Variable aleatoria multivariada

De manera similar, un nuevo vector aleatorio${\displaystyle \mathbf {Y} }$puede definirse aplicando una transformación afín${\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$a un vector aleatorio${\displaystyle \mathbf {X} }$:

${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {A} \mathbf {X} +b}$, dónde${\displaystyle \mathbf {A} }$es un${\displaystyle n\times n}$matriz y${\displaystyle b}$es un${\displaystyle n\times 1}$vector columna.

Si${\displaystyle \mathbf {A} }$es una matriz invertible y${\displaystyle \textstyle \mathbf {X} }$tiene una función de densidad de probabilidad${\displaystyle f_{\mathbf {X} }}$, entonces la densidad de probabilidad de${\displaystyle \mathbf {Y} }$es

${\displaystyle f_{\mathbf {Y} }(y)={\frac {f_{\mathbf {X} }(\mathbf {A} ^{-1}(yb))}{|\det \mathbf {A} |}}}$.

De forma más general, podemos estudiar aplicaciones invertibles de vectores aleatorios. ^{[ 2 ] : págs. 284-285}

Dejar${\displaystyle g}$ser una correspondencia uno a uno de un subconjunto abierto${\displaystyle {\mathcal {D}}}$de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$en un subconjunto${\displaystyle {\mathcal {R}}}$de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, dejar${\displaystyle g}$tienen derivadas parciales continuas en${\displaystyle {\mathcal {D}}}$y sea el determinante jacobiano${\displaystyle \det \left({\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {x} }}\right)}$de${\displaystyle g}$ser cero en ningún momento de${\displaystyle {\mathcal {D}}}$Supongamos que el vector aleatorio real es${\displaystyle \mathbf {X} }$tiene una función de densidad de probabilidad${\displaystyle f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )}$y satisface${\displaystyle P(\mathbf {X} \in {\mathcal {D}})=1}$. Luego el vector aleatorio${\displaystyle \mathbf {Y} =g(\mathbf {X} )}$es de densidad de probabilidad

${\displaystyle \left.f_{\mathbf {Y} }(\mathbf {y} )={\frac {f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )}{\left|\det \left({\frac {\partial \mathbf {y} }{\partial \mathbf {x} }}\right)\right|}}\right|_{\mathbf {x} =g^{-1}(\mathbf {y} )}\mathbf {1} (\mathbf {y} \in R_{\mathbf {Y} })}$

dónde${\displaystyle \mathbf {1} }$denota la función indicadora y el conjunto${\displaystyle R_{\mathbf {Y} }=\{\mathbf {y} =g(\mathbf {x} ):f_{\mathbf {X} }(\mathbf {x} )>0\}\subseteq {\mathcal {R}}}$denota apoyo de${\displaystyle \mathbf {Y} }$.

La matriz de covarianza (también llamada segundo momento central o matriz de varianza-covarianza) de un${\displaystyle n\times 1}$un vector aleatorio es un${\displaystyle n\times n}$matriz cuyo elemento ( ⁱ ,j ) es la covarianza entre la i- ^ésima y la j ^-ésima variable aleatoria. La matriz de covarianza es el valor esperado, elemento por elemento, de la${\displaystyle n\times n}$matriz calculada como${\displaystyle [\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ]][\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ]]^{T}}$donde el superíndice T se refiere a la transpuesta del vector indicado: ^{[ 2 ] : pág. 464 [ 3 ] : pág. 335}

Por extensión, la matriz de covarianza cruzada entre dos vectores aleatorios${\displaystyle \mathbf {X} }$y${\displaystyle \mathbf {Y} }$(${\displaystyle \mathbf {X} }$teniendo${\displaystyle n}$elementos y${\displaystyle \mathbf {Y} }$teniendo${\displaystyle p}$elementos) es el${\displaystyle n\times p}$matriz ^{[ 3 ] : pág. 336}

donde nuevamente la esperanza de la matriz se toma elemento por elemento en la matriz. Aquí el elemento ( ⁱ ,j ) es la covarianza entre el ^elemento i de${\displaystyle \mathbf {X} }$y el j ^-ésimo elemento de${\displaystyle \mathbf {Y} }$.

La matriz de covarianza es una matriz simétrica , es decir ^{[ 2 ] : pág. 466}

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }^{T}=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$.

La matriz de covarianza es una matriz semidefinida positiva , es decir ^{[ 2 ] : pág. 465}

${\displaystyle \mathbf {a} ^{T}\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}}$.

La matriz de covarianza cruzada${\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {Y} ,\mathbf {X} ]}$es simplemente la transpuesta de la matriz${\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}$, es decir

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {X} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }^{T}}$.

