Problema de McMullen

Utilizando la transformada de Gale , este problema puede reformularse como:

Determina el número más pequeño${\displaystyle \mu (d)}$de tal manera que para cada conjunto de${\displaystyle \mu (d)}$agujas ${\displaystyle X=\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{\mu (d)}\}}$en posición lineal general sobre la esfera${\displaystyle S^{d-1}}$es posible elegir un conjunto${\displaystyle Y=\{\varepsilon _{1}x_{1},\varepsilon _{2}x_{2},\dots ,\varepsilon _{\mu (d)}x_{\mu (d)}\}}$dónde${\displaystyle \varepsilon _{i}=\pm 1}$para${\displaystyle i=1,2,\dots ,\mu (d)}$, de tal manera que cada hemisferio abierto de${\displaystyle S^{d-1}}$contiene al menos dos miembros de${\displaystyle Y}$.

Los números${\displaystyle \nu }$de la formulación original del problema de McMullen y${\displaystyle \mu }$Las formulaciones de la transformada de Gale están conectadas por las relaciones $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu (k)&=\min\{w\mid w\leq \nu (w-k-1)\}\\\nu (d)&=\max\{w\mid w\geq \mu (w-d-1)\}\end{aligned}}}$$

Además, mediante una simple observación geométrica, se puede reformular como:

Determina el número más pequeño${\displaystyle \lambda (d)}$de tal manera que para cada conjunto${\displaystyle X}$de${\displaystyle \lambda (d)}$puntos en${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$existe una partición de${\displaystyle X}$en dos conjuntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$con $${\displaystyle \operatorname {conv} (A\backslash \{x\})\cap \operatorname {conv} (B\backslash \{x\})\not =\varnothing ,\forall x\in X.\,}$$

La relación entre${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \lambda }$es $${\displaystyle \mu (d+1)=\lambda (d),\qquad d\geq 1\,}$$

El enunciado dual proyectivo equivalente al problema de McMullen es determinar el mayor número${\displaystyle \nu (d)}$de tal manera que cada conjunto de${\displaystyle \nu (d)}$Los hiperplanos en posición general en el espacio proyectivo real d -dimensional forman una disposición de hiperplanos en la que una de las celdas está delimitada por todos los hiperplanos.