Gravedad masiva

En física teórica , la gravedad masiva es una teoría de la gravedad que modifica la relatividad general al dotar al gravitón de una masa distinta de cero . En la teoría clásica, esto significa que las ondas gravitacionales obedecen una ecuación de onda masiva y, por lo tanto, viajan a velocidades inferiores a la de la luz .

La gravedad masiva tiene una larga y compleja historia, que se remonta a la década de 1930, cuando Wolfgang Pauli y Markus Fierz desarrollaron por primera vez una teoría de un campo masivo de espín 2 que se propaga en un fondo espaciotemporal plano . Posteriormente, en la década de 1970, se comprendió que las teorías de un gravitón masivo sufrían patologías peligrosas, incluyendo un modo fantasma y una discontinuidad con la relatividad general en el límite donde la masa del gravitón tiende a cero. Si bien existían soluciones a estos problemas desde hacía algún tiempo en tres dimensiones espaciotemporales, ^{[ 1 ] [ 2 ]} no se resolvieron en cuatro dimensiones y superiores hasta el trabajo de Claudia de Rham , Gregory Gabadadze y Andrew Tolley (modelo dRGT) en 2010.

Una de las primeras teorías de gravedad masiva fue construida en 1965 por Ogievetsky y Polubarinov (OP). ^{[ 3 ]} A pesar de que el modelo OP coincide con los modelos de gravedad masiva sin fantasmas redescubiertos en dRGT, el modelo OP ha sido casi desconocido entre los físicos contemporáneos que trabajan en gravedad masiva, tal vez porque la estrategia seguida en ese modelo era bastante diferente de la que generalmente se adopta en la actualidad. ^{[ 4 ]} La gravedad dual masiva al modelo OP ^{[ 5 ]} se puede obtener acoplando el campo de gravitón dual al rotacional de su propio tensor energía-momento. ^{[ 6 ] [ 7 ]} Dado que la intensidad del campo simétrico mixto de la gravedad dual es comparable al tensor de curvatura extrínseca totalmente simétrico de la teoría de Galileones, el lagrangiano efectivo del modelo dual en 4-D se puede obtener a partir de la recursión de Faddeev-LeVerrier , que es similar a la de la teoría de Galileones hasta los términos que contienen polinomios de la traza de la intensidad del campo. ^{[ 8 ] [ 9 ]} Esto también se manifiesta en la formulación dual de la teoría de Galileones. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

Que la relatividad general se modifique a grandes distancias en la gravedad masiva proporciona una posible explicación para la expansión acelerada del Universo que no requiere energía oscura . La gravedad masiva y sus extensiones, como la gravedad bimétrica , ^{[ 12 ]} pueden generar soluciones cosmológicas que, de hecho, muestran una aceleración tardía en concordancia con las observaciones. ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}

Las observaciones de ondas gravitacionales han limitado la longitud de onda Compton del gravitón a λ _g >1,6 × 10 ¹⁶ m  , lo que puede interpretarse como un límite para la masa del gravitón m _g <7,7 × 10 ⁻²³ eV / c ²  . ^{[ 16 ]} También se han obtenido límites competitivos sobre la masa del gravitón a partir de mediciones del sistema solar realizadas por misiones espaciales como Cassini y MESSENGER , que en cambio dan la restricción λ _g >1,83 × 10 ¹⁶ m  o m _g <6,76 × 10 ⁻²³ eV / c ²  . ^{[ 17 ]}

A nivel lineal, se puede construir una teoría de un campo masivo de espín -2.${\displaystyle h_{\mu \nu }}$propagándose en el espacio de Minkowski . Esto puede verse como una extensión de la gravedad linealizada de la siguiente manera. La gravedad linealizada se obtiene linealizando la relatividad general alrededor del espacio plano,${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+M_{\mathsf {Pl}}^{-1}h_{\mu \nu }}$, donde${\displaystyle M_{\mathsf {Pl}}=1/{\sqrt {8\pi G\ }}}$es la masa de Planck con${\displaystyle G}$la constante de gravitación newtoniana . Esto conduce a un término cinético en el lagrangiano para${\displaystyle h_{\mu \nu }}$que es consistente con la invariancia de difeomorfismo , así como un acoplamiento a la materia de la forma

${\displaystyle h^{\mu \nu }T_{\mu \nu }\ ,}$

dónde${\displaystyle T_{\mu \nu }}$es el tensor de energía-impulso . Este término cinético y el acoplamiento de la materia combinados no son otra cosa que la acción de Einstein-Hilbert linealizada en un espacio plano.