Dos vectores aleatorios${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},...,X_{m})^{T}}$y${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},...,Y_{n})^{T}}$se denominan no correlacionados si

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{T}]=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}$.

No están correlacionados si y solo si su matriz de covarianza cruzada${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}$es cero. ^{[ 3 ] : p.337}

La matriz de correlación (también llamada segundo momento ) de un${\displaystyle n\times 1}$un vector aleatorio es un${\displaystyle n\times n}$matriz cuyo elemento ( ⁱ ,j ) es la correlación entre la i- ^ésima y la j ^-ésima variable aleatoria. La matriz de correlación es el valor esperado, elemento por elemento, de la${\displaystyle n\times n}$matriz calculada como${\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {X} ^{T}}$donde el superíndice T se refiere a la transpuesta del vector indicado: ^{[ 4 ] : pág. 190 [ 3 ] : pág. 334}

Por extensión, la matriz de correlación cruzada entre dos vectores aleatorios${\displaystyle \mathbf {X} }$y${\displaystyle \mathbf {Y} }$(${\displaystyle \mathbf {X} }$teniendo${\displaystyle n}$elementos y${\displaystyle \mathbf {Y} }$teniendo${\displaystyle p}$elementos) es el${\displaystyle n\times p}$matriz

La matriz de correlación está relacionada con la matriz de covarianza mediante

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }+\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{T}}$.

De forma similar, para la matriz de correlación cruzada y la matriz de covarianza cruzada:

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }+\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}$

Se puede tomar la esperanza de una forma cuadrática en el vector aleatorio.${\displaystyle \mathbf {X} }$como sigue: ^{[ 5 ] : págs. 170–171}

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} ^{T}A\mathbf {X} ]=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{T}A\operatorname {E} [\mathbf {X} ]+\operatorname {tr} (AK_{\mathbf {X} \mathbf {X} }),}$

dónde${\displaystyle K_{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$es la matriz de covarianza de${\displaystyle \mathbf {X} }$y${\displaystyle \operatorname {tr} }$Se refiere a la traza de una matriz, es decir, a la suma de los elementos de su diagonal principal (de arriba a la izquierda a abajo a la derecha). Dado que la forma cuadrática es un escalar, su esperanza matemática también lo es.

Prueba : Sea${\displaystyle \mathbf {z} }$frijol${\displaystyle m\times 1}$vector aleatorio con${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {z} ]=\mu }$y${\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {z} ]=V}$y dejar${\displaystyle A}$frijol${\displaystyle m\times m}$matriz no estocástica.

Entonces, basándonos en la fórmula de la covarianza, si denotamos${\displaystyle \mathbf {z} ^{T}=\mathbf {X} }$y${\displaystyle \mathbf {z} ^{T}A^{T}=\mathbf {Y} }$, vemos que:

${\displaystyle \operatorname {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{T}]-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{T}}$

Por eso

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [XY^{T}]&=\operatorname {Cov} [X,Y]+\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]^{T}\\\operatorname {E} [z^{T}Az]&=\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]+\operatorname {E} [z^{T}]\operatorname {E} [z^{T}A^{T}]^{T}\\&=\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]+\mu ^{T}(\mu ^{T}A^{T})^{T}\\&=\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]+\mu ^{T}A\mu ,\end{aligned}}}$

lo que nos deja para demostrar que

${\displaystyle \operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]=\operatorname {tr} (AV).}$

Esto es cierto basándose en el hecho de que se pueden permutar matrices cíclicamente al tomar una traza sin cambiar el resultado (por ejemplo:${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)}$).

Vemos que

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} [z^{T},z^{T}A^{T}]&=\operatorname {E} \left[\left(z^{T}-E(z^{T})\right)\left(z^{T}A^{T}-E\left(z^{T}A^{T}\right)\right)^{T}\right]\\&=\operatorname {E} \left[(z^{T}-\mu ^{T})(z^{T}A^{T}-\mu ^{T}A^{T})^{T}\right]\\&=\operatorname {E} \left[(z-\mu )^{T}(Az-A\mu )\right].\end{aligned}}}$

Y dado que

${\displaystyle \left({z-\mu }\right)^{T}\left({Az-A\mu }\right)}$

es un escalar , entonces

${\displaystyle (z-\mu )^{T}(Az-A\mu )=\operatorname {tr} \left({(z-\mu )^{T}(Az-A\mu )}\right)=\operatorname {tr} \left((z-\mu )^{T}A(z-\mu )\right)}$

trivialmente. Usando la permutación obtenemos:

