esponja de Menger

En matemáticas , la esponja de Menger (también conocida como cubo de Menger , curva universal de Menger , cubo de Sierpiński o esponja de Sierpiński ) ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} es una curva fractal . Es una generalización tridimensional de la alfombra de Sierpinski bidimensional . Fue descrita por primera vez por Karl Menger en 1926, en sus estudios sobre el concepto de dimensión topológica . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Tiene propiedades similares a las del conjunto Cantor y el polvo Cantor, porque en ambos casos la construcción requiere la eliminación del tercio interior.

La construcción de una esponja de Menger se puede describir de la siguiente manera:

1. Comienza con un cubo.
2. Divide cada cara del cubo en nueve cuadrados, de forma similar a como se hace con un cubo de Rubik . Esto subdivide el cubo en 27 cubos más pequeños.
3. Retira el cubo más pequeño del centro de cada cara y el cubo más pequeño del centro del cubo más grande, dejando 20 cubos más pequeños. Esta es una esponja de Menger de nivel 1 (que se asemeja a un cubo vacío).
4. Repita los pasos dos y tres para cada uno de los cubos más pequeños restantes y continúe iterando hasta el infinito .

La segunda iteración produce una esponja de nivel 2, la tercera una de nivel 3, y así sucesivamente. La esponja de Menger es el límite de este proceso tras un número infinito de iteraciones.

El${\displaystyle n}$octava etapa de la esponja de Menger,${\displaystyle M_{n}}$, está compuesto por${\displaystyle 20^{n}}$cubos más pequeños, cada uno con una longitud de lado de (1/3) ⁿ . El volumen total de${\displaystyle M_{n}}$es así${\textstyle \left({\frac {20}{27}}\right)^{n}}$. El área total de superficie de${\displaystyle M_{n}}$viene dada por la expresión${\displaystyle 2(20/9)^{n}+4(8/9)^{n}}$. ^{[ 6 ] [ 7 ]} Por lo tanto, el volumen de la construcción tiende a cero mientras que su área superficial aumenta sin límite. Sin embargo, cualquier superficie elegida en la construcción será perforada completamente a medida que la construcción continúa, de modo que el límite no es ni un sólido ni una superficie; tiene una dimensión topológica de 1 y, por consiguiente, se identifica como una curva.

Cada cara de la construcción se convierte en una alfombra de Sierpinski , y la intersección de la esponja con cualquier diagonal del cubo o cualquier línea media de las caras es un conjunto de Cantor . La sección transversal de la esponja a través de su centroide y perpendicular a una diagonal del espacio es un hexágono regular perforado con hexagramas dispuestos en simetría séxtuple. ^{[ 8 ]} El número de estos hexagramas, en tamaño descendente, viene dado por la siguiente relación de recurrencia :${\displaystyle a_{n}=9a_{n-1}-12a_{n-2}}$, con${\displaystyle a_{0}=1,\ a_{1}=6}$. ^{[ 9 ]}

La dimensión de Hausdorff de la esponja es ⁠ log  20 / log  3 ⁠ ≅ 2,727. ^{[ 10 ]} La dimensión de recubrimiento de Lebesgue de la esponja de Menger es uno, la misma que cualquier curva . Menger demostró, en la construcción de 1926, que la esponja es una curva universal , en el sentido de que toda curva es homeomorfa a un subconjunto de la esponja de Menger, donde una curva significa cualquier espacio métrico compacto de dimensión de recubrimiento de Lebesgue uno; esto incluye árboles y grafos con un número arbitrario contable de aristas, vértices y bucles cerrados, conectados de maneras arbitrarias. De manera similar, la alfombra de Sierpinski es una curva universal para todas las curvas que se pueden dibujar en el plano bidimensional. La esponja de Menger construida en tres dimensiones extiende esta idea a grafos que no son planares y que podrían estar incrustados en cualquier número de dimensiones.

En 2024, Broden, Nazareth y Voth demostraron que todos los nudos también se pueden encontrar dentro de una esponja de Menger. ^{[ 11 ]}

La esponja de Menger es un conjunto cerrado ; como también es acotado, el teorema de Heine-Borel implica que es compacto . Tiene medida de Lebesgue 0. Debido a que contiene caminos continuos, es un conjunto no numerable .

Los experimentos también demostraron que los cubos con una estructura similar a la esponja de Menger podían disipar los impactos cinco veces mejor para el mismo material que los cubos sin poros. ^{[ 12 ]}

Formalmente, una esponja de Menger se puede definir de la siguiente manera (usando la intersección de conjuntos ):

${\displaystyle M:=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}}$

dónde${\displaystyle M_{0}}$es el cubo unitario y

${\displaystyle M_{n+1}:=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:\left({\begin{array}{r}\exists i,j,k\in \{0,1,2\}\,\,(3x-i,3y-j,3z-k)\in M_{n}\\{\text{y como máximo uno de }}i,j,k{\text{ es igual a 1}}\end{array}}\right)\right\}.}$

MegaMenger fue un proyecto que buscaba construir el modelo fractal más grande, impulsado por Matt Parker de la Universidad Queen Mary de Londres y Laura Taalman de la Universidad James Madison . Cada pequeño cubo está hecho de seis tarjetas de presentación plegadas entrelazadas, lo que da un total de 960 000 para una esponja de nivel cuatro. Las superficies exteriores se cubren con paneles de papel o cartón impresos con un diseño de alfombra de Sierpinski para que sean más estéticas . ^{[ 13 ]} En 2014, se construyeron veinte esponjas Menger de nivel tres, que combinadas formarían una esponja Menger distribuida de nivel cuatro. ^{[ 14 ]}

• 
  Uno de los MegaMengers, en la Universidad de Bath.
• 
  Modelo de un Tetrix visto a través del centro del MegaMenger de nivel 3 de Cambridge en el Festival de Ciencias de Cambridge de 2015.

• Cubo de Cantor
• Copo de nieve de Koch
• Lista de fractales por dimensión de Hausdorff
• Alfombra de Sierpiński
• tetraedro de Sierpiński
• Triángulo de Sierpiński

• Iwaniec, Tadeusz ; Martin, Gaven (2001). Teoría de funciones geométricas y análisis no lineal . Monografías matemáticas de Oxford. The Clarendon Press Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850929-5. MR 1859913 . .
• Zhou, Li (2007). "Problema 11208: Números cromáticos de las esponjas de Menger". American Mathematical Monthly . 114 (9): 842. JSTOR 27642353 . 

• Esponja Menger en Wolfram MathWorld
• La "Esponja Menger de Tarjetas de Visita" de la Dra. Jeannine Mosely: una exposición en línea sobre este fractal gigante de origami en el Institute For Figuring.
• Una esponja interactiva de Menger
• Modelos interactivos de Java
• Búsqueda de acertijos : video que explica las paradojas de Zenón usando la esponja de Menger-Sierpinski.
• Esfera de Menger , renderizada en SunFlow.
• Esponja Menger de Post-it : una esponja Menger de nivel 3 construida con Post-it.
• El misterio de la esponja de Menger. Cortada en diagonal para revelar estrellas.
• Secuencia OEIS A212596 (Número de tarjetas necesarias para construir una esponja de Menger de nivel n en origami)
• Woolly Thoughts Nivel 2 Esponja Menger por dos "Mathekniticians"
• Dickau, R.: El cubo de Jerusalén —Discusión adicional
• Miller, P.: Discusión sobre esponjas de Menger definidas explícitamente para pruebas de estrés en sistemas de visualización y renderizado 3D.