Metamatemáticas

El descubrimiento de la geometría hiperbólica tuvo importantes consecuencias filosóficas para la metamatemática. Antes de su descubrimiento, solo existía una geometría y unas matemáticas; la idea de que existiera otra geometría se consideraba improbable.

Cuando Gauss descubrió la geometría hiperbólica, se dice que no publicó nada al respecto por temor al "escándalo de los beocios ", que arruinaría su estatus de princeps mathematicorum (en latín, "el príncipe de los matemáticos"). ^{[ 1 ]} El "escándalo de los beocios" llegó y pasó, y dio un impulso a la metamatemática y grandes mejoras en el rigor matemático , la filosofía analítica y la lógica .

Begriffsschrift (que en alemán significa, aproximadamente, "escritura conceptual") es un libro de lógica de Gottlob Frege , publicado en 1879, y el sistema formal que se expone en ese libro.

Begriffsschrift se suele traducir como escritura conceptual o notación conceptual ; el título completo del libro lo identifica como "un lenguaje de fórmulas , modelado a partir del de la aritmética , del pensamiento puro ". La motivación de Frege para desarrollar su enfoque formal de la lógica se asemejaba a la de Leibniz para su cálculo racional (a pesar de que, en su prólogo, Frege niega claramente haber alcanzado este objetivo, y también que su principal objetivo fuera construir un lenguaje ideal como el de Leibniz, lo que Frege declara que es una tarea bastante difícil e idealista, pero no imposible). Frege continuó empleando su cálculo lógico en su investigación sobre los fundamentos de las matemáticas , llevada a cabo durante el siguiente cuarto de siglo.

Principia Mathematica , o «PM» como se abrevia comúnmente, fue un intento de describir un conjunto de axiomas y reglas de inferencia en lógica simbólica a partir de los cuales, en principio, se podrían demostrar todas las verdades matemáticas. Como tal, este ambicioso proyecto es de gran importancia en la historia de las matemáticas y la filosofía, ^{[ 2 ]} siendo uno de los productos más destacados de la creencia de que tal empresa podría ser alcanzable. Sin embargo, en 1931, el teorema de incompletitud de Gödel demostró de forma definitiva que PM, y de hecho cualquier otro intento, jamás podría lograr este objetivo; es decir, para cualquier conjunto de axiomas y reglas de inferencia propuesto para encapsular las matemáticas, habría, de hecho, algunas verdades matemáticas que no podrían deducirse de ellos.

Una de las principales inspiraciones y motivaciones de la Teoría de la Paradoja (PM) fue el trabajo previo de Gottlob Frege sobre lógica, que Russell descubrió que permitía la construcción de conjuntos paradójicos . La PM buscó evitar este problema descartando la creación irrestricta de conjuntos arbitrarios. Esto se logró reemplazando la noción de conjunto general por la de jerarquía de conjuntos de diferentes " tipos ", donde un conjunto de un tipo determinado solo puede contener conjuntos de tipos estrictamente inferiores. Sin embargo, las matemáticas contemporáneas suelen evitar paradojas como la de Russell de maneras menos complejas, como en el sistema de teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , aunque la teoría de tipos todavía se utiliza ampliamente.

Los teoremas de incompletitud de Gödel son dos teoremas de lógica matemática que establecen limitaciones inherentes a todos los sistemas axiomáticos, excepto los más triviales , capaces de realizar operaciones aritméticas . Estos teoremas, demostrados por Kurt Gödel en 1931, son importantes tanto en lógica matemática como en filosofía de las matemáticas . Ambos resultados se interpretan ampliamente, aunque no universalmente, como una demostración de que el programa de Hilbert para encontrar un conjunto completo y consistente de axiomas para todas las matemáticas es imposible, lo que da una respuesta negativa al segundo problema de Hilbert .

El primer teorema de incompletitud establece que ningún sistema consistente de axiomas cuyos teoremas puedan enumerarse mediante un « procedimiento efectivo » (por ejemplo, un programa informático, aunque podría ser cualquier tipo de algoritmo) es capaz de probar todas las verdades sobre las relaciones de los números naturales ( aritmética ). Para cualquier sistema de este tipo, siempre habrá afirmaciones sobre los números naturales que son verdaderas, pero que no pueden probarse dentro del sistema. El segundo teorema de incompletitud, una extensión del primero, muestra que dicho sistema no puede demostrar su propia consistencia.

El esquema T o esquema de verdad (que no debe confundirse con la « Convención T ») se utiliza para dar una definición inductiva de la verdad, la cual se encuentra en el centro de cualquier realización de la teoría semántica de la verdad de Alfred Tarski . Algunos autores se refieren a él como el «Esquema de Equivalencia», un sinónimo introducido por Michael Dummett . ^{[ 3 ]}

El esquema T se suele expresar en lenguaje natural , pero puede formalizarse en lógica de predicados multicategórica o lógica modal ; dicha formalización se denomina teoría T. Las teorías T constituyen la base de gran parte del trabajo fundamental en lógica filosófica , donde se aplican en varias controversias importantes de la filosofía analítica .

Tal como se expresa en lenguaje seminatural (donde 'S' es el nombre de la oración abreviado como S): 'S' es verdadera si y solo si S

Ejemplo: 'la nieve es blanca' es verdadero si y solo si la nieve es blanca.

El Entscheidungsproblem ( en alemán , « problema de decisión ») es un desafío planteado por David Hilbert en 1928. ^{[ 4 ]} El Entscheidungsproblem pide un algoritmo que tome como entrada una proposición de lógica de primer orden (posiblemente con un número finito de axiomas más allá de los axiomas habituales de la lógica de primer orden) y responda «Sí» o «No» según si la proposición es universalmente válida , es decir, válida en toda estructura que satisfaga los axiomas. Según el teorema de completitud de la lógica de primer orden , una proposición es universalmente válida si y solo si puede deducirse de los axiomas, por lo que el Entscheidungsproblem también puede verse como una petición de un algoritmo para decidir si una proposición dada es demostrable a partir de los axiomas utilizando las reglas de la lógica.

En 1936, Alonzo Church y Alan Turing publicaron artículos independientes ^{[ 5 ]} que demostraban que una solución general al problema de decisión es imposible, suponiendo que la notación intuitiva de " efectivamente calculable " está capturada por las funciones computables por una máquina de Turing (o, equivalentemente, por aquellas expresables en el cálculo lambda ). Esta suposición se conoce ahora como la tesis de Church-Turing .