La gravedad masiva se obtiene añadiendo términos de interacción no derivada para ⁠${\displaystyle h_{\mu \nu }}$⁠ . A nivel lineal (es decir, segundo orden en ⁠${\displaystyle h_{\mu \nu }}$) , solo hay dos términos de masa posibles:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }=a\ h^{\mu \nu }h_{\mu \nu }+b\ \left(\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }\right)^{2}~.}$

Fierz y Pauli ^{[ 18 ]} demostraron en 1939 que esto solo propaga las cinco polarizaciones esperadas de un gravitón masivo (en comparación con dos para el caso sin masa) si los coeficientes se eligen de manera que${\displaystyle a=-b}$Cualquier otra elección desbloqueará un sexto grado de libertad "fantasmagórico". Un "fantasma" es un modo con energía cinética negativa ; esto conduce a contradicciones lógicas en la teoría. Su hamiltoniano no está acotado inferiormente y, por lo tanto, es inestable para desintegrarse en partículas de energías positivas y negativas arbitrariamente grandes. El término de masa de Fierz-Pauli ,

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {FP} }=m^{2}\left(h^{\mu \nu }h_{\mu \nu }-\left(\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }\right)^{2}\right)}$

es, por lo tanto, la única teoría lineal consistente de un campo masivo de espín 2.

En la década de 1970, Hendrik van Dam y Martinus JG Veltman ^{[ 19 ]} e, independientemente, Valentin I. Zakharov ^{[ 20 ]} descubrieron una propiedad peculiar de la gravedad masiva de Fierz-Pauli: sus predicciones no se reducen uniformemente a las de la relatividad general en el límite.${\displaystyle m\to 0}$En particular, si bien a escalas pequeñas (más cortas que la longitud de onda Compton de la masa del gravitón) se recupera la ley gravitacional de Newton , la desviación de la luz es solo tres cuartas partes del resultado que obtuvo Albert Einstein en la relatividad general. Esto se conoce como la discontinuidad vDVZ .

Podemos entender la menor desviación de la luz de la siguiente manera. El gravitón masivo de Fierz-Pauli, debido a la ruptura de la invariancia del difeomorfismo , propaga tres grados de libertad adicionales en comparación con el gravitón sin masa de la relatividad general linealizada. Estos tres grados de libertad se empaquetan en un campo vectorial , que es irrelevante para nuestros propósitos, y un campo escalar. Este modo escalar ejerce una atracción adicional en el caso masivo en comparación con el caso sin masa. Por lo tanto, si se desea que las mediciones de la fuerza ejercida entre masas no relativistas coincidan, la constante de acoplamiento de la teoría masiva debería ser menor que la de la teoría sin masa. Pero la desviación de la luz es ajena al sector escalar, porque el tensor de energía-impulso de la luz no tiene traza. Por lo tanto, siempre que las dos teorías coincidan en la fuerza entre sondas no relativistas, la teoría masiva predeciría una menor desviación de la luz que la teoría sin masa.

^{Vainshtein [ 21 ]} argumentó dos años después que la discontinuidad vDVZ es un artefacto de la teoría lineal, y que las predicciones de la relatividad general se recuperan de hecho a escalas pequeñas cuando se tienen en cuenta los efectos no lineales, es decir, términos superiores a los cuadráticos en${\displaystyle h_{\mu \nu }}$En términos heurísticos, dentro de una región conocida como el radio de Vainshtein , las fluctuaciones del modo escalar se vuelven no lineales, y sus términos de derivada de orden superior superan el término cinético canónico. Por lo tanto, la normalización canónica del escalar en torno a este fondo conlleva una fuerte supresión del término cinético, lo que amortigua las fluctuaciones del escalar dentro del radio de Vainshtein. Dado que la fuerza adicional mediada por el escalar es proporcional a (menos) su gradiente, esto resulta en una fuerza adicional mucho menor que la que habríamos calculado utilizando únicamente la teoría lineal de Fierz-Pauli.

