Teorema de Morera

Si la integral a lo largo de cada C es cero, entonces f es holomorfa en D.

En el análisis complejo , una rama de las matemáticas , el teorema de Morera , que lleva el nombre de Giacinto Morera , proporciona un criterio para demostrar que una función es holomorfa .

El teorema de Morera establece que una función continua de valores complejos f definida en un conjunto abierto D en el plano complejo que satisface $\oint _{\gamma }f(z)\,dz=0$ para cada curva C ^{1 cerrada por partes} $\gamma$ en D debe ser holomorfo en D .

La suposición del teorema de Morera es equivalente a que f tenga una antiderivada en D.

El recíproco del teorema no es cierto en general. Una función holomorfa no tiene por qué tener una antiderivada en su dominio, a menos que se impongan supuestos adicionales. El recíproco sí se cumple, por ejemplo, si el dominio es simplemente conexo ; este es el teorema integral de Cauchy , que establece que la integral de línea de una función holomorfa a lo largo de una curva cerrada es cero.

El "contraejemplo" estándar es la función $f (z) = 1/ z$ , que es holomorfa en C − {0}. En cualquier entorno simplemente conexo U en C − {0}, 1/ z tiene una antiderivada definida por $L (z) = ln(r) + iθ$ , donde $z = re iθ$ . Debido a la ambigüedad de θ salvo la suma de cualquier múltiplo entero de 2 $π$ , cualquier elección continua de θ en U será suficiente para definir una antiderivada de 1/ z en U . (El hecho de que θ no pueda definirse continuamente en una curva cerrada simple que contenga el origen en su interior es la raíz de por qué 1/ z no tiene antiderivada en todo su dominio C − {0}). Y debido a que la derivada de una constante aditiva es 0, cualquier constante puede agregarse a la antiderivada y el resultado seguirá siendo una antiderivada de 1/ z .

Prueba

Las integrales a lo largo de dos trayectorias de a a b son iguales, ya que su diferencia es la integral a lo largo de un bucle cerrado.

Para demostrar el teorema, construimos una antiderivada para f . Dado que la antiderivada es holomorfa (¡por construcción!), y dado que las funciones holomorfas son analíticas , se deduce que f es holomorfa.

Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que D es conexo . Fijemos un punto z ₀ en D , y para cualquier $z\in D$ , dejar ${\displaystyle \gamma$ Sea C 1 una curva C ¹ por partes tal que $: [0,1]\to D}$ $\gamma (0)=z_{0}$ y $\gamma (1)=z$ . Luego, defina la función F como $F(z)=\int _{\gamma }f(\zeta )\,d\zeta .$

Para comprobar que la función está bien definida, supongamos que... ${\displaystyle \tau$ es otra curva C ¹ por partes tal que $\tau (0)=z_{0}$ y $\tau (1)=z$ La curva $\gamma \tau ^{-1}$ (es decir, la curva que combina $\gamma$ con $\tau$ (en sentido inverso) es una curva C ^{1 cerrada por partes en}D. Entonces, $\int _{\gamma }f(\zeta )\,d\zeta +\int _{\tau ^{-1}}f(\zeta )\,d\zeta =\oint _{\gamma \tau ^{-1}}f(\zeta )\,d\zeta =0.$

Y de ello se deduce que $\int _{\gamma }f(\zeta )\,d\zeta =\int _{\tau }f(\zeta )\,d\zeta .$

Luego, usando la continuidad de f para estimar los cocientes de diferencias, obtenemos que F ′( z ) = f ( z ). Si hubiéramos elegido un z ₀ diferente en D , F cambiaría en una constante: es decir, el resultado de integrar f a lo largo de cualquier curva regular a trozos entre el nuevo z ₀ y el antiguo, y esto no cambia la derivada.

Aplicaciones

El teorema de Morera es una herramienta estándar en el análisis complejo . Se utiliza en casi cualquier argumento que involucre la construcción no algebraica de una función holomorfa.

