Metálico significa

Proporciones de oro, plata y bronce dentro de sus respectivos rectángulos.

La media metálica (también razón metálica , constante metálica o media noble ^{[ 1 ]} ) de un número natural n es un número real positivo , denotado aquí${\displaystyle S_{n},}$que satisface las siguientes caracterizaciones equivalentes:

• el único número real positivo${\displaystyle x}$de tal manera que${\estilo de texto x=n+{\frac {1}{x}}}$
• la raíz positiva de la ecuación cuadrática${\displaystyle x^{2}-nx-1=0}$
• el número${\textstyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}={\frac {2}{{\sqrt {n^{2}+4}}-n}}}$
• el número cuya expresión como fracción continua es

  ${\displaystyle [n;n,n,n,n,\dots ]=n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+\ddots \,}}}}}}}}}$

Los medios metálicos son derivaciones (sucesivas) del dorado (${\displaystyle n=1}$) y proporciones de plata (${\displaystyle n=2}$), y comparten algunas de sus propiedades interesantes. El término "proporción de bronce" (${\displaystyle n=3}$) (Cf. Edad de Oro y Medallas Olímpicas ) e incluso metales como el cobre (${\displaystyle n=4}$) y níquel (${\displaystyle n=5}$) se encuentran ocasionalmente en la literatura. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ a ]}

En términos de teoría algebraica de números , los medios metálicos son exactamente los enteros cuadráticos reales que son mayores que${\displaystyle 1}$y tener${\displaystyle -1}$como su norma .

La ecuación definitoria${\displaystyle x^{2}-nx-1=0}$de la n -ésima media metálica es la ecuación característica de una relación de recurrencia lineal de la forma${\displaystyle x_{k}=nx_{k-1}+x_{k-2}.}$De ello se deduce que, dada dicha recurrencia, la solución puede expresarse como

${\displaystyle x_{k}=aS_{n}^{k}+b\left({\frac {-1}{S_{n}}}\right)^{k},}$

dónde${\displaystyle S_{n}}$es la n -ésima media metálica, y a y b son constantes que dependen únicamente de${\displaystyle x_{0}}$y${\displaystyle x_{1}.}$Dado que el inverso de una media metálica es menor que 1 , esta fórmula implica que el cociente de dos elementos consecutivos de dicha secuencia tiende a la media metálica cuando k tiende al infinito.

Por ejemplo, si${\displaystyle n=1,}$${\displaystyle S_{n}}$es la proporción áurea . Si${\displaystyle x_{0}=0}$y${\displaystyle x_{1}=1,}$La secuencia es la secuencia de Fibonacci , y la fórmula anterior es la fórmula de Binet . Si${\displaystyle n=1,x_{0}=2,x_{1}=1}$uno tiene los números de Lucas . Si${\displaystyle n=2,}$La media metálica se llama proporción de plata , y los elementos de la secuencia que comienza con${\displaystyle x_{0}=0}$y${\displaystyle x_{1}=1}$se denominan números de Pell .

La proporción áurea dentro del pentagrama ( φ = rojo/verde = verde/azul = azul/púrpura) y la proporción áurea dentro del octágono.

La ecuación definitoria${\textstyle x=n+{\frac {1}{x}}}$de la n -ésima media metálica induce la siguiente interpretación geométrica.

Consideremos un rectángulo tal que la razón entre su longitud L y su anchura W sea la enésima razón metálica. Si se le quitan a este rectángulo n cuadrados de lado W , se obtiene un rectángulo similar al original; es decir, un rectángulo con la misma razón entre la longitud y la anchura (véanse las figuras).

Algunos elementos metálicos aparecen como segmentos en la figura formada por un polígono regular y sus diagonales. Este es el caso, en particular, de la proporción áurea y el pentágono , y de la proporción áurea y el octágono ; véanse las figuras.

Denotando por${\displaystyle S_{m}}$la media metálica de m uno tiene

${\displaystyle S_{m}^{n}=K_{n}S_{m}+K_{n-1},}$

donde los números${\displaystyle K_{n}}$se definen recursivamente por las condiciones iniciales K ₀ = 0 y K ₁ = 1 , y la relación de recurrencia

${\displaystyle K_{n}=mK_{n-1}+K_{n-2}.}$

Prueba: La igualdad es inmediatamente verdadera para${\displaystyle n=1.}$La relación de recurrencia implica${\displaystyle K_{2}=m,}$lo que hace que la igualdad sea verdadera para${\displaystyle k=2.}$Suponiendo que la igualdad sea verdadera hasta${\displaystyle n-1,}$uno tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{m}^{n}&=mS_{m}^{n-1}+S_{m}^{n-2}&&{\text{(defining equation)}}\\&=m(K_{n-1}S_{n}+K_{n-2})+(K_{n-2}S_{m}+K_{n-3})&&{\text{(recurrence hypothesis)}}\\&=(mK_{n-1}+K_{n-2})S_{n}+(mK_{n-2}+K_{n-3})&&{\text{(regrouping)}}\\&=K_{n}S_{m}+K_{n-1}&&{\text{(recurrence on }}K_{n}).\end{aligned}}}$

Fin de la demostración.