Este fenómeno, conocido como apantallamiento de Vainshtein , interviene no solo en la gravedad masiva, sino también en teorías relacionadas de gravedad modificada, como la DGP y ciertas teorías escalar-tensoriales , donde resulta crucial para ocultar los efectos de la gravedad modificada en el sistema solar. Esto permite que dichas teorías coincidan con las pruebas de gravedad terrestres y del sistema solar con la misma precisión que la relatividad general, manteniendo grandes desviaciones a mayores distancias. De este modo, estas teorías pueden conducir a la aceleración cósmica y dejar huellas observables en la estructura a gran escala del Universo sin contravenir otras restricciones mucho más estrictas derivadas de observaciones más cercanas.

Como respuesta al modelo de gravedad de rango finito de Freund -Maheshwari-Schonberg , ^{[ 22 ]} y casi al mismo tiempo que se descubrieron la discontinuidad vDVZ y el mecanismo de Vainshtein, David Boulware y Stanley Deser encontraron en 1972 que las extensiones no lineales genéricas de la teoría de Fierz-Pauli reintrodujeron el peligroso modo fantasma; ^{[ 23 ]} el ajuste${\displaystyle a=-b}$Lo que garantizaba la ausencia de este modo en el orden cuadrático, se rompía, según descubrieron, en los órdenes cúbico y superiores, reintroduciendo el fantasma en dichos órdenes. Como resultado, este fantasma de Boulware-Deser estaría presente, por ejemplo, en entornos altamente inhomogéneos.

Esto es problemático porque una teoría linealizada de la gravedad, como la de Fierz-Pauli, está bien definida por sí misma, pero no puede interactuar con la materia, ya que el acoplamiento${\displaystyle h^{\mu \nu }T_{\mu \nu }}$Se rompe la invariancia del difeomorfismo. Esto debe remediarse añadiendo nuevos términos de orden superior, hasta el infinito . Para un gravitón sin masa, este proceso converge y el resultado es bien conocido: se llega simplemente a la relatividad general. Este es el significado de la afirmación de que la relatividad general es la única teoría (salvo condiciones sobre dimensionalidad, localidad, etc.) de un campo sin masa de espín 2.

Para que la gravedad masiva describa realmente la gravedad, es decir, un campo masivo de espín 2 acoplado a la materia y mediando así la fuerza gravitatoria, debe obtenerse de manera similar una completitud no lineal. El fantasma de Boulware-Deser presenta un serio obstáculo para tal empresa. La gran mayoría de las teorías de campos masivos e interactuantes de espín 2 sufrirán este fantasma y, por lo tanto, no serán viables. De hecho, hasta 2010 se creía ampliamente que todas las teorías de gravedad masiva invariantes de Lorentz poseían el fantasma de Boulware-Deser ^{[ 24 ]} a pesar de los esfuerzos por demostrar que dicha creencia es inválida. ^{[ 25 ]} Vale la pena señalar que el modelo dRGT es la mejor manera de aislar y "romper" el fantasma BD ya que ambos se desarrollan utilizando tratamientos hamiltonianos y variables ADM . Pero para el modelo de gravedad de rango finito y el modelo de Ogievetsky y Polubarinov, resulta que necesitan el principio variacional de Noether junto con la redefinición y mejora conforme del tensor de energía-momento como un campo fuente . ^{[ 26 ]}

En 2010 se logró un avance cuando de Rham , Gabadadze y Tolley construyeron, orden por orden, una teoría de la gravedad masiva con coeficientes ajustados para evitar el fantasma de Boulware-Deser al empaquetar todos los operadores fantasmales (es decir, de derivadas superiores) en derivadas totales que no contribuyen a las ecuaciones de movimiento. ^{[ 27 ] [ 28 ]} La ausencia completa del fantasma de Boulware-Deser, para todos los órdenes y más allá del límite de desacoplamiento, fue demostrada posteriormente por Fawad Hassan y Rachel Rosen . ^{[ 29 ] [ 30 ]}

La acción para la gravedad masiva de de Rham–Gabadadze–Tolley (dRGT) libre de fantasmas viene dada por ^{[ 31 ].}

