Estado del clúster

En información cuántica y computación cuántica , un estado de clúster ^{[ 1 ]} es un tipo de estado altamente entrelazado de múltiples cúbits . Los estados de clúster se generan en redes de cúbits con interacciones de tipo Ising . Un clúster C es un subconjunto conectado de una red d -dimensional, y un estado de clúster es un estado puro de los cúbits ubicados en C. Se diferencian de otros tipos de estados entrelazados, como los estados GHZ o los estados W, en que es más difícil eliminar el entrelazamiento cuántico (mediante mediciones proyectivas ) en el caso de los estados de clúster. Otra forma de pensar en los estados de clúster es como una instancia particular de estados de grafo , donde el grafo subyacente es un subconjunto conectado de una red d -dimensional. Los estados de clúster son especialmente útiles en el contexto de la computadora cuántica unidireccional . Para una introducción comprensible al tema, véase Briegel (2009) .

Formalmente, estados de clúster${\displaystyle |\phi _{\{\kappa \}}\rangle _{C}}$son estados que obedecen el conjunto de ecuaciones de valores propios:

${\displaystyle K^{(a)}{\left|\phi _{\{\kappa \}}\right\rangle _{C}}=(-1)^{\kappa _{a}}{\left|\phi _{\{\kappa \}}\right\rangle _{C}}}$

dónde${\displaystyle K^{(a)}}$son los operadores de correlación

${\displaystyle K^{(a)}=\sigma _{x}^{(a)}\bigotimes _{b\in \mathrm {N} (a)}\sigma _{z}^{(b)}}$

con${\displaystyle \sigma _{x}}$y${\displaystyle \sigma _{z}}$siendo matrices de Pauli ,${\displaystyle N(a)}$que denota el vecindario de${\displaystyle a}$y${\displaystyle \{\kappa _{a}\in \{0,1\}|a\in C\}}$ser un conjunto de parámetros binarios que especifican la instancia particular de un estado de clúster.

Aquí hay algunos ejemplos de estados de clúster unidimensionales ( d = 1), para${\displaystyle n=2,3,4}$, dónde${\displaystyle n}$es el número de cúbits. Tomamos${\displaystyle \kappa _{a}=0}$a pesar de${\displaystyle a}$, lo que significa que el estado del clúster es el único autoestado simultáneo que tiene un autovalor correspondiente de 1 bajo todos los operadores de correlación. En cada ejemplo, el conjunto de operadores de correlación${\displaystyle \{K^{(a)}\}_{a}}$y se muestra el estado del clúster correspondiente.

• ${\displaystyle n=2}$${\displaystyle \{\sigma _{x}\sigma _{z},\ \sigma _{z}\sigma _{x}\}}$

${\displaystyle |\phi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0+\rangle +|1-\rangle )}$Se trata de un par EPR (salvo transformaciones locales).

• ${\displaystyle n=3}$

${\displaystyle \{\sigma _{x}\sigma _{z}I,\ \sigma _{z}\sigma _{x}\sigma _{z},\ I\sigma _{z}\sigma _{x}\}}$

${\displaystyle |\phi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+0+\rangle +|-1-\rangle )}$ Este es el estado GHZ (salvo transformaciones locales).

• ${\displaystyle n=4}$

${\displaystyle \{\sigma _{x}\sigma _{z}II,\ \sigma _{z}\sigma _{x}\sigma _{z}I,\ I\sigma _{z}\sigma _{x}\sigma _{z},\ II\sigma _{z}\sigma _{x}\}}$

${\displaystyle |\phi \rangle ={\frac {1}{2}}(|+0+0\rangle +|+0-1\rangle +|-1+0\rangle -|-1-1\rangle )}$.

Este no es un estado GHZ y no se puede convertir a un estado GHZ con operaciones locales .

En todos los ejemplos${\displaystyle I}$es el operador identidad, y se omiten los productos tensoriales. Los estados anteriores se pueden obtener a partir del estado de todos ceros.${\displaystyle |0\ldots 0\rangle }$aplicando primero una puerta Hadamard a cada cúbit y, a continuación, una puerta Z controlada entre todos los cúbits adyacentes entre sí.