También hay uno

${\displaystyle K_{n}={\frac {S_{m}^{n+1}-(m-S_{m})^{n+1}}{\sqrt {m^{2}+4}}}.}$

Las potencias impares de una media metálica son también medias metálicas. Más precisamente, si n es un número natural impar, entonces${\displaystyle S_{m}^{n}=S_{M_{n}},}$dónde${\displaystyle M_{n}}$se define por la relación de recurrencia${\displaystyle M_{n}=mM_{n-1}+M_{n-2}}$y las condiciones iniciales${\displaystyle M_{0}=2}$y${\displaystyle M_{1}=m.}$

Prueba: Dejemos${\displaystyle a=S_{m}}$y${\displaystyle b=-1/S_{m}.}$La definición de medios metálicos implica que${\displaystyle a+b=m}$y${\displaystyle ab=-1.}$Dejar${\displaystyle M_{n}=a^{n}+b^{n}.}$Desde${\displaystyle a^{n}b^{n}=(ab)^{n}=-1}$si n es impar, la potencia${\displaystyle a^{n}}$es una raíz de${\displaystyle x^{2}-M_{n}-1=0.}$Por lo tanto, queda por demostrar que${\displaystyle M_{n}}$es un número entero que satisface la relación de recurrencia dada. Esto resulta de la identidad

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{n}+b^{n}&=(a+b)(a^{n-1}+b^{n-1})-ab(a^{n-2}+a^{n-2})\\&=m(a^{n-1}+b^{n-1})+(a^{n-2}+a^{n-2}).\end{aligned}}}$

Con esto se completa la demostración, dado que los valores iniciales son fáciles de verificar.

En particular, uno tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{m}^{3}&=S_{m^{3}+3m}\\S_{m}^{5}&=S_{m^{5}+5m^{3}+5m}\\S_{m}^{7}&=S_{m^{7}+7m^{5}+14m^{3}+7m}\\S_{m}^{9}&=S_{m^{9}+9m^{7}+27m^{5}+30m^{3}+9m}\\S_{m}^{11}&=S_{m^{11}+11m^{9}+44m^{7}+77m^{5}+55m^{3}+11m}\end{aligned}}}$

y, en general,

${\displaystyle S_{m}^{2n+1}=S_{M},}$

dónde

${\displaystyle M=\sum _{k=0}^{n}{{2n+1} \over {2k+1}}{{n+k} \choose {2k}}m^{2k+1}.}$

Para potencias pares, las cosas son más complicadas. Si n es un entero par positivo, entonces

${\displaystyle {S_{m}^{n}-\left\lfloor S_{m}^{n}\right\rfloor }=1-S_{m}^{-n}.}$

Además,

${\displaystyle {1 \over {S_{m}^{4}-\left\lfloor S_{m}^{4}\right\rfloor }}+\left\lfloor S_{m}^{4}-1\right\rfloor =S_{\left(m^{4}+4m^{2}+1\right)}}$

${\displaystyle {1 \over {S_{m}^{6}-\left\lfloor S_{m}^{6}\right\rfloor }}+\left\lfloor S_{m}^{6}-1\right\rfloor =S_{\left(m^{6}+6m^{4}+9m^{2}+1\right)}.}$

Para el cuadrado de una proporción metálica tenemos:${\displaystyle S_{m}^{2}=[m{\sqrt {m^{2}+4}}+(m+2)]/2=(p+{\sqrt {p^{2}+4}})/2}$

dónde${\displaystyle p=m{\sqrt {m^{2}+4}}}$se encuentra estrictamente entre${\displaystyle m^{2}+1}$y${\displaystyle m^{2}+2}$. Por lo tanto