${\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-g\;~}}\ \left(-{\frac {\ M_{\mathsf {Pl}}^{2}}{2}}\ R+m^{2}\ M_{\mathsf {Pl}}^{2}\ \sum _{n=0}^{4}\alpha _{n}\ e_{n}\!\left(\mathbb {K} \right)+{\mathcal {L}}_{\mathsf {m}}\!\left(g,\Phi _{i}\right)\right)\ ,}$

o, equivalentemente,

${\displaystyle S=\int d^{4}x\ {\sqrt {-g\;}}\ \left(-{\frac {\ M_{\mathsf {Pl}}^{2}}{2}}\ R+m^{2}\ M_{\mathsf {Pl}}^{2}\ \sum _{n=0}^{4}\beta _{n}\ e_{n}\!\left(\mathbb {X} \right)+{\mathcal {L}}_{\mathsf {m}}\!\left(g,\Phi _{i}\right)\right)~.}$

Los ingredientes requieren alguna explicación. Como en la relatividad general estándar, hay un término cinético de Einstein-Hilbert proporcional al escalar de Ricci.${\displaystyle R}$y un acoplamiento mínimo al lagrangiano de la materia .${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathsf {m}}}$⁠ , con${\displaystyle \Phi _{i}}$representando todos los campos de materia, como los del Modelo Estándar . La nueva pieza es un término de masa, o potencial de interacción, construido cuidadosamente para evitar el fantasma de Boulware-Deser, con una fuerza de interacción${\displaystyle m}$que es (si el distinto de cero${\displaystyle \beta _{i}}$son​${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$) estrechamente relacionado con la masa del gravitón.

El principio de invariancia de gauge hace que las expresiones redundantes en cualquier teoría de campos que cuente con su(s) gauge(s) correspondiente(s) sean redundantes. Por ejemplo, en la acción de Proca masiva de espín 1 , la parte masiva en el Lagrangiano${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mA_{\mu }A^{\mu }}$rompe el${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$invariancia de gauge. Sin embargo, la invariancia se restablece introduciendo las transformaciones :${\displaystyle A_{\mu }\to A_{\mu }+\partial _{\mu }\pi }$⁠ . Lo mismo puede hacerse para la gravedad masiva siguiendo la teoría de campo efectiva de Arkani-Hamed, Georgi y Schwartz para la gravedad masiva. ^{[ 32 ]} La ausencia de discontinuidad vDVZ en este enfoque motivó el desarrollo de la resuma dRGT de la teoría de la gravedad masiva como sigue. ^{[ 28 ]}

El potencial de interacción se construye a partir de polinomios simétricos elementales.${\displaystyle e_{n}}$de los valores propios de las matrices${\displaystyle \textstyle \mathbb {K} =\mathbb {I} -{\sqrt {g^{-1}f~}}}$o${\displaystyle \textstyle \mathbb {X} ={\sqrt {g^{-1}f~}}}$parametrizado por constantes de acoplamiento adimensionales${\displaystyle \alpha _{i}}$o​${\displaystyle \beta _{i}}$, respectivamente. Aquí${\displaystyle \textstyle {\sqrt {g^{-1}f~}}}$es la raíz cuadrada de la matriz${\displaystyle g^{-1}f}$. Escrito en notación de índice,${\displaystyle \mathbb {X} }$se define por la relación ⁠${\displaystyle X^{\mu }{}_{\alpha }X^{\alpha }{}_{\nu }=g^{\mu \alpha }f_{\nu \alpha }}$Hemos introducido una métrica de referencia .${\displaystyle f_{\mu \nu }}$para construir el término de interacción. Hay una razón simple para esto: es imposible construir un término de interacción no trivial (es decir, no derivado) a partir de${\displaystyle g_{\mu \nu }}$solo. Las únicas posibilidades son${\displaystyle g^{\mu \alpha }g_{\alpha \nu }=\delta _{\nu }^{\mu }}$y​${\displaystyle \det g}$⁠ , ambos conducen a un término de constante cosmológica en lugar de una interacción genuina . Físicamente,${\displaystyle f_{\mu \nu }}$corresponde a la métrica de fondo alrededor de la cual las fluctuaciones toman la forma de Fierz-Pauli. Esto significa que, por ejemplo, completar de forma no lineal la teoría de Fierz-Pauli alrededor del espacio de Minkowski dado anteriormente conducirá a la gravedad masiva dRGT con ⁠${\displaystyle f_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }}$⁠ , aunque la prueba de ausencia del fantasma de Boulware-Deser se mantiene para general ⁠${\displaystyle f_{\mu \nu }}$⁠ . ^{[ 33 ]}

La métrica de referencia se transforma como un tensor métrico bajo difeomorfismo.

