Ángulos entre planos

El concepto de ángulos entre líneas (en el plano o en el espacio ), entre dos planos ( ángulo diedro ) o entre una línea y un plano se puede generalizar a dimensiones arbitrarias . Esta generalización fue discutida por primera vez por Camille Jordan . ^[1] Para cualquier par de planos en un espacio euclidiano de dimensión arbitraria se puede definir un conjunto de ángulos mutuos que son invariantes bajo la transformación isométrica del espacio euclidiano. Si los planos no se intersecan, su distancia más corta es uno más invariante. ^[1] Estos ángulos se denominan canónicos ^[2] o principales . ^{[3] El concepto de ángulos se puede generalizar a pares de planos en un} espacio de producto interno de dimensión finita sobre los números complejos .

Sean y planos de dimensiones y en el espacio euclidiano -dimensional . Por definición, una traslación de o no altera sus ángulos mutuos. Si y no se intersecan, lo harán en cualquier traslación de que mapee algún punto en a algún punto en . Por lo tanto, se puede suponer sin pérdida de generalidad que y se intersecan. ${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización l}$${\estilo de visualización n}$$Estilo de visualización E^{n}}$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización G}$

Jordan muestra que las coordenadas cartesianas en pueden entonces definirse de manera que y se describen, respectivamente, mediante los conjuntos de ecuaciones ${\displaystyle x_{1},\puntos ,x_{\rho },}$ ${\displaystyle y_{1},\puntos ,y_{\sigma },}$ ${\displaystyle z_{1},\dots,z_{\tau},}$ ${\ Displaystyle u_ {1}, \ puntos, u _ {\ upsilon},}$ ${\displaystyle v_{1},\puntos ,v_{\alpha },}$ ${\displaystyle w_{1},\dots,w_{\alpha }}$$Estilo de visualización E^{n}}$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización G}$

${\displaystyle x_{1}=0,\puntos ,x_{\rho }=0,}$

${\displaystyle u_{1}=0,\dots,u_{\upsilon }=0,}$

${\displaystyle v_{1}=0,\puntos ,v_{\alpha }=0}$

y

${\displaystyle x_{1}=0,\puntos ,x_{\rho }=0,}$

${\displaystyle z_{1}=0,\dots,z_{\tau }=0,}$

${\displaystyle v_{1}\cos \theta _{1}+w_{1}\sin \theta _{1}=0,\dots ,v_{\alpha }\cos \theta _{\alpha }+w_{\alpha }\sin \theta _{\alpha }=0}$

con . Jordan llama a estas coordenadas canónicas . Por definición, los ángulos son los ángulos entre y . ${\displaystyle 0<\theta _{i}<\pi /2,i=1,\dots ,\alpha }$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

Los números enteros no negativos están restringidos por ${\displaystyle \rho ,\sigma ,\tau ,\upsilon ,\alpha }$

${\displaystyle \rho +\sigma +\tau +\upsilon +2\alpha =n,}$

${\displaystyle \sigma +\tau +\alpha =k,}$

${\displaystyle \sigma +\upsilon +\alpha =\ell .}$

Para que estas ecuaciones determinen completamente los cinco números enteros no negativos, además de las dimensiones y y el número de ángulos , se debe dar el número entero no negativo . Este es el número de coordenadas , cuyos ejes correspondientes son aquellos que se encuentran completamente dentro de ambos y . El número entero es, por lo tanto, la dimensión de . El conjunto de ángulos se puede complementar con ángulos para indicar que tiene esa dimensión. ${\displaystyle n,k}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle F\cap G}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle F\cap G}$

