Computadora cuántica unidireccional

El proceso estándar de computación cuántica basada en mediciones consta de tres pasos: ^{[ 16 ] [ 17 ]} entrelazar los cúbits, medir los ancillae (cúbits auxiliares) y corregir las salidas. En el primer paso, los cúbits se entrelazan para preparar el estado fuente. En el segundo paso, se miden los ancillae, afectando el estado de los cúbits de salida. Sin embargo, las salidas de medición son un resultado no determinista, debido a la naturaleza indeterminada de la mecánica cuántica: ^{[ 17 ]} para llevar a cabo la computación de manera determinista, se introducen algunos operadores de corrección, llamados subproductos.

Al comienzo del cálculo, los cúbits se pueden distinguir en dos categorías: los cúbits de entrada y los cúbits auxiliares. Las entradas representan los cúbits configurados en un conjunto genérico.${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$estado, sobre el cual se deben actuar algunas transformaciones unitarias. Para preparar el estado fuente, todos los cúbits auxiliares deben prepararse en el${\displaystyle |+\rangle }$estado: ^{[ 11 ] [ 18 ]}

${\displaystyle |+\rangle ={\tfrac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}},}$

dónde${\displaystyle |0\rangle }$y${\displaystyle |1\rangle }$son la codificación cuántica para la clásica${\displaystyle 0}$y${\displaystyle 1}$bits:

${\displaystyle |0\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}};\quad |1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$.

Un registro con${\displaystyle n}$Por lo tanto, los cúbits se configurarán como${\displaystyle |+\rangle ^{\otimes n}}$. Posteriormente, el entrelazamiento entre dos cúbits se puede realizar aplicando un (controlado)${\displaystyle CZ}$operación de puerta. ^{[ 19 ]} La representación matricial de dicho operador de dos cúbits viene dada por

${\displaystyle CZ={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}.}$

La acción de un${\displaystyle CZ}$La puerta lógica sobre dos cúbits se puede describir mediante el siguiente sistema:

${\displaystyle {\begin{casos}CZ|0+\rangle =|0+\rangle \\CZ|0-\rangle =|0-\rangle \\CZ|1+\rangle =|1-\rangle \\CZ|1-\rangle =|1+\rangle \end{casos}}}$

Al aplicar un${\displaystyle CZ}$puerta sobre dos ancillas en la${\displaystyle |+\rangle }$estado, el estado en general

${\displaystyle CZ|++\rangle ={\frac {|0+\rangle +|1-\rangle }{\sqrt {2}}}}$

resulta ser un par de cúbits entrelazados. Al entrelazar dos ancillae, no se da importancia a cuál es el cúbit de control y cuál el objetivo, siempre que el resultado sea el mismo. De manera similar, como el${\displaystyle CZ}$Las puertas lógicas se representan en forma diagonal, todas conmutan entre sí y no se le da importancia a qué cúbits entrelazar primero.

Los fotones son el sistema de cúbits más común que se utiliza en el contexto de la computación cuántica unidireccional. ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]} Sin embargo, determinista${\displaystyle CZ}$Las compuertas entre fotones son difíciles de implementar. Por lo tanto, se suelen considerar compuertas de entrelazamiento probabilístico, como las mediciones de estados de Bell . ^{[ 23 ]} Además, se pueden usar emisores cuánticos como átomos ^{[ 24 ]} o puntos cuánticos ^{[ 25 ]} para crear entrelazamiento determinista entre cúbits fotónicos. ^{[ 26 ]}

El proceso de medición sobre un estado de partícula única se puede describir proyectando el estado sobre el vector propio de una observable. Consideremos una observable${\displaystyle O}$con dos posibles autovectores, por ejemplo${\displaystyle |o_{1}\rangle }$y${\displaystyle |o_{2}\rangle }$y suponemos que se trata de un sistema cuántico de múltiples partículas.${\displaystyle |\Psi \rangle }$. Medir el${\displaystyle i}$-ésimo cúbit por el${\displaystyle O}$medios observables para proyectar el${\displaystyle |\Psi \rangle }$estado sobre los autovectores de${\displaystyle O}$: ^{[ 18 ]}

${\displaystyle |\Psi '\rangle =|o_{i}\rangle \langle o_{i}|\Psi \rangle }$.

