Analiticidad de las funciones holomorfas

En análisis complejo , una función de valores complejos de una variable compleja : ${\displaystyle f}$${\displaystyle z}$

• Se dice que es holomorfa en un punto si es diferenciable en cada punto dentro de algún disco abierto centrado en , y${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$
• Se dice que es analítica en si en algún disco abierto centrado en se puede expandir como una serie de potencias convergente (esto implica que el radio de convergencia es positivo).${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(za)^{n}}$$

Uno de los teoremas más importantes del análisis complejo es que las funciones holomorfas son analíticas y viceversa . ^{[ 1 ]} (Una función holomorfa en un punto es analítica en el punto y viceversa). Entre los corolarios de este teorema se encuentran:

• el teorema de identidad que establece que dos funciones holomorfas que coinciden en cada punto de un conjunto infinito con un punto de acumulación dentro de la intersección de sus dominios también coinciden en todas partes en cada subconjunto abierto conexo de sus dominios que contiene el conjunto , y${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$
• el hecho de que, dado que las series de potencias son infinitamente diferenciables , también lo son las funciones holomorfas (esto contrasta con el caso de las funciones reales diferenciables), y
• El hecho de que el radio de convergencia sea siempre la distancia desde el centro hasta la singularidad no removible más cercana ; si no hay singularidades (es decir, si es una función entera ), entonces el radio de convergencia es infinito. Estrictamente hablando, esto no es un corolario del teorema, sino más bien un resultado secundario de la demostración.${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$
• Ninguna función de protuberancia admitida en un subconjunto compacto no vacío del plano complejo puede ser entera. En particular, en cualquier subconjunto abierto conexo del plano complejo, no puede existir ninguna función de protuberancia definida en dicho conjunto que sea holomorfa en él. Esto tiene importantes ramificaciones para el estudio de las variedades complejas , ya que impide el uso de particiones de la unidad . En cambio, la partición de la unidad es una herramienta que puede utilizarse en cualquier variedad real.

El argumento, presentado por primera vez por Cauchy, se basa en la fórmula integral de Cauchy y en el desarrollo en serie de potencias de la expresión.

${\displaystyle {\frac {1}{w-z}}.}$

Sea un disco abierto centrado en y supongamos que es diferenciable en todo su entorno abierto que contiene la clausura de . Sea el círculo orientado positivamente (es decir, en sentido antihorario) que es el límite de y sea un punto en . Partiendo de la fórmula integral de Cauchy, tenemos ${\displaystyle D}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle z}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over w-z}\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)-(z-a)}\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over w-a}\cdot {1 \over 1-{z-a \over w-a}}f(w)\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over w-a}\cdot {\sum _{n=0}^{\infty }\left({z-a \over w-a}\right)^{n}}f(w)\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2\pi i}\int _{C}{(z-a)^{n} \over (w-a)^{n+1}}f(w)\,\mathrm {d} w.\end{aligned}}}$

El intercambio de la integral y la suma infinita se justifica al observar que está acotada en por algún número positivo , mientras que para todo en${\displaystyle f(w)/(w-a)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle M}$${\displaystyle w}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle \left|{\frac {z-a}{w-a}}\right|\leq q<1}$

para algunos también positivo . Por lo tanto tenemos${\displaystyle q}$

${\displaystyle \left|{(z-a)^{n} \over (w-a)^{n+1}}f(w)\right|\leq Mq^{n},}$

y como la prueba M de Weierstrass muestra que la serie converge uniformemente sobre , la suma y la integral pueden intercambiarse. ${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

Como el factor no depende de la variable de integración , se puede factorizar para obtener ${\displaystyle (z-a)^{n}}$${\displaystyle w}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }(z-a)^{n}{1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,\mathrm {d} w,}$

que tiene la forma deseada de una serie de potencias en : ${\displaystyle z}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}}$

con coeficientes

${\displaystyle c_{n}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,\mathrm {d} w.}$

• Dado que las series de potencias se pueden diferenciar término a término, al aplicar el argumento anterior en la dirección inversa, la expresión de la serie de potencias para da como resultado Esta es una fórmula integral de Cauchy para derivadas. Por lo tanto, la serie de potencias obtenida anteriormente es la serie de Taylor de .$${\displaystyle {\frac {1}{(w-z)^{n+1}}}}$$$${\displaystyle f^{(n)}(a)={n! \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,dw.}$$${\displaystyle f}$
• El argumento funciona si es cualquier punto que esté más cerca del centro que cualquier singularidad de . Por lo tanto, el radio de convergencia de la serie de Taylor no puede ser menor que la distancia de a la singularidad más cercana (ni puede ser mayor, ya que las series de potencias no tienen singularidades en el interior de sus círculos de convergencia).${\displaystyle z}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$
• Un caso especial del teorema de identidad se deduce de la observación anterior. Si dos funciones holomorfas coinciden en un entorno abierto (posiblemente bastante pequeño) de , entonces coinciden en el disco abierto , donde es la distancia desde hasta la singularidad más cercana.${\displaystyle U}$${\displaystyle a}$${\displaystyle B_{d}(a)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle a}$

• "Existencia de series de potencias" . PlanetMath .