Módulo de elasticidad

El módulo de elasticidad es una magnitud que describe la resistencia de un objeto o sustancia a deformarse elásticamente (es decir, de forma no permanente) cuando se le aplica una tensión .

El módulo de elasticidad de un objeto se define como la pendiente de su curva tensión-deformación en la región de deformación elástica; ^{[ 1 ]} un material más rígido tendrá un módulo de elasticidad mayor. Un módulo de elasticidad tiene la forma:

${\displaystyle \delta \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {\text{esfuerzo}}{\text{deformación}}}}$

donde la tensión es la fuerza que causa la deformación dividida por el área sobre la cual se aplica la fuerza y ​​la deformación es la relación entre el cambio en algún parámetro causado por la deformación y el valor original del parámetro.

Dado que la deformación es una magnitud adimensional , sus unidades serán las mismas que las de la tensión. ^{[ 2 ]}${\displaystyle \delta }$

Las constantes elásticas son parámetros específicos que cuantifican la rigidez de un material en respuesta a las tensiones aplicadas y son fundamentales para definir las propiedades elásticas de los materiales. Estas constantes forman los elementos de la matriz de rigidez en notación tensorial, que relaciona la tensión con la deformación mediante ecuaciones lineales en materiales anisótropos . Comúnmente denotadas como C _ijkl , donde i , j , k y l son las direcciones de las coordenadas, estas constantes son esenciales para comprender cómo se deforman los materiales bajo diversas cargas. ^{[ 3 ]}

Especificar cómo se medirán la tensión y la deformación, incluyendo las direcciones, permite definir muchos tipos de módulos elásticos. Los cuatro principales son:

1. El módulo de Young ( E ) describe la elasticidad a tracción y compresión , o la tendencia de un objeto a deformarse a lo largo de un eje cuando se aplican fuerzas opuestas a lo largo de ese eje; se define como la relación entre la tensión de tracción y la deformación por tracción . A menudo se le denomina simplemente módulo elástico .
2. El módulo de cizallamiento o módulo de rigidez ( G o segundo parámetro de Lamé) describe la tendencia de un objeto a deformarse por cizallamiento (la deformación de su forma a volumen constante) cuando actúa sobre él fuerzas opuestas; se define como la tensión de cizallamiento dividida por la deformación por cizallamiento . El módulo de cizallamiento forma parte de la derivación de la viscosidad .${\displaystyle \mu \,}$
3. El módulo de compresibilidad ( K ) describe la elasticidad volumétrica, es decir, la tendencia de un objeto a deformarse en todas las direcciones cuando se le aplica una carga uniforme en todas las direcciones; se define como la tensión volumétrica dividida por la deformación volumétrica y es el inverso de la compresibilidad . El módulo de compresibilidad es una extensión del módulo de Young a tres dimensiones.
4. El módulo de flexión ( E _flex ) describe la tendencia del objeto a flexionarse cuando actúa sobre él un momento .

Otros dos módulos elásticos son el primer parámetro de Lamé , λ, y el módulo de onda P , M , tal como se utiliza en la tabla de comparación de módulos que se presenta a continuación (referencias). Los materiales homogéneos e isótropos (similares en todas las direcciones) (sólidos) tienen sus propiedades elásticas (lineales) completamente descritas por dos módulos elásticos, y se puede elegir cualquier par. Dado un par de módulos elásticos, todos los demás módulos elásticos se pueden calcular según las fórmulas de la tabla que se encuentra al final de la página.

Los fluidos en reposo son especiales porque no soportan esfuerzos cortantes, lo que significa que su módulo de cizallamiento es siempre cero. Esto también implica que el módulo de Young para este grupo es siempre cero. Al moverse con respecto a una superficie sólida, un fluido experimenta esfuerzos cortantes cerca de dicha superficie, lo que da lugar al fenómeno de la viscosidad .

En algunos textos, el módulo de elasticidad se denomina constante elástica , mientras que la magnitud inversa se denomina módulo elástico .

La teoría del funcional de la densidad (DFT) proporciona métodos fiables para determinar diversos módulos elásticos que caracterizan las distintas propiedades de la reacción de un material a las tensiones mecánicas. Utilice software de DFT como VASP , Quantum ESPRESSO o ABINIT . En general, realice pruebas para asegurar que los resultados sean independientes de parámetros computacionales como la densidad de la malla de puntos k, la energía de corte de la onda plana y el tamaño de la celda de simulación.