Límites uniformes

Por ejemplo, supongamos que f ₁ , f ₂ , ... es una sucesión de funciones holomorfas que convergen uniformemente a una función continua f en un disco abierto. Por el teorema de Cauchy , sabemos que $\oint _ {C}f_ {n}(z)\,dz=0$ para cada n , a lo largo de cualquier curva cerrada C en el disco. Entonces la convergencia uniforme implica que $\oint _{C}f(z)\,dz=\oint _{C}\lim _{n\to \infty }f_{n}(z)\,dz=\lim _{n\to \infty }\oint _{C}f_{n}(z)\,dz=0$ para cada curva cerrada C , y por lo tanto, por el teorema de Morera, f debe ser holomorfa. Este hecho puede usarse para demostrar que, para cualquier conjunto abierto $Ω \subseteq C$ , el conjunto $A (Ω)$ de todas las funciones analíticas acotadas $u : Ω \to C$ es un espacio de Banach con respecto a la norma del supremo .

Sumas e integrales infinitas

El teorema de Morera también puede utilizarse junto con el teorema de Fubini y la prueba M de Weierstrass para demostrar la analiticidad de funciones definidas por sumas o integrales, como la función zeta de Riemann. $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$ o la función Gamma $\Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}e^{-x}\,dx.$

Específicamente uno muestra que $\oint _{C}\Gamma (\alpha )\,d\alpha =0$ para una curva cerrada adecuada C , escribiendo $\oint _{C}\Gamma (\alpha )\,d\alpha =\oint _{C}\int _{0}^{\infty }x^{\alpha -1}e^{-x}\,dx\,d\alpha$ y luego usando el teorema de Fubini para justificar el cambio del orden de integración, obteniendo $\int _{0}^{\infty }\oint _{C}x^{\alpha -1}e^{-x}\,d\alpha \,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\oint _{C}x^{\alpha -1}\,d\alpha \,dx.$

Entonces se utiliza la analiticidad de $α \mapsto x α -1$ para concluir que $\oint _{C}x^{\alpha -1}\,d\alpha =0,$ y por lo tanto la integral doble anterior es 0. De manera similar, en el caso de la función zeta, la prueba M justifica intercambiar la integral a lo largo de la curva cerrada y la suma.

Debilitamiento de las hipótesis

Las hipótesis del teorema de Morera pueden debilitarse considerablemente. En particular, basta con que la integral $\oint _ {\partial T}f(z)\,dz$ ser cero para cada triángulo cerrado (sólido) T contenido en la región D. Esto, de hecho, caracteriza la holomorfía, es decir, f es holomorfa en D si y solo si se cumplen las condiciones anteriores. También implica la siguiente generalización del hecho mencionado sobre los límites uniformes de las funciones holomorfas: si f ₁ , f ₂ , ... es una sucesión de funciones holomorfas definidas en un conjunto abierto $Ω \subseteq$ $C$ que converge a una función f uniformemente en subconjuntos compactos de Ω, entonces f es holomorfa.

Véase también

Referencias

Ahlfors, Lars (1 de enero de 1979), Análisis complejo , Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-000657-7, Zbl 0395.30001 .
Conway, John B. (1973), Funciones de una variable compleja I , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 11, Springer Verlag , ISBN 978-3-540-90328-4, Zbl 0277.30001 .
Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2006), Teoría de funciones de una variable compleja , Estudios de posgrado en matemáticas , vol. 40, Sociedad Matemática Americana, ISBN 0-8218-3962-4
Morera, Giacinto (1886), "Un teorema fondamentale nella teorica delle funzioni di una variabile complessa" , Rendiconti del Reale Instituto Lombardo di Scienze e Lettere (en italiano), 19 (2): 304– 307, JFM 18.0338.02 .
Rudin, Walter (1987) [1966], Análisis real y complejo (3.ª ed.), McGraw-Hill , págs. xiv+416, ISBN 978-0-07-054234-1, Zbl 0925.00005 .

Enlaces externos

"Teorema de Morera" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Teorema de Morera" . MundoMatemático .