La prueba de Jordan se aplica esencialmente sin modificaciones cuando se reemplaza con el espacio del producto interno de dimensión 1 sobre los números complejos. (Para los ángulos entre subespacios, la generalización a es discutida por Galántai y Hegedũs en términos de la caracterización variacional que se muestra a continuación. ^[4] ) ^[1]${\displaystyle E^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Ahora sean y subespacios del espacio de producto interno de dimensión 1 sobre los números reales o complejos. Geométricamente, y son planos, por lo que se aplica la definición de ángulos mutuos de Jordan. Cuando para cualquier coordenada canónica el símbolo denota el vector unitario del eje, los vectores forman una base ortonormal para y los vectores forman una base ortonormal para , donde ${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle {\hat {\xi }}}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle {\hat {y}}_{1},\dots ,{\hat {y}}_{\sigma },}$ ${\displaystyle {\hat {w}}_{1},\dots ,{\hat {w}}_{\alpha },}$ ${\displaystyle {\hat {z}}_{1},\dots ,{\hat {z}}_{\tau }}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle {\hat {y}}_{1},\dots ,{\hat {y}}_{\sigma },}$ ${\displaystyle {\hat {w}}'_{1},\dots ,{\hat {w}}'_{\alpha },}$ ${\displaystyle {\hat {u}}_{1},\dots ,{\hat {u}}_{\upsilon }}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\hat {w}}'_{i}={\hat {w}}_{i}\cos \theta _{i}+{\hat {v}}_{i}\sin \theta _{i},\quad i=1,\dots ,\alpha .}$

Al estar relacionados con las coordenadas canónicas, estos vectores básicos pueden llamarse canónicos .

Cuando denotamos los vectores básicos canónicos para y los vectores básicos canónicos para entonces el producto interno se desvanece para cualquier par de y excepto los siguientes. ${\displaystyle a_{i},i=1,\dots ,k}$${\displaystyle F}$${\displaystyle b_{i},i=1,\dots ,l}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \langle a_{i},b_{j}\rangle }$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle {\hat {y}}_{i},{\hat {y}}_{i}\rangle =1,&&i=1,\dots ,\sigma ,\\&\langle {\hat {w}}_{i},{\hat {w}}'_{i}\rangle =\cos \theta _{i},&&i=1,\dots ,\alpha .\end{aligned}}}$

Con el ordenamiento anterior de los vectores básicos, la matriz de los productos internos es, por tanto, diagonal . En otras palabras, si y son bases ortonormales arbitrarias en y entonces las transformaciones reales, ortogonales o unitarias de la base a la base y de la base a la base realizan una descomposición en valores singulares de la matriz de productos internos . Los elementos de la matriz diagonal son los valores singulares de esta última matriz. Por la unicidad de la descomposición en valores singulares, los vectores son entonces únicos hasta una transformación real, ortogonal o unitaria entre ellos, y los vectores y (y por tanto ) son únicos hasta transformaciones reales, ortogonales o unitarias iguales aplicadas simultáneamente a los conjuntos de los vectores asociados con un valor común de y a los conjuntos correspondientes de vectores (y por tanto a los conjuntos correspondientes de ). ${\displaystyle \langle a_{i},b_{j}\rangle }$${\displaystyle (a'_{i},i=1,\dots ,k)}$${\displaystyle (b'_{i},i=1,\dots ,\ell )}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (a'_{i})}$${\displaystyle (a_{i})}$${\displaystyle (b'_{i})}$${\displaystyle (b_{i})}$${\displaystyle \langle a'_{i},b'_{j}\rangle }$${\displaystyle \langle a_{i},b_{i}\rangle }$${\displaystyle {\hat {y}}_{i}}$${\displaystyle {\hat {w}}_{i}}$${\displaystyle {\hat {w}}'_{i}}$${\displaystyle {\hat {v}}_{i}}$${\displaystyle {\hat {w}}_{i}}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle {\hat {w}}'_{i}}$${\displaystyle {\hat {v}}_{i}}$

Un valor singular puede interpretarse como correspondiente a los ángulos introducidos anteriormente y asociados con y un valor singular puede interpretarse como correspondiente a los ángulos rectos entre los espacios ortogonales y , donde superíndice denota el complemento ortogonal . ${\displaystyle 1}$${\displaystyle \cos \,0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle F\cap G}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \cos \pi /2}$${\displaystyle F\cap G^{\bot }}$${\displaystyle F^{\bot }\cap G}$${\displaystyle \bot }$