${\displaystyle f_{\mu \nu }\to f'_{\mu \nu }\!\left(\ X(x)\ \right)\equiv f_{\alpha \beta }\ \partial _{\mu }X^{\alpha }\ \partial _{\nu }X^{\beta }~.}$

Por lo tanto${\displaystyle \ \left[\ \mathbb {X} ^{2}\ \right]=X^{\mu }{}_{\alpha }\ X^{\alpha }{}_{\mu }=g^{\mu \alpha }\ f_{\mu \alpha }\ ,}$y términos similares con potencias superiores, se transforma como un escalar bajo el mismo difeomorfismo. Para un cambio en las coordenadas${\displaystyle x_{\mu }\to x_{\mu }+\xi _{\mu }}$, nos expandimos${\displaystyle \ X^{\mu }=x^{\mu }-\phi ^{\mu }\ }$con${\displaystyle \ f_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }\ }$de tal manera que la métrica perturbada se convierte en:

${\displaystyle h_{\mu \nu }\to h'_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }+\partial _{\mu }\phi _{\nu }+\partial _{\nu }\phi _{\mu }-\partial _{\mu }\phi ^{\alpha }\ \partial _{\nu }\phi _{\alpha }\ ,}$

mientras que el vector de tipo potencial se transforma según el truco de Stueckelberg como${\displaystyle \phi _{\mu }\to \phi _{\mu }+\xi _{\mu }}$de tal manera que el campo de Stueckelberg se define como ⁠${\displaystyle \phi ^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }\left(A_{\nu }-\partial _{\nu }\pi \right)}$⁠ . ^{[ 34 ]} A partir del difeomorfismo, se puede definir otra matriz de Stueckelberg ⁠${\displaystyle \mathbb {Y} _{~b}^{a}\equiv f_{bc}g^{\mu \nu }\partial _{\mu }X^{a}\partial _{\nu }X^{c}}$, donde${\displaystyle \mathbb {Y} _{~b}^{a}}$y${\displaystyle \mathbb {X} _{~b}^{a}}$tienen los mismos autovalores. ^{[ 35 ]} Ahora, se consideran las siguientes simetrías:

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta h_{\mu \nu }&=\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }+{\frac {2}{\ M_{\mathsf {Pl}}\ }}\ {\mathcal {L}}_{\xi }\ h_{\mu \nu }\\\delta A_{\mu }&=\partial _{\mu }\pi -m\ \xi _{\mu }+{\frac {2}{\ M_{\mathsf {Pl}}\ }}\ \xi ^{\alpha }\partial _{\alpha }A_{\mu }\\\delta \pi &=-m\ \pi \end{aligned}}}$

de tal manera que la métrica perturbada transformada se convierte en:

${\displaystyle h'_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }+\partial _{\mu }A_{\nu }+\partial _{\nu }A_{\mu }-\partial _{\mu }A^{\alpha }\ \partial _{\nu }A_{\alpha }-\partial _{\mu }A^{\alpha }\ \partial _{\nu }\partial _{\alpha }\pi -\partial _{\mu }\partial _{\alpha }\pi \ \partial _{\nu }A^{\alpha }-2\ \partial _{\mu }\partial _{\nu }\pi -\partial _{\mu }\partial _{\alpha }\pi \ \partial _{\nu }\partial ^{\alpha }\ \pi ~.}$

La forma covariante de estas transformaciones se obtiene de la siguiente manera. Si el modo helicidad-0 (o espín-0)${\displaystyle \pi }$es una medida pura de los modos no físicos de Goldstone, con${\displaystyle \Pi _{\mu \nu }=\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\pi }$⁠ , ^{[ 36 ]} la matriz${\displaystyle \ \mathbb {X} \ }$es una función tensorial del tensor de covarianza

