Función de distribución de Wigner modificada

Nota: la función de distribución de Wigner se abrevia aquí como WD en lugar de WDF, como se usa en la función de distribución de Wigner.

Una función de distribución de Wigner modificada es una variación de la función de distribución de Wigner (WD) con términos cruzados reducidos o eliminados.

La distribución de Wigner (WD) fue propuesta por primera vez en 1932 por Eugene Wigner para correcciones a la mecánica estadística clásica . La función de distribución de Wigner , o distribución de Wigner - Ville (WVD) para señales analíticas, también tiene aplicaciones en el análisis tiempo-frecuencia. La distribución de Wigner proporciona una mejor localización de términos automáticos en comparación con el espectrograma (SP) suavizado . Sin embargo, cuando se aplica a una señal con componentes multifrecuencia, aparecen términos cruzados debido a su naturaleza cuadrática. Se han propuesto varios métodos para reducir los términos cruzados. Por ejemplo, en 1994, Ljubiša Stanković propuso una técnica novedosa, ahora conocida principalmente como método S, que resulta en la reducción o eliminación de los términos cruzados. El concepto del método S es una combinación entre el espectrograma y la distribución pseudo-Wigner (PWD), la versión con ventana de la WD.

La WD original, el espectrograma y las WD modificadas pertenecen a la clase de Cohen de representaciones bilineales tiempo-frecuencia  :

${\displaystyle C_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(\theta ,\nu )\Pi (t-\theta ,f-\nu )\,d\theta \,d\nu \quad =[W_{x}\,\ast \,\Pi ](t,f)}$

dónde${\displaystyle \Pi \left(t,f\right)}$es la función kernel de Cohen , que a menudo es una función de paso bajo y normalmente sirve para enmascarar la interferencia en la representación original de Wigner.

• Distribución Wigner

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau }$

Función kernel de Cohen  :${\displaystyle \Pi (t,f)=\delta _{(0,0)}(t,f)}$

• Espectrograma

${\displaystyle SP_{x}(t,f)=|ST_{x}(t,f)|^{2}=ST_{x}(t,f)\,ST_{x}^{*}(t,f)}$

dónde${\displaystyle ST_{x}}$es la transformada de Fourier de corto tiempo de${\displaystyle x}$.

${\displaystyle ST_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )w^{*}(t-\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau }$

Función kernel de Cohen  :${\displaystyle \Pi (t,f)=W_{h}(t,f)}$que es la WD de la propia función de ventana . Esto se puede verificar aplicando la propiedad de convolución de la función de distribución de Wigner .

El espectrograma no puede producir interferencias ya que es una distribución cuadrática de valores positivos.

• Formulario I modificado

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-B}^{B}w(\tau )x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau }$

No puede resolver el problema del término cruzado, sin embargo, puede resolver el problema de la diferencia de tiempo de 2 componentes mayor que el tamaño de la ventana B.

• Forma modificada II

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-B}^{B}w(\eta )X(f+\eta /2)X^{*}(f-\eta /2)e^{j2\pi t\eta }\,d\eta }$

• Forma III modificada (Distribución pseudo L-Wigner)

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x^{L}(t+\tau /(2L)){\overline {x^{*L}(t-\tau /(2L))}}e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau }$

Donde L es cualquier número entero mayor que 0.

Aumentar L puede reducir la influencia del término cruzado (aunque no puede eliminarlo por completo).

Por ejemplo, para L=2, el tercer término dominante se divide por 4 (lo que equivale a 12 dB).

Esto supone una mejora significativa con respecto a la distribución de Wigner.

Propiedades de la distribución L-Wigner:

1. La distribución L-Wigner siempre es real.
2. Si la señal está desplazada en el tiempo${\displaystyle x(t-t0)}$, entonces su LWD también se desplaza en el tiempo,${\displaystyle LWD:W_{x}(t-t0,f)}$
3. La LWD de una señal modulada${\displaystyle x(t)\exp(j\omega _{0}t)}$se desplaza en frecuencia${\displaystyle LWD:W_{x}(t,f-f0)}$
4. ¿Es la señal?${\displaystyle x(t)}$tiene un límite de tiempo, es decir,${\displaystyle x(t)=0}$${\displaystyle for\left\vert t\right\vert >T,}$entonces la distribución L-Wigner tiene un límite de tiempo,${\displaystyle LWD:W_{x}(t,f)=0}$${\displaystyle for\left\vert t\right\vert >T}$
5. Si la señal${\displaystyle x(t)}$tiene banda limitada con${\displaystyle f_{m}}$(${\displaystyle F(f)=0}$${\displaystyle for\left\vert f\right\vert >f_{m}}$), entonces${\displaystyle LWD:W_{x}(t,f)}$está limitado en el dominio de la frecuencia por${\displaystyle f_{m}}$también.
6. La integral de la distribución de L-Wigner sobre la frecuencia es igual a la potencia generalizada de la señal:${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)df=\left\vert x(t)\right\vert ^{2L}}$
7. Integral de${\displaystyle LWD:W_{x}(t,f)}$a lo largo del tiempo y la frecuencia es igual a la${\displaystyle 2L^{th}}$el poder del${\displaystyle 2L^{th}}$norma de señal${\displaystyle x(t)}$:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)dtdf=\int _{-\infty }^{\infty }\left\vert x(t)\right\vert ^{2L}dt=\lVert x(t)\rVert _{2L}^{2L}}$

1. La integral a lo largo del tiempo es:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)dt=\left\vert F_{L}(f)\right\vert ^{2}=\left\vert \underbrace {F(L_{f})*F(L_{f})*\cdots *F(L_{f})} _{Ltimes}\right\vert ^{2}}$

1. Para un gran valor de${\displaystyle L(L\rightarrow \infty )}$Podemos descuidar todos los valores de${\displaystyle LWD:W_{x}(t,f)}$, Comparándolos con el de los puntos${\displaystyle (t_{m},f_{m})}$, donde la distribución alcanza su supremo esencial :

${\displaystyle \lim _{L\to \infty }(W_{x}(t,f)/W_{x}(t_{m},f_{m}))={\begin{cases}0,&{\text{if }}f\neq f_{m}{\text{ or }}t\neq t_{m}{\text{ }}\\1,&{\text{if }}f=f_{m}{\text{ and }}t=t_{m}\end{cases}}}$

• Forma IV modificada (Función de distribución de Wigner polinómica)

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-B}^{B}[\textstyle \prod _{l=1}^{q/2}\displaystyle x(t+d_{l}\tau )x^{*}(t-d_{-l}\tau )]e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau }$

Cuando${\displaystyle q=2}$y${\displaystyle d_{l}=d_{-l}=0.5}$, se convierte en la función de distribución de Wigner original.

Puede evitar el término cruzado cuando el orden de fase de la función exponencial no es mayor que${\displaystyle q/2+1}$

Sin embargo, el término cruzado entre dos componentes no se puede eliminar.

${\displaystyle d_{l}}$debe ser elegido adecuadamente de tal manera que

${\displaystyle \textstyle \prod _{l=1}^{q/2}\displaystyle x(t+d_{l}\tau )x^{*}(t-d_{-l}\tau )=\exp {\big (}j2\pi \textstyle \sum _{n=1}^{q/2+1}na_{n}t^{n-1}\tau \displaystyle {\big )}}$

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\exp {\Bigl (}-j2\pi (f-\sum _{n=1}^{q/2+1}na_{n}t^{n-1})\tau {\Bigr )}d\tau }$

${\displaystyle \cong \delta {\bigl (}f-\sum _{n=1}^{q/2+1}na_{n}t^{n-1}{\bigr )}}$

Si${\displaystyle x(t)=\exp {\bigl (}j2\pi \sum _{n=1}^{q/2+1}a_{n}t^{n}{\bigr )}}$

cuando${\displaystyle q=2}$, ${\displaystyle x(t+d_{l}\tau )x^{*}(t-d_{-l}\tau )=\exp {\bigl (}j2\pi \sum _{n=1}^{q/2+1}na_{n}t^{n-1}\tau {\bigr )}}$

${\displaystyle a_{2}(t+d_{l}\tau )^{2}+a_{1}(t+d_{l}\tau )-a_{2}(t-d_{-l}\tau )^{2}-a_{1}(t-d_{-l}\tau )=2a_{2}t\tau +a_{1}\tau }$

${\displaystyle \Longrightarrow d_{l}+d_{-l}=1,d_{l}-d_{-l}=0}$

${\displaystyle \Longrightarrow d_{l}=d_{-l}=1/2}$

• Distribución pseudo Wigner

${\displaystyle PW_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau /2)w^{*}(-\tau /2)x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}\,d\tau }$

Función kernel de Cohen  :${\displaystyle \Pi (t,f)=\delta _{0}(t)\,W_{h}(t,f)}$que se concentra en el eje de frecuencia.