El estado actual de la${\displaystyle i}$El -ésimo cúbit es ahora${\displaystyle |o_{i}\rangle }$, que puede convertirse en${\displaystyle |o_{1}\rangle }$o${\displaystyle |o_{2}\rangle }$, dependiendo del resultado de la medición (que es probabilística en mecánica cuántica). La proyección de la medición se puede realizar sobre los autoestados de la${\displaystyle M(\theta )=\cos(\theta )X+\sin(\theta )Y}$observable:

${\displaystyle M(\theta )=\cos(\theta ){\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}+\sin(\theta ){\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&e^{-i\theta }\\e^{i\theta }&0\end{bmatrix}}}$,

dónde${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$pertenecen a las matrices de Pauli . Los autovectores de${\displaystyle M(\theta )}$son${\displaystyle |\theta _{\pm }\rangle =|0\rangle \pm e^{i\theta }|1\rangle }$. Medir un cúbit en el${\displaystyle X}$-${\displaystyle Y}$avión, es decir, por el${\displaystyle M(\theta )}$observable, significa proyectarlo sobre${\displaystyle |\theta _{+}\rangle }$o${\displaystyle |\theta _{-}\rangle }$En la computación cuántica unidireccional, una vez que se ha medido un cúbit, no hay forma de reciclarlo en el flujo de computación. Por lo tanto, en lugar de utilizar el${\displaystyle |o_{i}\rangle \langle o_{i}|}$notación, es común encontrar${\displaystyle \langle o_{i}|}$para indicar una medición proyectiva sobre el${\displaystyle i}$-ésimo cúbit.

Después de que se hayan realizado todas las mediciones, el sistema se ha reducido a un número menor de cúbits, que forman el estado de salida del sistema. Debido al resultado probabilístico de las mediciones, el sistema no se establece de manera determinista: después de una medición en el${\displaystyle X}$-${\displaystyle Y}$plano, la salida puede cambiar si el resultado hubiera sido${\displaystyle |\theta _{+}\rangle }$o${\displaystyle |\theta _{-}\rangle }$Para realizar un cálculo determinista, se deben introducir algunas correcciones. Los operadores de corrección, u operadores de subproducto, se aplican a los cúbits de salida después de que se hayan realizado todas las mediciones. ^{[ 18 ] [ 27 ]} Los operadores de subproducto que se pueden implementar son:${\displaystyle X}$y${\displaystyle Z}$. ^{[ 28 ]} Dependiendo del resultado de la medición, se puede aplicar o no un operador de subproducto al estado de salida: a${\displaystyle X}$corrección sobre el${\displaystyle j}$-ésimo cúbito, dependiendo del resultado de la medición realizada sobre el${\displaystyle i}$-ésimo cúbit a través del${\displaystyle M(\theta )}$observable, puede describirse como${\displaystyle X_{j}^{s_{i}}}$, dónde${\displaystyle s_{i}}$está previsto que sea${\displaystyle 0}$si el resultado de la medición fue${\displaystyle |\theta _{+}\rangle }$, de lo contrario es${\displaystyle 1}$si lo fuera${\displaystyle |\theta _{-}\rangle }$. En el primer caso, no se producirá ninguna corrección, en el segundo, una${\displaystyle X}$El operador se implementará en el${\displaystyle j}$-ésimo cúbit. Finalmente, aunque el resultado de una medición no es determinista en mecánica cuántica, los resultados de las mediciones se pueden usar para realizar correcciones y llevar a cabo un cálculo determinista.