${\displaystyle H_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+2\Pi _{\mu \nu }-\eta ^{\alpha \beta }\Pi _{\mu \alpha }\Pi _{\beta \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }-\eta _{ab}\nabla _{\mu }\phi ^{a}\nabla _{\nu }\phi ^{b}}$

de la perturbación métrica${\displaystyle h_{\mu \nu }}$tal que el tensor${\displaystyle H_{\mu \nu }}$es Stueckelbergizado por el campo ⁠${\displaystyle \phi ^{a}=A^{a}-\eta ^{a\mu }\nabla _{\mu }\pi }$⁠ . ^{[ 37 ]} Transformaciones del modo helicidad-0 bajo transformaciones galileanas ⁠${\displaystyle \pi \to \pi +c+v_{\mu }\ x^{\mu }}$⁠ , de ahí el nombre "Galileones". ^{[ 38 ]} La matriz${\displaystyle \mathbb {X} }$es una función tensorial del tensor de covarianza${\displaystyle H_{\mu \nu }\equiv g_{\mu \nu }-f'_{\mu \nu }}$de la perturbación métrica${\displaystyle h_{\mu \nu }}$con componentes dados por:

${\displaystyle \mathbb {X} _{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+2\ {\mathcal {K}}_{\mu \nu }-\eta ^{\alpha \beta }\ {\mathcal {K}}_{\mu \alpha }{\mathcal {K}}_{\beta \nu }\ ,}$

dónde

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }-\left({\sqrt {\mathbb {X} \;~}}\right)_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }-{\sqrt {\ \eta _{\mu \nu }-H_{\mu \nu }\;~}}}$

es la curvatura extrínseca. ^{[ 39 ]}

Curiosamente, el tensor de covariantización fue introducido originalmente por Maheshwari en un artículo de autoría individual que fue una secuela de helicidad.${\displaystyle (2\oplus 0)}$Modelo de gravitación de rango finito de Freund-Maheshwari-Schonberg. ^{[ 26 ]} En el trabajo de Maheshwari, la perturbación métrica obedece la condición de Hilbert-Lorentz.${\displaystyle m^{2}\left(\partial _{\nu }h_{\mu \nu }+q\ \partial _{\mu }h\right)=0}$bajo la variación

${\displaystyle \delta ^{*}h_{\mu \nu }=\delta h_{\mu \nu }+\delta h_{\mu \nu }^{\mathsf {spin}}=\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }+p\ \eta _{\mu \nu }\ h+\delta h_{\mu \nu }^{\mathsf {spin}}}$

que se introduce en la gravedad masiva de Ogievetsky-Polubarinov, donde${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$deben determinarse. ^{[ 40 ]} Es fácil notar la similitud entre tensor${\displaystyle \mathbb {X} }$en dRGT y el tensor${\displaystyle h_{(p)}^{\mu \nu }=(\eta ^{\mu \nu }-n\ \psi ^{\mu \nu })^{\tfrac {1}{n}}}$en Maheshwari trabaja una vez${\displaystyle n=2}$Se elige. Además, el modelo Ogievetsky-Polubarinov también lo exige .${\displaystyle n=-{\tfrac {1}{p}}}$⁠ , lo que significa que en 4D, ⁠${\displaystyle p=-{\tfrac {\ 1\ }{n}}=-{\tfrac {\ 1\ }{2}}}$⁠ , la variación${\displaystyle \delta h_{\mu \nu }}$es conforme.

Los campos masivos dRGT se dividen en dos helicidad- 2${\displaystyle h_{\mu \nu }}$, dos helicidad-1${\displaystyle A_{\mu }}$y una helicidad-0${\displaystyle \pi }$grados de libertad, al igual que los de la teoría masiva de Fierz-Pauli. Sin embargo, la covariantización, junto con el límite de desacoplamiento , garantiza que las simetrías de esta teoría masiva se reducen a la simetría de la relatividad general linealizada más la de${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$teoría masiva, mientras que el escalar se desacopla. Si${\displaystyle v_{\mu }}$se elige para que no haya divergencia, es decir${\displaystyle \Box \ \pi =0}$⁠ , el límite de desacoplamiento de dRGT da la gravedad linealizada conocida. ^{[ 41 ]} Para ver cómo sucede eso, expanda los términos que contienen${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\mu \nu }}$en la acción en poderes de ⁠${\displaystyle H_{\mu \nu }}$, donde${\displaystyle H_{\mu \nu }}$se expresa en términos de${\displaystyle \phi ^{a}}$campos como cómo${\displaystyle h'_{\mu \nu }}$se expresa en términos de${\displaystyle A^{\mu }}$⁠ . Los campos${\displaystyle h_{\mu \nu },A_{\mu },\pi }$son reemplazados por:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {h}}_{\mu \nu }&=M_{\mathsf {Pl}}\ h_{\mu \nu }\\{\tilde {A}}_{\mu }&=M_{\mathsf {Pl}}\ m\ A_{\mu }\\{\tilde {\pi }}&=M_{\mathsf {Pl}}\ m^{2}\ \pi \\{\hat {h}}_{\mu \nu }&={\tilde {h}}_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }{\tilde {\pi }}\end{aligned}}}$

