bicondicional lógico

En lógica y matemáticas , la bicondicional lógica , también conocida como bicondicional material , equivalencia , implicación bidireccional , biimplicación , bientailment o ni exclusivo , es el conector lógico utilizado para unir dos enunciados.${\displaystyle P}$y${\displaystyle Q}$para formar la declaración "${\displaystyle P}$si y solo si${\displaystyle Q}$" (a menudo abreviado como "${\displaystyle P}$si y solo si${\displaystyle Q}$" ^{[ 1 ]} ), donde${\displaystyle P}$se conoce como el antecedente y${\displaystyle Q}$el consecuente . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Hoy en día, las notaciones para representar la equivalencia incluyen:${\displaystyle \leftrightarrow ,\Leftrightarrow ,\equiv }$.

${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$es lógicamente equivalente a ambos${\displaystyle (P\rightarrow Q)\land (Q\rightarrow P)}$y${\displaystyle (P\land Q)\lor (\neg P\land \neg Q)}$y el operador booleano XNOR (NOR exclusivo) , que significa "ambos o ninguno".

Semánticamente, el único caso en que una bicondicional lógica difiere de una condicional material es cuando la hipótesis (antecedente) es falsa pero la conclusión (consecuente) es verdadera. En este caso, el resultado es verdadero para la condicional, pero falso para la bicondicional. ^{[ 2 ]}

En la interpretación conceptual, P = Q significa "Todos los P son Q y todos los Q son P ". En otras palabras, los conjuntos P y Q coinciden: son idénticos. Sin embargo, esto no implica que P y Q deban tener el mismo significado (por ejemplo, P podría ser "triángulo equiangular" y Q podría ser "triángulo equilátero"). Al formularse como una oración, el antecedente es el sujeto y el consecuente es el predicado de una proposición afirmativa universal (por ejemplo, en la frase "todos los hombres son mortales", "hombres" es el sujeto y "mortales" es el predicado).

En la interpretación proposicional,${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$Esto significa que P implica Q y Q implica P ; en otras palabras, las proposiciones son lógicamente equivalentes, en el sentido de que ambas son conjuntamente verdaderas o conjuntamente falsas. Nuevamente, esto no significa que deban tener el mismo significado, ya que P podría ser "el triángulo ABC tiene dos lados iguales" y Q podría ser "el triángulo ABC tiene dos ángulos iguales". En general, el antecedente es la premisa , o la causa , y el consecuente es la consecuencia . Cuando una implicación se traduce mediante un juicio hipotético (o condicional ), el antecedente se llama hipótesis (o condición ) y el consecuente se llama tesis .

Una forma común de demostrar un bicondicional de la forma${\displaystyle P\leftrightarrow Q}$es demostrar que${\displaystyle P\rightarrow Q}$y${\displaystyle Q\rightarrow P}$por separado (debido a su equivalencia con la conjunción de los dos condicionales recíprocos ^{[ 2 ]} ). Otra forma de demostrar el mismo bicondicional es demostrando que${\displaystyle P\rightarrow Q}$y${\displaystyle \neg P\rightarrow \neg Q}$.

Cuando ambos miembros de la bicondicional son proposiciones, esta se puede separar en dos condicionales, uno llamado teorema y el otro su recíproco . Así, siempre que un teorema y su recíproco sean verdaderos, tenemos una bicondicional. Un teorema simple da lugar a una implicación, cuyo antecedente es la hipótesis y cuyo consecuente es la tesis del teorema.

Se suele decir que la hipótesis es la condición suficiente de la tesis, y que la tesis es la condición necesaria de la hipótesis. Es decir, basta con que la hipótesis sea verdadera para que la tesis sea verdadera, mientras que es necesario que la tesis sea verdadera si la hipótesis lo fuera. Cuando un teorema y su recíproco son verdaderos, se dice que su hipótesis es la condición necesaria y suficiente de la tesis. Es decir, la hipótesis es a la vez causa y consecuencia de la tesis.