Como ejemplo ilustrativo, consideremos la rotación de Euler en el${\displaystyle XZX}$base: dicha operación, en el modelo de puerta de la computación cuántica, se describe como ^{[ 29 ]}

${\displaystyle e^{i\gamma }R_{X}(\phi )R_{Z}(\theta )R_{X}(\lambda )}$,

dónde${\displaystyle \phi ,\theta ,\lambda }$son los ángulos para la rotación, mientras que${\displaystyle \gamma }$define una fase global que es irrelevante para el cálculo. Para realizar dicha operación en el marco de cálculo unidireccional, es posible implementar el siguiente patrón CME : ^{[ 27 ] [ 30 ]}

${\displaystyle Z_{5}^{s_{1}+s_{3}}X_{5}^{s_{2}+s_{4}}[M_{4}^{-\phi }]^{s_{1}+s_{3}}[M_{3}^{-\theta }]^{s_{2}}[M_{2}^{-\lambda }]^{s_{1}}M_{1}^{0}E_{4,5}E_{3,4}E_{2,3}E_{1,2}}$,

donde el estado de entrada${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$es el cúbit${\displaystyle 1}$, todos los demás cúbits son auxiliares ancillae y por lo tanto deben prepararse en el${\displaystyle |+\rangle }$estado. En el primer paso, el estado de entrada${\displaystyle |\psi \rangle }$debe estar entrelazado con el segundo cúbit; a su vez, el segundo cúbit debe estar entrelazado con el tercero, y así sucesivamente. Las operaciones de entrelazamiento${\displaystyle E_{ij}}$entre los cúbits se puede realizar mediante el${\displaystyle CZ}$puertas.

En segundo lugar, el primer y el segundo cúbits deben ser medidos por el${\displaystyle M(\theta )}$observables, lo que significa que deben proyectarse sobre los autoestados${\displaystyle |\theta \rangle }$de tal observable. Cuando el${\displaystyle \theta }$es cero, el${\displaystyle |\theta _{\pm }\rangle }$los estados se reducen a${\displaystyle |\pm \rangle }$los, es decir, los autovectores para el${\displaystyle X}$Operador de Pauli. La primera medición${\displaystyle M_{1}^{0}}$se realiza en el cúbit${\displaystyle 1}$con un${\displaystyle \theta =0}$ángulo, lo que significa que tiene que proyectarse sobre el${\displaystyle \langle \pm |}$estados. La segunda medición${\displaystyle [M_{2}^{-\lambda }]^{s_{1}}}$se realiza con respecto a la${\displaystyle -\lambda }$ángulo, es decir, el segundo cúbit tiene que proyectarse sobre el${\displaystyle \langle 0|\pm e^{i\lambda }\langle 1|}$estado. Sin embargo, si el resultado de la medición anterior ha sido${\displaystyle \langle -|}$, el signo de la${\displaystyle \lambda }$El ángulo debe invertirse y el segundo cúbit se proyectará al${\displaystyle \langle 0|+e^{-i\lambda }\langle 1|}$estado; si el resultado de la primera medición ha sido${\displaystyle \langle +|}$No es necesario realizar ningún volteo. Las mismas operaciones deben repetirse para el tercero.${\displaystyle [M_{3}^{\theta }]^{s_{2}}}$y el cuarto${\displaystyle [M_{4}^{\phi }]^{s_{1}+s_{3}}}$mediciones, según los ángulos respectivos y los cambios de signo. El signo sobre el${\displaystyle \phi }$El ángulo se establece en${\displaystyle (-)^{s_{1}+s_{3}}}$Finalmente, el quinto cúbit (el único que no se mide) resulta ser el estado de salida.

