Media truncada

La media truncada o media recortada es una medida estadística de tendencia central , similar a la media y la mediana . Consiste en calcular la media tras descartar partes específicas de una distribución de probabilidad o muestra , tanto en el extremo superior como en el inferior, generalmente en igual proporción. Este número de puntos descartados suele expresarse como un porcentaje del total, aunque también puede indicarse como un número fijo.

En la mayoría de las aplicaciones estadísticas, se descarta entre el 5 y el 25 por ciento de los extremos. Por ejemplo, dado un conjunto de 8 puntos, recortar un 12,5 % descartaría el valor mínimo y el máximo de la muestra (los valores más pequeños y más grandes) y calcularía la media de los 6 puntos restantes. La media recortada al 25 % (cuando se descartan el 25 % más bajo y el 25 % más alto) se conoce como media intercuartil .

La mediana puede considerarse una media truncada y es la más robusta. Al igual que con otros estimadores truncados , la principal ventaja de la media truncada es su robustez y mayor eficiencia para distribuciones mixtas y distribuciones con colas pesadas (como la distribución de Cauchy ), a costa de una menor eficiencia para otras distribuciones con colas menos pesadas (como la distribución normal). Para distribuciones intermedias, las diferencias entre la eficiencia de la media y la mediana no son muy grandes; por ejemplo, para la distribución t de Student con 2 grados de libertad, las varianzas de la media y la mediana son prácticamente iguales.

En algunas regiones de Europa Central también se la conoce como media de Windsor , pero este nombre no debe confundirse con la media winsorizada : en esta última, las observaciones que la media recortada descartaría se reemplazan por el mayor/menor de los valores restantes.

Descartar solo el máximo y el mínimo se conoce como elmedia modificada , particularmente en estadística de gestión. ^{[ 1 ]} Esto también se conoce como lapromedio olímpico (por ejemplo, en la agricultura estadounidense, como laElección de Ingresos Promedio por Cultivo), debido a su uso en eventos olímpicos, como elSistema de Jueces de la ISUenpatinaje artístico, para hacer que la puntuación sea robusta ante un único juez atípico. ^{[ 2 ]}

Cuando el porcentaje de puntos a descartar no da como resultado un número entero, la media recortada se puede definir mediante interpolación, generalmente lineal, entre los números enteros más cercanos. Por ejemplo, si necesita calcular la media recortada del 15 % de una muestra con 10 entradas, estrictamente esto significaría descartar 1 punto de cada extremo (equivalente a la media recortada del 10 %). Si se interpola, se calcularía la media recortada del 10 % (descartando 1 punto de cada extremo) y la media recortada del 20 % (descartando 2 puntos de cada extremo), y luego se interpolaría, en este caso promediando estos dos valores. De manera similar, si se interpola la media recortada del 12 %, se tomaría el promedio ponderado : ponderar la media recortada del 10 % por 0,8 y la media recortada del 20 % por 0,2.

La media truncada es un estimador útil porque es menos sensible a los valores atípicos que la media, pero aun así proporciona una estimación razonable de la tendencia central o la media para muchos modelos estadísticos. En este sentido, se la denomina estimador robusto . Por ejemplo, en su uso en la evaluación olímpica, truncar el máximo y el mínimo impide que un solo juez aumente o disminuya la puntuación general al otorgar una puntuación excepcionalmente alta o baja.

Una situación en la que puede ser ventajoso usar una media truncada es cuando se estima el parámetro de localización de una distribución de Cauchy , una distribución de probabilidad en forma de campana con colas (mucho) más gruesas que una distribución normal . Se puede demostrar que la media truncada del 24% central de las estadísticas de orden de la muestra (es decir, truncar la muestra en un 38% en cada extremo) produce una estimación para el parámetro de localización de la población que es más eficiente que usar la mediana de la muestra o la media de la muestra completa. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Sin embargo, debido a las colas gruesas de la distribución de Cauchy, la eficiencia del estimador disminuye a medida que se usa más de la muestra en la estimación. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Nótese que para la distribución de Cauchy, ni la media truncada, ni la media de la muestra completa, ni la mediana de la muestra representan un estimador de máxima verosimilitud , ni son tan asintóticamente eficientes como el estimador de máxima verosimilitud; sin embargo, la estimación de máxima verosimilitud es más difícil de calcular, lo que deja a la media truncada como una alternativa útil. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Es posible realizar una prueba t de Student basada en la media truncada, que se denomina prueba t de Yuen, ^{[ 6 ] [ 7 ]} que también tiene varias implementaciones en R . ^{[ 8 ] [ 9 ]}

El método de puntuación utilizado en muchos deportes que son evaluados por un panel de jueces es una media truncada: se descartan las puntuaciones más bajas y más altas; se calcula el valor medio de las puntuaciones restantes . ^{[ 10 ]}

El tipo de interés de referencia Libor se calcula como una media recortada: dadas 18 respuestas, se descartan las 4 superiores y las 4 inferiores, y se promedian las 10 restantes (lo que da como resultado un factor de recorte de 4/18 ≈ 22%). ^{[ 11 ]}

Consideremos el conjunto de datos que consta de:

{92, 19, 101 , 58, 1053 , 91, 26, 78, 10, 13, −40 , 101 , 86, 85, 15, 89, 89, 28, −5 , 41} (N = 20, media = 101,5)     

El percentil 5 (−6,75) se encuentra entre −40 y −5, mientras que el percentil 95 (148,6) se encuentra entre 101 y 1053 (valores mostrados en negrita). Entonces, una media recortada al 5% daría como resultado lo siguiente:

{92, 19, 101, 58, 91, 26, 78, 10, 13, 101, 86, 85, 15, 89, 89, 28, −5, 41} (N = 18, media = 56,5)     

Este ejemplo se puede comparar con el que utiliza el procedimiento de Winsorización .

• Trimean
• media intercuartil
• media winsorizada