${\displaystyle S_{m^{2}+1}<S_{m}^{2}<S_{m^{2}+2}}$

Se puede definir el medio metálico${\displaystyle S_{-n}}$de un entero negativo − n como solución positiva de la ecuación${\displaystyle x^{2}-(-n)x-1.}$La media metálica de − n es el inverso multiplicativo de la media metálica de n :

${\displaystyle S_{-n}={\frac {1}{S_{n}}}.}$

Otra generalización consiste en cambiar la ecuación definitoria de${\displaystyle x^{2}-nx-1=0}$a${\displaystyle x^{2}-nx-c=0}$. Si

${\displaystyle R={\frac {n\pm {\sqrt {n^{2}+4c}}}{2}},}$

es cualquier raíz de la ecuación, uno tiene

${\displaystyle R-n={\frac {c}{R}}.}$

La media plateada de m también viene dada por la integral ^{[ 4 ].}

${\displaystyle S_{m}=\int _{0}^{m}{\left({x \over {2{\sqrt {x^{2}+4}}}}+{{m+2} \over {2m}}\right)}\,dx.}$

Otra forma de la media metálica es ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}=e^{\operatorname {arsinh(n/2)} }.}$

Una fórmula de tangente de medio ángulo da como resultado $${\displaystyle \cot \theta ={\frac {\cot ^{2}{\frac {\theta }{2}}-1}{2\cot {\frac {\theta }{2}}}}}$$ que puede reescribirse como $${\displaystyle \cot ^{2}{\frac {\theta }{2}}-(2\cot \theta )\cot {\frac {\theta }{2}}-1=0\,.}$$ Es decir, para el valor positivo de${\textstyle \cot {\frac {\theta }{2}}}$, el medio metálico $${\displaystyle S_{2\cot \theta }=\cot {\frac {\theta }{2}}\,,}$$ lo cual es especialmente significativo cuando${\textstyle 2\cot \theta }$es un número entero positivo, como ocurre con algunos triángulos pitagóricos.

Para una terna pitagórica primitiva , a² + b² = ^c² , con enteros positivos a < b < c que son primos entre sí , si la diferencia entre la hipotenusa c y ^el cateto mayor b es 1, 2 u 8 ^, entonces el triángulo pitagórico presenta una media metálica. Específicamente, la cotangente de un cuarto del ángulo agudo menor del triángulo pitagórico es una media metálica. ^{[ 5 ]}

Más precisamente, para una terna pitagórica primitiva ( a , b , c ) con a < b < c , el ángulo agudo menor α satisface $${\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}={\frac {c-b}{a}}\,.}$$ Cuando c − b ∈ {1, 2, 8} , siempre obtendremos que $${\displaystyle n=2\cot {\frac {\alpha }{2}}={\frac {2a}{c-b}}}$$ es un número entero y que $${\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{4}}=S_{n}\,,}$$ la n -ésima media metálica.

La dirección inversa también funciona. Para n ≥ 5 , la terna pitagórica primitiva que da la n -ésima media metálica está dada por ( n , n ² /4 − 1, n ² /4 + 1) si n es un múltiplo de 4, está dada por ( n /2, ( n ² − 4)/8, ( n ² + 4)/8) si n es par pero no un múltiplo de 4, y está dada por (4 n , n ² − 4, n ² + 4) si n es impar. Por ejemplo, la terna pitagórica primitiva (20, 21, 29) da la quinta media metálica; (3, 4, 5) da la sexta media metálica; (28, 45, 53) da la séptima media metálica; (8, 15, 17) da la octava media metálica; etcétera.

El${\displaystyle k}$La media metálica -ésima sirve como índice de inflación para teselaciones de sustitución unidimensionales, como${\displaystyle a\to a^{k}b}$y${\displaystyle b\to a}$Estas secuencias exhiben un orden aperiódico de largo alcance. Al aplicar un proceso de eliminación de intervalos a estos teselados, se pueden construir conjuntos de Cantor autosimilares donde la dimensión de Hausdorff está determinada por el factor de escala medio metálico. ^{[ 19 ]}

• Constante
• Significar
• Relación
• Relación plástica

• Stakhov, Alekseĭ Petrovich (2009). Las matemáticas de la armonía: de Euclides a las matemáticas y la informática contemporáneas , págs.  228, 231. World Scientific. ISBN 9789812775832.

• Cristina-Elena Hrețcanu y Mircea Crasmareanu (2013). “ Estructuras Metálicas sobre Múltiples Riemannianas ”, Revista de la Unión Matemática Argentina .
• Rakočević, Miloje M. " Generalización adicional de la media áurea en relación con la ecuación 'divina' de Euler ", Arxiv.org .