}-3t_{2}.\,\!}$

En general, una parametrización de un plano de dimensión k requeriría k parámetros, por ejemplo t ₁ , …, t _k .

La intersección de planos es un plano o el conjunto vacío .

Si cada línea de un plano es paralela a alguna línea de otro plano, entonces estos dos planos son paralelos . Dos planos paralelos de la misma dimensión coinciden o no se intersecan; pueden describirse mediante dos sistemas de ecuaciones lineales que difieren únicamente en sus segundos miembros.

Si los planos no se intersecan y ninguna línea que parta del primer plano es paralela a una línea que parta del segundo, entonces se trata de planos oblicuos . Esto solo es posible si la suma de sus dimensiones es menor que la dimensión del espacio circundante.

Para dos planos de dimensiones k ₁ y k ₂ existe un plano mínimo que los contiene, de dimensión como máximo k ₁ + k ₂ + 1. Si dos planos se intersecan, la dimensión del plano que los contiene es igual a k ₁ + k ₂ menos la dimensión de la intersección.

Estas dos operaciones (conocidas como intersección y unión ) convierten el conjunto de todos los planos en el espacio euclidiano n- dimensional en una red y permiten construir coordenadas sistemáticas para planos en cualquier dimensión, dando lugar a coordenadas de Grassmann o coordenadas duales de Grassmann. Por ejemplo, una línea en el espacio tridimensional se determina mediante dos puntos distintos o mediante dos planos distintos.

Sin embargo, la red de todos los planos no es una red distributiva . Si dos líneas ℓ ₁ y ℓ ₂ se intersecan, entonces ℓ ₁ ∩ ℓ ₂ es un punto. Si p es un punto que no se encuentra en el mismo plano, entonces (ℓ ₁ ∩ ℓ ₂ ) + p = (ℓ ₁ + p ) ∩ (ℓ ₂ + p ) , representando ambos una línea. Pero cuando ℓ ₁ y ℓ ₂ son paralelas, esta propiedad distributiva no se cumple, dando p en el lado izquierdo y una tercera línea paralela en el lado derecho.