Simulación dinámica

El primer modelo que puede utilizarse en los motores de física rige el movimiento de objetos infinitesimales con masa finita llamados “partículas”. Esta ecuación, denominada segunda ley de Newton (véase leyes de Newton ) o definición de fuerza, es el comportamiento fundamental que rige todo movimiento:

${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}$^{[ 1 ]}

Esta ecuación nos permite modelar completamente el comportamiento de las partículas, pero no es suficiente para la mayoría de las simulaciones, ya que no considera el movimiento de rotación de los cuerpos rígidos . Este es el modelo más simple que se puede usar en un motor de física y se utilizó ampliamente en los primeros videojuegos.

En el mundo real, los cuerpos se deforman al aplicarles fuerzas, por lo que los llamamos "blandos". Sin embargo, a menudo la deformación es insignificante en comparación con el movimiento, y su modelado es muy complejo, por lo que la mayoría de los motores de física la ignoran. Un cuerpo que se considera indeformable se denomina cuerpo rígido . La dinámica de cuerpos rígidos estudia el movimiento de objetos que no pueden cambiar de forma, tamaño ni masa, pero sí de orientación y posición.

Para tener en cuenta la energía y el momento rotacionales, debemos describir cómo se aplica la fuerza al objeto mediante un momento y considerar la distribución de masa del objeto mediante un tensor de inercia . Describimos estas interacciones complejas con una ecuación algo similar a la definición de fuerza anterior:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }})}{\mathrm {d} t}}=\sum _{j=1}^{N}\tau _{j}}$

dónde${\displaystyle \mathbf {I} }$es el tensor de inercia central ,${\displaystyle {\vec {\omega }}}$es el vector de velocidad angular , y${\displaystyle \tau _{j}}$es el momento de la j -ésima fuerza externa con respecto al centro de masas .

El tensor de inercia describe la posición de cada partícula de masa en un objeto dado con respecto a su centro de masa. Esto nos permite determinar cómo rotará un objeto en función de las fuerzas que se le apliquen. Este movimiento angular se cuantifica mediante el vector de velocidad angular.

Mientras nos mantengamos por debajo de las velocidades relativistas (véase Dinámica relativista ), este modelo simulará con precisión todo el comportamiento relevante. Este método requiere que el motor de física resuelva seis ecuaciones diferenciales ordinarias en cada instante que queramos representar, lo cual es una tarea sencilla para las computadoras modernas.

El modelo inercial es mucho más complejo de lo que solemos necesitar, pero es el más sencillo de usar. En este modelo, no necesitamos modificar las fuerzas ni restringir el sistema. Sin embargo, si introducimos algunos cambios inteligentes, la simulación será mucho más fácil y el tiempo de cálculo disminuirá. La primera restricción consiste en expresar cada par en función de los ejes principales. Esto dificulta la programación de cada par, pero simplifica significativamente las ecuaciones. Al aplicar esta restricción, diagonalizamos el tensor de inercia, lo que simplifica las tres ecuaciones en un conjunto especial de ecuaciones denominadas ecuaciones de Euler . Estas ecuaciones describen todo el momento rotacional en función de los ejes principales.

${\displaystyle {\begin{matrix}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\omega _{2}\omega _{3}&=&N_{1}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\omega _{3}\omega _{1}&=&N_{2}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\omega _{1}\omega _{2}&=&N_{3}\end{matrix}}}$

• Los términos N son pares aplicados alrededor de los ejes principales.
• Los términos I son los momentos principales de inercia.
• El${\displaystyle {\omega }}$Los términos son velocidades angulares alrededor de los ejes principales.

La desventaja de este modelo es que todo el cálculo se realiza al principio, por lo que sigue siendo más lento de lo deseado. Su utilidad real no es evidente, ya que aún se basa en un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales. Para solucionar este problema, debemos encontrar un método que permita eliminar el segundo término de la ecuación. Esto facilitará considerablemente la integración. La forma más sencilla de lograrlo es asumir cierto grado de simetría.

Los dos tipos de objetos simétricos que simplifican las ecuaciones de Euler son las peonzas y las esferas. La primera supone un grado de simetría, lo que hace que dos de los términos I sean iguales. Estos objetos, al igual que los cilindros y las peonzas, pueden expresarse con una ecuación muy simple y dos ecuaciones ligeramente más simples. Esto no nos resulta muy útil, ya que con un grado más de simetría podemos obtener un gran aumento de velocidad prácticamente sin cambios en la apariencia. La esfera simétrica hace que todos los términos I sean iguales (el escalar del momento de inercia ), lo que simplifica todas estas ecuaciones:

${\displaystyle {\begin{matrix}I{\dot {\omega }}_{1}&=&N_{1}\\I{\dot {\omega }}_{2}&=&N_{2}\\I{\dot {\omega }}_{3}&=&N_{3}\end{matrix}}}$

• Los términos N son pares aplicados alrededor de los ejes principales.
• El${\displaystyle {\omega }}$Los términos son velocidades angulares alrededor de los ejes principales.
• El término I es el momento de inercia escalar :

${\displaystyle I\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{V}l^{2}(m)\,dm=\iiint _{V}l^{2}(v)\,\rho (v)\,dv=\iiint _{V}l^{2}(x,y,z)\,\rho (x,y,z)\,dx\,dy\,dz\!}$

dónde

• • V es la región de volumen del objeto,
  • r es la distancia desde el eje de rotación,
  • m es la masa,
  • v es el volumen,
  • ρ es la función de densidad puntual del objeto,
  • x , y , z son las coordenadas cartesianas.

Estas ecuaciones nos permiten simular el comportamiento de un objeto que puede girar de una manera muy similar al método para simular el movimiento sin giro. Este es un modelo simple, pero lo suficientemente preciso como para producir resultados realistas en simulaciones dinámicas en tiempo real . También permite que un motor de física se centre en las fuerzas y los pares cambiantes en lugar de en la inercia variable.