Proyección de Mollweide

La proyección de Mollweide es una proyección cartográfica pseudocilíndrica de áreas iguales , utilizada generalmente para mapas del mundo o de la esfera celeste . También se conoce como proyección de Babinet , proyección homalográfica y proyección elíptica . Esta proyección sacrifica la precisión angular y de la forma a cambio de la precisión de las proporciones de área, por lo que se utiliza cuando se requiere dicha precisión, como en mapas que representan distribuciones globales.

La proyección fue publicada por primera vez por el matemático y astrónomo Karl (o Carl) Brandan Mollweide (1774-1825) de Leipzig en 1805. Fue reinventada y popularizada en 1857 por Jacques Babinet , quien la denominó proyección homalográfica. La variante homalográfica surgió de su uso frecuente en los atlas estelares del siglo XIX. ^{[ 1 ]}

La proyección de Mollweide es una proyección pseudocilíndrica en la que el ecuador se representa como una línea recta horizontal perpendicular a un meridiano central que mide la mitad de su longitud. Los demás paralelos se comprimen cerca de los polos, mientras que los demás meridianos están igualmente espaciados en el ecuador. Los meridianos a 90 grados este y oeste forman un círculo perfecto, y toda la Tierra se representa mediante una elipse proporcional de 2:1. La proporción del área de la elipse entre cualquier paralelo y el ecuador es la misma que la proporción del área del globo terráqueo entre ese paralelo y el ecuador, pero a costa de una distorsión de la forma, que es significativa en el perímetro de la elipse, aunque no tan severa como en la proyección sinusoidal .

La distorsión de la forma puede disminuirse utilizando una proyección de Mollweide interrumpida . Una proyección sinusoidal interrumpida de Mollweide descarta el meridiano central en favor de semimeridianos alternos que terminan en ángulo recto con el ecuador. Esto produce el efecto de dividir el globo en lóbulos. En cambio, una proyección paralela interrumpida de Mollweide utiliza múltiples meridianos centrales disjuntos, lo que da el efecto de múltiples elipses unidas en el ecuador. En raras ocasiones, la proyección puede dibujarse oblicuamente para desplazar las áreas de distorsión hacia los océanos, permitiendo que los continentes conserven una forma más fiel.

La proyección de Mollweide, o sus propiedades, ha inspirado la creación de varias otras proyecciones, incluyendo la homolosina de Goode , la de van der Grinten y la eumórfica de Boggs . ^{[ 4 ]}

La proyección transforma la latitud y la longitud en coordenadas cartográficas x e y mediante las siguientes ecuaciones: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=R{\frac {2{\sqrt {2}}}{\pi }}\left(\lambda -\lambda _{0}\right)\cos \theta ,\\[5px]y&=R{\sqrt {2}}\sin \theta ,\end{aligned}}}$

donde θ es un ángulo auxiliar definido por

${\displaystyle 2\theta +\sin 2\theta =\pi \sin \varphi \qquad (1)}$

y λ es la longitud, λ ₀ es el meridiano central, φ es la latitud y R es el radio del globo que se proyectará. El mapa tiene un área de 4 π R ² , conforme al área de la superficie del globo generador. La coordenada x tiene un rango de [−2 R √ 2 , 2 R √ 2 ], y la coordenada y tiene un rango de [− R √ 2 , R √ 2 ].

La ecuación (1) puede resolverse con convergencia rápida (pero lenta cerca de los polos) utilizando la iteración de Newton-Raphson : ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _ {0}&=\varphi ,\\\ theta _ {n+1}&=\theta _ {n}-{\frac {2\theta _ {n}+\sin 2\theta _ {n}-\pi \sin \varphi }{2+2\cos 2\theta _ {n}}}.\end{aligned}}}$^{[ nota 1 ]}

Si φ = ± ⁠ π / 2 ⁠ , entonces también θ = ± ⁠ π / 2 ⁠ . En ese caso, se debe omitir la iteración; de lo contrario, podría producirse una división por cero .

Existe una transformación inversa de forma cerrada : ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=\arcsin {\frac {2\theta +\sin 2\theta }{\pi }},\\[5px]\lambda &=\lambda _ {0}+{\frac {\pi x}{2R{\sqrt {2}}\cos \theta }},\end{aligned}}}$

donde θ se puede encontrar mediante la relación

${\displaystyle \theta =\arcsin {\frac {y}{R{\sqrt {2}}}}.\,}$

Las transformaciones inversas permiten hallar la latitud y la longitud correspondientes a las coordenadas x e y del mapa .

• Lista de proyecciones cartográficas
• Proyección de Aitoff
• Proyección de martillo
• Familia de proyecciones hiperelípticas de Tobler

• Un applet interactivo de Java para estudiar las deformaciones (área, distancia y ángulo) de la proyección cartográfica de Mollweide.
• Proyección de Mollweide en Mathworld