La caracterización variacional de valores singulares y vectores implica como caso especial una caracterización variacional de los ángulos entre subespacios y sus vectores canónicos asociados. Esta caracterización incluye los ángulos y introducidos anteriormente y ordena los ángulos por valor creciente. Puede adoptar la forma de la definición alternativa que se presenta a continuación. En este contexto, se acostumbra hablar de ángulos y vectores principales . ^[3]${\displaystyle 0}$${\displaystyle \pi /2}$

Sea un espacio de producto interior. Dados dos subespacios con , existe entonces una sucesión de ángulos llamados ángulos principales, el primero definido como ${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathcal {U}},{\mathcal {W}}}$${\displaystyle \dim({\mathcal {U}})=k\leq \dim({\mathcal {W}}):=\ell }$${\displaystyle k}$${\displaystyle 0\leq \theta _{1}\leq \theta _{2}\leq \cdots \leq \theta _{k}\leq \pi /2}$

${\displaystyle \theta _{1}:=\min \left\{\arccos \left(\left.{\frac {|\langle u,w\rangle |}{\|u\|\|w\|}}\right)\,\right|\,u\in {\mathcal {U}},w\in {\mathcal {W}}\right\}=\angle (u_{1},w_{1}),}$

donde es el producto interno y la norma inducida . Los vectores y son los vectores principales correspondientes .${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle u_{1}}$${\displaystyle w_{1}}$

Los demás ángulos y vectores principales se definen recursivamente mediante

${\displaystyle \theta _{i}:=\min \left\{\left.\arccos \left({\frac {|\langle u,w\rangle |}{\|u\|\|w\|}}\right)\,\right|\,u\in {\mathcal {U}},~w\in {\mathcal {W}},~u\perp u_{j},~w\perp w_{j}\quad \forall j\in \{1,\ldots ,i-1\}\right\}.}$

Esto significa que los ángulos principales forman un conjunto de ángulos minimizados entre los dos subespacios, y los vectores principales en cada subespacio son ortogonales entre sí. ${\displaystyle (\theta _{1},\ldots ,\theta _{k})}$

Geométricamente, los subespacios son planos (puntos, líneas, planos, etc.) que incluyen el origen, por lo que dos subespacios cualesquiera se intersecan al menos en el origen. Dos subespacios bidimensionales y generan un conjunto de dos ángulos. En un espacio euclidiano tridimensional , los subespacios y son idénticos o su intersección forma una línea. En el primer caso, ambos . En el segundo caso, solo , donde los vectores y están en la línea de la intersección y tienen la misma dirección. El ángulo será el ángulo entre los subespacios y en el complemento ortogonal a . Al imaginar el ángulo entre dos planos en 3D, uno piensa intuitivamente en el ángulo más grande, . ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}}$${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{2}=0}$${\displaystyle \theta _{1}=0}$${\displaystyle u_{1}}$${\displaystyle w_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}\cap {\mathcal {W}}}$${\displaystyle \theta _{2}>0}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}\cap {\mathcal {W}}}$${\displaystyle \theta _{2}>0}$

En un espacio de coordenadas reales de cuatro dimensiones R ⁴ , sea que el subespacio bidimensional esté generado por y , y sea que el subespacio bidimensional esté generado por y con algunos reales y tales que . Entonces y son, de hecho, el par de vectores principales correspondientes al ángulo con , y y son los vectores principales correspondientes al ángulo con${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle u_{1}=(1,0,0,0)}$${\displaystyle u_{2}=(0,1,0,0)}$${\displaystyle {\mathcal {W}}}$${\displaystyle w_{1}=(1,0,0,a)/{\sqrt {1+a^{2}}}}$${\displaystyle w_{2}=(0,1,b,0)/{\sqrt {1+b^{2}}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle |a|<|b|}$${\displaystyle u_{1}}$${\displaystyle w_{1}}$${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \cos(\theta _{1})=1/{\sqrt {1+a^{2}}}}$${\displaystyle u_{2}}$${\displaystyle w_{2}}$${\displaystyle \theta _{2}}$${\displaystyle \cos(\theta _{2})=1/{\sqrt {1+b^{2}}}.}$