Entonces se deduce que en el límite de desacoplamiento , es decir, cuando ambos${\displaystyle M_{\mathsf {Pl}}\to \infty ,m\to 0,m^{2}M_{\mathsf {Pl}}={\text{const}}}$⁠ , el lagrangiano de gravedad masiva es invariante bajo:

1. ${\displaystyle \delta h_{\mu \nu }=\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu },}$como en la teoría general linealizada de la relatividad,
2. ${\displaystyle \delta A_{\mu }=\partial _{\mu }\pi ,}$como en la teoría electromagnética de Maxwell, y
3. ${\displaystyle \delta \pi =0.}$

En principio, la métrica de referencia debe especificarse manualmente y, por lo tanto, no existe una única teoría de gravedad masiva dRGT, ya que la teoría con una métrica de referencia plana es diferente de una con una métrica de referencia de De Sitter , etc. Alternativamente, se puede pensar en${\displaystyle f_{\mu \nu }}$como una constante de la teoría, al igual que${\displaystyle m}$o​${\displaystyle M_{\mathsf {Pl}}}$En lugar de especificar una métrica de referencia desde el principio, se puede permitir que tenga su propia dinámica. Si el término cinético para${\displaystyle f_{\mu \nu }}$También es Einstein-Hilbert, entonces la teoría permanece libre de fantasmas y nos quedamos con una teoría de bigravedad masiva , ^{[ 12 ]} (o relatividad bimétrica , BR) que propaga los dos grados de libertad de un gravitón sin masa además de los cinco de uno masivo.

En la práctica no es necesario calcular los valores propios de${\displaystyle \mathbb {X} }$(o${\displaystyle \mathbb {K} }$) para obtener el ⁠${\displaystyle e_{n}}$⁠ . Se pueden escribir directamente en términos de${\displaystyle \mathbb {X} }$como

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}\!\left(\mathbb {X} \right)&=1\ ,\\e_{1}\!\left(\mathbb {X} \right)&=\left[\ \mathbb {X} \right]\ ,\\e_{2}\!\left(\mathbb {X} \right)&={\tfrac {\ 1\ }{2}}\left(\left[\ \mathbb {X} \ \right]^{2}-\left[\ \mathbb {X} ^{2}\ \right]\right)\ ,\\e_{3}\!\left(\mathbb {X} \right)&={\tfrac {\ 1\ }{6}}\left(\left[\ \mathbb {X} \ \right]^{3}-3\ \left[\ \mathbb {X} \ \right]\left[\ \mathbb {X} ^{2}\ \right]+2\ \left[\ \mathbb {X} ^{3}\ \right]\right)\ ,\\e_{4}\!\left(\mathbb {X} \right)&=\det \mathbb {X} \ ,\end{aligned}}}$

donde los corchetes indican un rastro ,${\displaystyle [\ \mathbb {X} \ ]\equiv X^{\mu }{}_{\mu }\equiv \operatorname {tr} \mathbb {X} ~.}$Es la combinación antisimétrica particular de términos en cada uno de los${\displaystyle e_{n}}$lo cual es responsable de que el fantasma de Boulware-Deser se vuelva no dinámico.

La elección de usar${\displaystyle \ \mathbb {X} \ }$o${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {I} -\mathbb {X} }$, con${\displaystyle \mathbb {I} }$La matriz identidad es una convención, ya que en ambos casos el término de masa libre de fantasmas es una combinación lineal de los polinomios simétricos elementales de la matriz elegida. Se puede transformar de una base a otra, en cuyo caso los coeficientes satisfacen la relación ^{[ 31 ].}

${\displaystyle \beta _{n}=(4-n)!\ \sum _{i=n}^{4}\ {\frac {\ (-1)^{i+n}\ }{\ (4-i)!(i-n)!\ }}\ \alpha _{i}~.}$

Los coeficientes corresponden a un polinomio característico que tiene la forma del determinante de Fredholm . También pueden obtenerse mediante el algoritmo de Faddeev-LeVerrier .