Cabe señalar que el pseudo Wigner también puede escribirse como la transformada de Fourier de la “correlación espectral” de la STFT.

${\displaystyle PW_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }ST_{x}(t,f+\nu /2)ST_{x}^{*}(t,f-\nu /2)e^{j2\pi \nu \,t}\,d\nu }$

• Distribución pseudo Wigner suavizada  :

En la pseudo Wigner, la ventana temporal actúa como un suavizado en la dirección de la frecuencia. Por lo tanto, suprime los componentes de interferencia de la distribución de Wigner que oscilan en la dirección de la frecuencia. El suavizado en la dirección del tiempo se puede implementar mediante una convolución temporal de la PWD con una función de paso bajo.${\displaystyle q}$ :

${\displaystyle SPW_{x}(t,f)=[q\,\ast \,PW_{x}(.,f)](t)=\int _{-\infty }^{\infty }q(t-u)\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau /2)w^{*}(-\tau /2)x(u+\tau /2)x^{*}(u-\tau /2)e^{-j2\pi \tau \,f}\,d\tau \,du}$

Función kernel de Cohen  :${\displaystyle \Pi (t,f)=q(t)\,W(f)}$dónde${\displaystyle W}$es la transformada de Fourier de la ventana${\displaystyle w}$.

Por lo tanto, el núcleo correspondiente a la distribución pseudo Wigner suavizada tiene una forma separable. Cabe señalar que, si bien tanto el método SPWD como el método S suavizan la distribución WD en el dominio del tiempo , no son equivalentes en general.

• Método S

${\displaystyle SM(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }ST_{x}(t,f+\nu /2)ST_{x}^{*}(t,f-\nu /2)G(\nu )e^{j2\pi \nu \,t}\,d\nu }$

Función kernel de Cohen  :${\displaystyle \Pi (t,f)=g(t)\,W_{h}(t,f)}$

El método S limita el rango de la integral de la PWD con una función de ventana de paso bajo.${\displaystyle g(t)}$de la transformada de Fourier${\displaystyle G(f)}$Esto da como resultado la eliminación de términos cruzados, sin difuminar los auto-términos que están bien concentrados a lo largo del eje de frecuencia. El método S logra un equilibrio en el suavizado entre la distribución pseudo-Wigner.${\displaystyle PW_{x}}$[${\displaystyle g(t)=1}$] y el espectrograma de potencia${\displaystyle SP_{x}}$[${\displaystyle g(t)=\delta _{0}(t)}$].

Nótese que en el artículo original de 1994, Stankovic define el método S con una versión modulada de la transformada de Fourier de tiempo corto  :

${\displaystyle SM(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {ST}}_{x}(t,f+\nu ){\tilde {ST}}_{x}^{*}(t,f-\nu )P(\nu )\,d\nu }$

dónde

${\displaystyle {\tilde {ST}}_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau )w^{*}(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau \quad =ST_{x}(t,f)\,e^{j2\pi ft}}$

Incluso en este caso todavía tenemos

${\displaystyle \Pi (t,f)=p(2t)\,W_{h}(t,f)}$

• Representación tiempo-frecuencia
• función de distribución de Wigner
• Distribución bilineal tiempo-frecuencia
• Transformada de Fourier de corto tiempo
• Gabor transform

• P. Gonçalves y R. Baraniuk, “Distribuciones pseudoafines de Wigner  : definición y formulación del núcleo”, IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 46, n.º 6, junio de 1998.
• L. Stankovic, “Un método para el análisis tiempo-frecuencia”, IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 42, n.º 1, enero de 1994.
• L.J. Stankovic, S. Stankovic y E. Fakultet, “Análisis de la representación de frecuencia instantánea mediante distribuciones tiempo-frecuencia: distribución de Wigner generalizada”, IEEE Trans. on Signal Processing, págs. 549-552, vol. 43, n.º 2, febrero de 1995.