Para construir un par de subespacios con cualquier conjunto de ángulos dado en un espacio euclidiano de dimensión (o mayor) , tome un subespacio con una base ortonormal y complételo a una base ortonormal del espacio euclidiano, donde . Entonces, una base ortonormal del otro subespacio es, por ejemplo, ${\displaystyle k}$${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{k}}$${\displaystyle 2k}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{k})}$${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$${\displaystyle n\geq 2k}$${\displaystyle {\mathcal {W}}}$

${\displaystyle (\cos(\theta _{1})e_{1}+\sin(\theta _{1})e_{k+1},\ldots ,\cos(\theta _{k})e_{k}+\sin(\theta _{k})e_{2k}).}$

• Si el ángulo más grande es cero, un subespacio es un subconjunto del otro.
• Si el ángulo más grande es , hay al menos un vector en un subespacio perpendicular al otro subespacio.${\displaystyle \pi /2}$
• Si el ángulo más pequeño es cero, los subespacios se intersecan al menos en una línea.
• Si el ángulo más pequeño es , los subespacios son ortogonales.${\displaystyle \pi /2}$
• El número de ángulos igual a cero es la dimensión del espacio donde se intersecan los dos subespacios.

• Los ángulos no triviales (distintos de y ^[5] ) entre dos subespacios son los mismos que los ángulos no triviales entre sus complementos ortogonales. ^{[6] [7]}${\displaystyle 0}$${\displaystyle \pi /2}$
• Los ángulos no triviales entre los subespacios y y los ángulos no triviales correspondientes entre los subespacios y suman . ^{[6] [7]}${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle {\mathcal {W}}^{\perp }}$${\displaystyle \pi /2}$
• Los ángulos entre subespacios satisfacen la desigualdad triangular en términos de mayoración y, por lo tanto, pueden usarse para definir una distancia en el conjunto de todos los subespacios convirtiendo el conjunto en un espacio métrico . ^[8]
• El seno de los ángulos entre subespacios satisface la desigualdad triangular en términos de mayoración y, por lo tanto, se puede utilizar para definir una distancia en el conjunto de todos los subespacios convirtiendo el conjunto en un espacio métrico . ^[6] Por ejemplo, el seno del ángulo más grande se conoce como una brecha entre subespacios. ^[9]

La noción de ángulos y algunas de las propiedades variacionales pueden extenderse naturalmente a productos internos arbitrarios ^{[10] y subespacios con} dimensiones infinitas . ^[7]

Históricamente, los ángulos y vectores principales aparecen por primera vez en el contexto de la correlación canónica y se calcularon originalmente utilizando SVD de matrices de covarianza correspondientes . Sin embargo, como se observó por primera vez en ^[3] , la correlación canónica está relacionada con el coseno de los ángulos principales, que está mal condicionado para ángulos pequeños, lo que lleva a un cálculo muy inexacto de vectores principales altamente correlacionados en aritmética computacional de precisión finita . El algoritmo basado en seno ^[3] soluciona este problema, pero crea un nuevo problema de cálculo muy inexacto de vectores principales altamente no correlacionados, ya que la función seno está mal condicionada para ángulos cercanos a π /2. Para producir vectores principales precisos en aritmética computacional para el rango completo de los ángulos principales, la técnica combinada ^[10] primero calcula todos los ángulos y vectores principales utilizando el enfoque clásico basado en coseno y luego vuelve a calcular los ángulos principales menores a π /4 y los vectores principales correspondientes utilizando el enfoque basado en seno . ^[3] La técnica combinada ^[10] se implementa en las bibliotecas de código abierto Octave ^[11] y SciPy ^[12] y se contribuyó ^[13] y ^[14] a MATLAB .

• Descomposición en valores singulares
• Correlación canónica