Por fin, las correcciones${\displaystyle Z_{5}^{s_{1}+s_{3}}X_{5}^{s_{2}+s_{4}}}$sobre el estado de salida deben realizarse a través de los operadores de subproducto. Por ejemplo, si las mediciones sobre el segundo y el cuarto cúbits resultaron ser${\displaystyle \langle \phi _{+}|}$y${\displaystyle \langle \lambda _{+}|}$, no se realizará ninguna corrección por parte del${\displaystyle X_{5}}$operador, como${\displaystyle s_{2}=s_{4}=0}$. El mismo resultado se aplica a un${\displaystyle \langle \phi _{-}|}$${\displaystyle \langle \lambda _{-}|}$resultado, como${\displaystyle s_{2}=s_{4}=1}$y por lo tanto el operador de Pauli al cuadrado${\displaystyle X^{2}}$devuelve la identidad.

Como se puede observar en este ejemplo, en el modelo de computación basado en mediciones, el cúbit de entrada físico (el primero) y el cúbit de salida (el tercero) pueden diferir entre sí.

Para mover todo el${\displaystyle E_{ij}}$En los enredos que se producen al inicio del proceso, conviene señalar algunas reglas de conmutación :

${\displaystyle E_{ij}Z_{i}^{s}=Z_{i}^{s}E_{ij}}$

${\displaystyle E_{ij}X_{i}^{s}=X_{i}^{s}Z_{j}^{s}E_{ij}}$

${\displaystyle E_{ij}A_{k}=A_{k}E_{ij}}$.

El operador de entrelazamiento${\displaystyle E_{ij}}$se desplaza con el${\displaystyle Z}$Operadores de Pauli y con cualquier otro operador${\displaystyle A_{k}}$actuando sobre un cúbit${\displaystyle k\neq i,j}$, pero no con el${\displaystyle X}$Operadores de Pauli que actúan en el${\displaystyle i}$-o${\displaystyle j}$-qubits.

Las operaciones de medición${\displaystyle M_{i}^{\theta }}$Realizar las correcciones de la siguiente manera:

${\displaystyle M_{i}^{\theta }X_{i}^{s}=[M_{i}^{\theta }]^{s}}$

${\displaystyle M_{i}^{\theta }Z_{i}^{t}=S_{i}^{t}M_{i}^{\theta }}$,

dónde${\displaystyle [M_{i}^{\theta }]^{s}=M_{i}^{(-)^{s}\theta }}$. Dicha operación significa que, al cambiar el${\displaystyle X}$correcciones al final del patrón, pueden ocurrir algunas dependencias entre las mediciones.${\displaystyle S_{i}^{t}}$El operador se denomina desplazamiento de señal, cuya acción se explicará en el siguiente párrafo. Para un caso particular${\displaystyle \theta }$En cuanto a los ángulos, se pueden introducir algunas simplificaciones, llamadas simplificaciones de Pauli:

${\displaystyle M_{i}^{0}X_{i}^{s}=M_{i}^{0}}$

${\displaystyle M_{i}^{\pi /2}X_{i}^{s}=M_{i}^{\pi /2}Z_{i}^{s}}$.

La acción del operador de cambio de señal${\displaystyle S_{i}^{t}}$puede explicarse a través de sus reglas de conmutación:

${\displaystyle X_{i}^{s}S_{i}^{t}=S_{i}^{t}X_{i}^{s[(s_{i}+t)/s_{i}]}}$

${\displaystyle Z_{i}^{s}S_{i}^{t}=S_{i}^{t}Z_{i}^{s[(s_{i}+t)/s_{i}]}}$.

El${\displaystyle s[(t+s_{i})/s_{i}]}$Hay que explicar el funcionamiento: supongamos que tenemos una secuencia de señales.${\displaystyle s}$, que consta de${\displaystyle s_{1}+s_{2}+...+s_{i}+...}$, la operación${\displaystyle s[(t+s_{i})/s_{i}]}$significa sustituir${\displaystyle s_{i}}$con${\displaystyle s_{i}+t}$en la secuencia${\displaystyle s}$, que se convierte en${\displaystyle s_{1}+s_{2}+...+s_{i}+t+...}$. Si no${\displaystyle s_{i}}$aparece en el${\displaystyle s}$secuencia, no se producirá ninguna sustitución. Para realizar un patrón CME correcto , cada operador de cambio de señal${\displaystyle S_{i}^{t}}$debe traducirse al final del patrón.