Las notaciones utilizadas en la historia para representar la equivalencia incluyen:

• ${\displaystyle =}$en George Boole en 1847. ^{[ 4 ]} Aunque Boole usó${\displaystyle =}$principalmente en clases, también consideró el caso de que${\displaystyle x,y}$son proposiciones en${\displaystyle x=y}$y en ese momento${\displaystyle =}$es equivalencia.
• ${\displaystyle \equiv }$en Frege en 1879; ^{[ 5 ]}
• ${\displaystyle \sim }$en Bernays en 1918; ^{[ 6 ]}
• ${\displaystyle \rightleftarrows }$en Hilbert en 1927 (mientras él usaba${\displaystyle \sim }$como símbolo principal en el artículo); ^{[ 7 ]}
• ${\displaystyle \leftrightarrow }$en Hilbert y Ackermann en 1928 ^{[ 8 ]} (ellos también introdujeron${\displaystyle \rightleftarrows ,\sim }$mientras usan${\displaystyle \sim }$como símbolo principal de todo el libro;${\displaystyle \leftrightarrow }$es adoptada por muchos seguidores como Becker en 1933 ^{[ 9 ]} );
• ${\displaystyle E}$(prefijo) en Łukasiewicz en 1929 ^{[ 10 ]} y${\displaystyle Q}$(prefijo) en Łukasiewicz en 1951; ^{[ 11 ]}
• ${\displaystyle \supset \subset }$en Heyting en 1930; ^{[ 12 ]}
• ${\displaystyle \Leftrightarrow }$en Bourbaki en 1954; ^{[ 13 ]}
• ${\displaystyle \subset \supset }$en Chazal en 1996; ^{[ 14 ]}

y así sucesivamente. Alguien más también usa${\displaystyle \operatorname {EQ} }$o${\displaystyle \operatorname {EQV} }$ocasionalmente.

La igualdad lógica (también conocida como bicondicional) es una operación sobre dos valores lógicos , típicamente los valores de dos proposiciones , que produce un valor verdadero si y solo si ambos operandos son falsos o ambos operandos son verdaderos. ^{[ 2 ]}

Tabla de verdad

La siguiente es una tabla de verdad para${\displaystyle A\leftrightarrow B}$:

Cuando hay más de dos declaraciones involucradas, combinarlas con${\displaystyle \leftrightarrow }$podría ser ambiguo. Por ejemplo, la afirmación

${\displaystyle x_{1}\leftrightarrow x_{2}\leftrightarrow x_{3}\leftrightarrow \cdots \leftrightarrow x_{n}}$

puede interpretarse como

${\displaystyle (((x_{1}\leftrightarrow x_{2})\leftrightarrow x_{3})\leftrightarrow \cdots )\leftrightarrow x_{n}}$,

o puede interpretarse como que todas las x _i son conjuntamente verdaderas o conjuntamente falsas :

${\displaystyle (x_{1}\land \cdots \land x_{n})\lor (\neg x_{1}\land \cdots \land \neg x_{n})}$

Resulta que estas dos afirmaciones solo son iguales cuando hay cero o dos argumentos. De hecho, las siguientes tablas de verdad solo muestran el mismo patrón de bits en la línea sin argumentos y en las líneas con dos argumentos:

El diagrama de Venn de la izquierda que se muestra a continuación, y las líneas (AB )     en estas matrices representan la misma operación.

Conmutatividad : Sí

Asociatividad : Sí

Distributividad : La bicondicional no se distribuye sobre ninguna función binaria (ni siquiera sobre sí misma), pero la disyunción lógica sí se distribuye sobre la bicondicional.

Idempotencia : No

Monotonicidad : No

Preservación de la verdad: Sí. Cuando todas las entradas son verdaderas, la salida es verdadera.

Preservación de la falsedad: No. Cuando todas las entradas son falsas, la salida no es falsa.

Espectro de Walsh : (2,0,0,2)

No linealidad : 0 (la función es lineal)

Al igual que todos los conectores en la lógica de primer orden, el bicondicional tiene reglas de inferencia que rigen su uso en las demostraciones formales.

B → A A → B ∴ A ↔ B    

B → A A → B ∴ B ↔ A    

A ↔ B   ∴ A → B

A ↔ B   ∴ B → A

Una forma inequívoca de expresar una bicondicional en lenguaje sencillo es adoptar la forma « b si a y a si b », si no se utiliza la forma estándar « a si y solo si b ». De manera un poco más formal, también se podría decir que « b implica a y a implica b », o « a es necesario y suficiente para b ». El verbo «si» en lenguaje sencillo a veces puede usarse como bicondicional (especialmente en el contexto de una definición matemática ^{[ 15 ]} ). En tal caso, se debe tener en cuenta el contexto circundante al interpretar estas palabras.

Por ejemplo, la afirmación "Te compraré una cartera nueva si la necesitas" puede interpretarse como una oración bicondicional, ya que quien la pronuncia no pretende que el resultado válido sea comprar la cartera independientemente de si se necesita o no (como en una oración condicional). Sin embargo, "Está nublado si llueve" generalmente no se interpreta como una oración bicondicional, puesto que puede estar nublado aunque no llueva.

• Si y solo si
• Equivalencia lógica
• Igualdad lógica
• Puerta XNOR
• eliminación bicondicional
• Introducción bicondicional

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