Los estados de clúster pueden realizarse experimentalmente. Una forma de crear un estado de clúster es codificando cúbits lógicos en la polarización de fotones; una codificación común es la siguiente:

${\displaystyle {\begin{casos}|0\rangle _{\rm {L}}\longleftrightarrow |{\rm {H\rangle }}\\|1\rangle _{\rm {L}}\longleftrightarrow |{\rm {V\rangle }}\end{casos}}}$

Esta no es la única codificación posible, sin embargo, es una de las más simples: con esta codificación se pueden crear pares entrelazados experimentalmente a través de la conversión descendente paramétrica espontánea . ^{[ 2 ] [ 3 ]} Los pares entrelazados que se pueden generar de esta manera tienen la forma

${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|{\rm {H\rangle |{\rm {H\rangle +e^{i\phi }|{\rm {V\rangle |{\rm {V\rangle {\big )}}}}}}}}}}$

equivalente al estado lógico

${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|0\rangle |0\rangle +e^{i\phi }|1\rangle |1\rangle {\big )}}$

para las dos opciones de la fase${\displaystyle \phi =0,\pi }$los dos estados de Bell${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle ,|\Phi ^{-}\rangle }$se obtienen: estos son en sí mismos dos ejemplos de estados de clúster de dos cúbits. Mediante el uso de dispositivos ópticos lineales como divisores de haz o placas de onda, estos estados de Bell pueden interactuar y formar estados de clúster más complejos. ^{[ 4 ]} Los estados de clúster también se han creado en redes ópticas de átomos fríos . ^{[ 5 ]}

Después de un estado de clúster${\displaystyle \rho }$fue creado en un experimento, es importante verificar que efectivamente se ha creado un estado cuántico entrelazado. La fidelidad con respecto a la${\displaystyle N}$-estado del clúster de cúbits${\displaystyle |C_{N}\rangle }$es dado por

${\displaystyle F_{CN}={\rm {Tr}}(\rho |C_{N}\rangle \langle C_{N}|),}$

Se ha demostrado que si${\displaystyle F_{CN}>1/2}$, entonces el estado${\displaystyle \rho }$tiene entrelazamiento multipartícula genuino. ^{[ 6 ]} Por lo tanto, se puede obtener un testigo de entrelazamiento detectando entrelazamiento cerca de los estados de clúster como

${\displaystyle W_{CN}={\frac {1}{2}}{\rm {Identidad}}-|C_{N}\rangle \langle C_{N}|.}$

dónde${\displaystyle \langle W_{CN}\rangle <0}$Señales de entrelazamiento multipartícula genuino.

Dicha señal no puede medirse directamente. Debe descomponerse en una suma de términos de correlación, que sí pueden medirse. Sin embargo, para sistemas grandes, este enfoque puede resultar difícil.

También existen detectores de entrelazamiento que funcionan en sistemas muy grandes y que detectan entrelazamiento multipartito genuino cerca de estados de clúster. Solo requieren dos configuraciones de medición locales mínimas. ^{[ 6 ]} Condiciones similares pueden utilizarse para establecer un límite inferior de la fidelidad con respecto a un estado de clúster ideal. ^{[ 7 ]} Estos criterios se utilizaron por primera vez en un experimento que generó estados de clúster de cuatro cúbits con fotones. ^{[ 3 ]} Estos enfoques también se han utilizado para proponer métodos de detección de entrelazamiento en una parte más pequeña de un estado de clúster grande o un estado de grafo realizado en redes ópticas. ^{[ 8 ]}

También se han desarrollado desigualdades de Bell para estados de clúster. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} Todas estas condiciones de entrelazamiento y desigualdades de Bell se basan en el formalismo del estabilizador. ^{[ 12 ]}

• estado Bell
• Estado del gráfico
• estado del clúster óptico
• Estado de Dicke

^{[ 13 ]}