${\displaystyle \operatorname {tr} \left({(z-\mu )^{T}A(z-\mu )}\right)=\operatorname {tr} \left({A(z-\mu )(z-\mu )^{T}}\right),}$

y al sustituir esto en la fórmula original obtenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cov} \left[{z^{T},z^{T}A^{T}}\right]&=E\left[{\left({z-\mu }\right)^{T}(Az-A\mu )}\right]\\&=E\left[\operatorname {tr} \left(A(z-\mu )(z-\mu )^{T}\right)\right]\\&=\operatorname {tr} \left({A\cdot \operatorname {E} \left((z-\mu )(z-\mu )^{T}\right)}\right)\\&=\operatorname {tr} (AV).\end{aligned}}}$

Se puede tomar la esperanza del producto de dos formas cuadráticas diferentes en un vector aleatorio gaussiano de media cero.${\displaystyle \mathbf {X} }$como sigue: ^{[ 5 ] : págs. 162–176}

${\displaystyle \operatorname {E} \left[(\mathbf {X} ^{T}A\mathbf {X} )(\mathbf {X} ^{T}B\mathbf {X} )\right]=2\operatorname {tr} (AK_{\mathbf {X} \mathbf {X} }BK_{\mathbf {X} \mathbf {X} })+\operatorname {tr} (AK_{\mathbf {X} \mathbf {X} })\operatorname {tr} (BK_{\mathbf {X} \mathbf {X} })}$

¿Dónde de nuevo?${\displaystyle K_{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$es la matriz de covarianza de${\displaystyle \mathbf {X} }$. Nuevamente, dado que ambas formas cuadráticas son escalares y, por lo tanto, su producto es un escalar, la esperanza de su producto también es un escalar.

En la teoría de carteras en finanzas , un objetivo frecuente es elegir una cartera de activos de riesgo tal que la distribución del rendimiento aleatorio de la cartera tenga propiedades deseables. Por ejemplo, se podría querer elegir el rendimiento de la cartera con la menor varianza para un valor esperado dado. Aquí, el vector aleatorio es el vector${\displaystyle \mathbf {r} }$de rendimientos aleatorios en los activos individuales, y el rendimiento de la cartera p (un escalar aleatorio) es el producto interno del vector de rendimientos aleatorios con un vector w de ponderaciones de la cartera: las fracciones de la cartera colocadas en los respectivos activos. Dado que p = w ^T${\displaystyle \mathbf {r} }$, el valor esperado del rendimiento de la cartera es w ^T E(${\displaystyle \mathbf {r} }$) y se puede demostrar que la varianza del rendimiento de la cartera es w ^T C w , donde C es la matriz de covarianza de${\displaystyle \mathbf {r} }$.

En la teoría de la regresión lineal , disponemos de datos de n observaciones de una variable dependiente y y n observaciones de cada una de las k variables independientes x _j . Las observaciones de la variable dependiente se agrupan en un vector columna y ; las observaciones de cada variable independiente también se agrupan en vectores columna, y estos últimos se combinan en una matriz de diseño X (que en este contexto no representa un vector aleatorio) de observaciones de las variables independientes. A continuación, se postula la siguiente ecuación de regresión como descripción del proceso que generó los datos:

${\displaystyle y=X\beta +e,}$

donde β es un vector postulado fijo pero desconocido de k coeficientes de respuesta, y e es un vector aleatorio desconocido que refleja influencias aleatorias sobre la variable dependiente. Mediante alguna técnica elegida, como los mínimos cuadrados ordinarios , se obtiene un vector${\displaystyle {\hat {\beta }}}$se elige como una estimación de β, y la estimación del vector e , denotada${\displaystyle {\hat {e}}}$, se calcula como

${\displaystyle {\hat {e}}=y-X{\hat {\beta }}.}$

Entonces el estadístico debe analizar las propiedades de${\displaystyle {\hat {\beta }}}$y${\displaystyle {\hat {e}}}$, que se consideran vectores aleatorios ya que una selección aleatoria diferente de n casos para observar habría dado como resultado valores diferentes para ellos.

La evolución de un vector aleatorio k × 1${\displaystyle \mathbf {X} }$El tiempo puede modelarse como un vector autorregresivo (VAR) de la siguiente manera:

${\displaystyle \mathbf {X} _{t}=c+A_{1}\mathbf {X} _{t-1}+A_{2}\mathbf {X} _{t-2}+\cdots +A_{p}\mathbf {X} _{t-p}+\mathbf {e} _{t},\,}$

donde la observación del vector de i períodos hacia atrás${\displaystyle \mathbf {X} _{t-i}}$se denomina el i -ésimo retardo de${\displaystyle \mathbf {X} }$, c es un vector de constantes k  × 1 ( intersecciones ), A _i es una matriz k × k invariante en el tiempo y   ${\displaystyle \mathbf {e} _{t}}$es un vector aleatorio de k  × 1 de términos de error .