El grupo Clifford${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$está compuesto por elementos que dejan invariantes los elementos del grupo de Pauli.${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n}}$: ^{[ 19 ] [ 33 ] [ 37 ]}

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}=\{U\in SU(2^{n})\;|\;USU^{\dagger }\in {\mathcal {P}}_{n},S\in {\mathcal {P}}_{n}\}}$.

El grupo Clifford requiere tres generadores, que pueden elegirse como la puerta Hadamard.${\displaystyle H}$y la rotación de fase${\displaystyle S}$para las compuertas de un solo qubit y otra compuerta de dos qubits de la${\displaystyle CNOT}$(puerta NOT controlada) o la${\displaystyle CZ}$(compuerta de fase controlada):

${\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}},\quad S={\begin{bmatrix}1&0\\0&i\end{bmatrix}},\quad CNOT={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}}$.

Consideremos un estado${\displaystyle |G\rangle }$que se estabiliza mediante un conjunto de estabilizadores${\displaystyle S_{i}}$. Actuando a través de un elemento${\displaystyle U}$del grupo de Clifford en dicho estado, se cumplen las siguientes igualdades: ^{[ 33 ] [ 38 ]}

${\displaystyle U|G\rangle =US_{i}|G\rangle =US_{i}U^{\dagger }U|G\rangle =S'_{i}U|G\rangle }$.

Por lo tanto, el${\displaystyle U}$operaciones mapea el${\displaystyle |G\rangle }$estado a${\displaystyle U|G\rangle }$y su${\displaystyle S_{i}}$estabilizadores para${\displaystyle US_{i}U^{\dagger }}$. Dicha operación puede dar lugar a diferentes representaciones para el${\displaystyle K_{i}}$generadores del grupo estabilizador.

El teorema de Gottesman-Knill establece que, dado un conjunto de puertas lógicas del grupo de Clifford, seguido de${\displaystyle Z}$mediciones, tal cálculo puede simularse eficientemente en una computadora clásica en el sentido estricto, es decir, un cálculo que elabora en tiempo polinomial la probabilidad${\displaystyle P(x)}$para una salida determinada${\displaystyle x}$del circuito. ^{[ 19 ] [ 33 ] [ 39 ] [ 40 ] [ 41 ]}

La computación basada en mediciones en un estado de clúster reticular 3D periódico puede utilizarse para implementar la corrección de errores cuánticos topológicos. ^{[ 42 ]} La computación del estado de clúster topológico está estrechamente relacionada con el código tórico de Kitaev , ya que el estado de clúster topológico 3D puede construirse y medirse a lo largo del tiempo mediante una secuencia repetida de compuertas en una matriz 2D. ^{[ 43 ]}

Se ha demostrado la computación cuántica unidireccional ejecutando el algoritmo de Grover de 2 cúbits en un estado de clúster de fotones de 2x2. ^{[ 44 ] [ 45 ]} Se ha propuesto una computadora cuántica de óptica lineal basada en computación unidireccional. ^{[ 46 ]}

También se han creado estados de clúster en redes ópticas , ^{[ 47 ]} pero no se utilizaron para computación ya que los cúbits atómicos estaban demasiado cerca entre sí para medirlos individualmente.

Se ha demostrado que el ( espín)${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$) El estado AKLT en una red de panal 2D puede usarse como recurso para MBQC. ^{[ 48 ] [ 49 ]} Más recientemente se ha demostrado que un estado AKLT de mezcla de espín puede usarse como recurso. ^{[ 50 ]}