1. Módulo de Young ( E ): se aplican pequeños cambios incrementales en el parámetro de red a lo largo de un eje específico y se calcula la respuesta de tensión correspondiente mediante DFT. El módulo de Young se calcula entonces como E = σ / ε , donde σ es la tensión y ε es la deformación. ^{[ 4 ]}
   1. Estructura inicial: Comience con una estructura relajada del material. Todos los átomos deben estar en un estado de energía mínima (es decir, estado de energía mínima con fuerzas nulas sobre los átomos) antes de aplicar cualquier deformación. ^{[ 5 ]}
   2. Deformación uniaxial incremental: Consiste en aplicar pequeñas deformaciones incrementales a la red cristalina a lo largo de un eje específico. Esta deformación suele ser uniaxial , lo que significa que estira o comprime la red en una dirección, manteniendo constantes o periódicas las demás dimensiones.
   3. Calcular las tensiones: Para cada configuración deformada, ejecute un cálculo DFT para calcular el tensor de tensión resultante . Esto implica resolver las ecuaciones de Kohn-Sham para encontrar la densidad electrónica y la energía del estado fundamental bajo las condiciones de deformación.
   4. Curva tensión-deformación : Se representa gráficamente la tensión calculada frente a la deformación aplicada para obtener una curva tensión-deformación. La pendiente de la porción lineal inicial de esta curva proporciona el módulo de Young. Matemáticamente, el módulo de Young E se calcula mediante la fórmula E = σ / ε , donde σ es la tensión y ε es la deformación.
2. Módulo de cizallamiento ( G )
   1. Estructura inicial: Comience con una estructura relajada del material. Todos los átomos deben estar en un estado de energía mínima sin fuerzas residuales (es decir, estado de energía mínima con fuerzas nulas sobre los átomos) antes de aplicar cualquier deformación.
   2. Aplicación de deformación por cizallamiento: Se aplican pequeños incrementos de deformación por cizallamiento al material. Las deformaciones por cizallamiento suelen ser componentes fuera de la diagonal en el tensor de deformación, que afectan la forma pero no el volumen de la celda cristalina. ^{[ 6 ]}
   3. Cálculo de esfuerzos: Para cada configuración con deformación de corte aplicada , realice un cálculo DFT para determinar el tensor de esfuerzos resultante.
   4. Curva de esfuerzo cortante frente a deformación cortante : Represente gráficamente el esfuerzo cortante calculado frente a la deformación cortante aplicada para cada incremento. La pendiente de la curva esfuerzo-deformación en su región lineal proporciona el módulo de corte, G = τ / γ , donde τ es el esfuerzo cortante y γ es la deformación cortante aplicada.
3. Módulo de compresibilidad ( K )
   1. Estructura inicial: Comience con una estructura relajada del material. Es fundamental que el material esté completamente optimizado, asegurando que cualquier cambio de volumen se deba exclusivamente a la presión aplicada.
   2. Cambios de volumen: Modificar gradualmente el volumen de la celda cristalina , ya sea comprimiéndola o expandiéndola. Esto se suele lograr escalando uniformemente los parámetros de la red cristalina.
   3. Calcular la presión: Para cada volumen modificado, realizar un cálculo DFT para determinar la presión necesaria para mantener dicho volumen. El método DFT permite calcular tensores de tensión que proporcionan una medida directa de la presión interna.
   4. Curva presión-volumen : Se representa gráficamente la presión aplicada frente al cambio de volumen resultante. El módulo de compresibilidad se puede calcular a partir de la pendiente de esta curva en la región elástica lineal. El módulo de compresibilidad se define como K = − VdV / dP , donde V es el volumen original, dP es el cambio de presión y dV es el cambio de volumen. ^{[ 7 ]}

• Hartsuijker, C.; Welleman, JW (2001). Ingeniería Mecánica . Volumen 2. Saltador. ISBN 978-1-4020-4123-5.

• De Jong, M.; Chen, Wei (2015). "Cartografía de las propiedades elásticas completas de compuestos cristalinos inorgánicos" . Scientific Data . 2 : 150009. Bibcode : 2013NatSD...2E0009D . doi : 10.1038/sdata.2015.9 . PMC  4432655. PMID  25984348 .