En un marco de tétrada ortonormal de 4D , tenemos las bases:

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{\,\mu }^{0}&=(-1,0,0,0)\\e_{\,\mu }^{I}&=(0,e_{i}^{I})\end{aligned}}}$

donde el índice${\displaystyle i}$es para el componente espacial 3D de la${\displaystyle \mu }$-coordenadas no ortonormales y el índice${\displaystyle I}$es para los componentes espaciales 3D de la${\displaystyle a}$-ortonormales. El transporte paralelo requiere la conexión de espín .${\displaystyle e^{0\nu }\nabla _{e^{0\nu }}e_{~\mu }^{I}=0}$⁠ . Por lo tanto, la curvatura extrínseca , que corresponde a${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\mu \nu }}$en el formalismo métrico, se convierte en

${\displaystyle K_{j}^{i}\equiv {\frac {1}{2}}\gamma ^{ik}\partial _{t}(\gamma _{kj})=e_{I}^{i}\partial _{t}(e_{j}^{I}),}$

dónde${\displaystyle \gamma _{ij}}$es la métrica espacial como en el formalismo ADM y la formulación del valor inicial .

Si la tétrada se transforma conformemente como${\displaystyle e_{i}^{I}\to {e'}_{i}^{I}\equiv a(t)~e_{i}^{I},}$la curvatura extrínseca se convierte${\displaystyle {K'}_{j}^{i}={\frac {a}{\dot {a}}}K_{j}^{i}=\delta _{j}^{i}-{\frac {a}{\dot {a}}}e_{I}^{i}\partial _{t}\!\!\left(e_{j}^{I}\right)}$, donde a partir de las ecuaciones de Friedmann${\displaystyle {\frac {a}{\dot {a}}}={\frac {a}{\partial _{t}a}}\sim {\frac {1}{\sqrt {\Lambda }}}}$, y${\displaystyle m\sim 1/{\sqrt {\Lambda }}}$(a pesar de que es controvertido ^{[ 42 ]} ), es decir, la curvatura extrínseca se transforma como ⁠${\displaystyle K_{j}^{i}\to mK_{j}^{i}=\delta _{j}^{i}-m~e_{I}^{i}{\dot {e}}_{j}^{I}}$Esto se parece mucho a la matriz.${\displaystyle \mathbb {K} }$o el tensor${\displaystyle {\mathcal {K}}_{j}^{i}}$⁠ .

El dRGT se desarrolló inspirándose en la aplicación de la técnica anterior al modelo DGP 5D después de considerar la deconstrucción de teorías de gravedad de Kaluza-Klein de dimensiones superiores , ^{[ 43 ]} en las que la(s) dimensión(es) extra se reemplazan por series de N sitios de red de tal manera que la métrica de dimensión superior se reemplaza por un conjunto de métricas interactuantes que dependen solo de los componentes 4D. ^{[ 39 ]}

La presencia de una matriz de raíz cuadrada es algo incómoda y apunta a una formulación alternativa y más simple en términos de vierbeins . Dividir las métricas en vierbeins como

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=\eta _{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }\\f_{\mu \nu }&=\eta _{ab}f^{a}{}_{\mu }f^{b}{}_{\nu }\end{aligned}}}$

y luego definiendo las formas únicas

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} ^{a}&=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }\\\mathbf {f} ^{a}&=f^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }\\\mathbf {i} ^{a}&=\delta ^{a}{}_{\mu }dx^{\mu },\end{aligned}}}$

Los términos de interacción sin fantasmas en la teoría de bigravedad de Hassan-Rosen se pueden escribir simplemente como (salvo factores numéricos) ^{[ 44 ].}

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {e} ^{b}\wedge \mathbf {e} ^{c}\wedge \mathbf {e} ^{d}\\e_{1}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {e} ^{b}\wedge \mathbf {e} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\\e_{2}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {e} ^{b}\wedge \mathbf {f} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\\e_{3}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {f} ^{b}\wedge \mathbf {f} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\\e_{4}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {f} ^{a}\wedge \mathbf {f} ^{b}\wedge \mathbf {f} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\end{aligned}}}$

En términos de vierbeins, en lugar de métricas, podemos ver con bastante claridad el significado físico de los términos potenciales dRGT libres de fantasmas: son simplemente todas las diferentes combinaciones posibles de productos de cuña de los vierbeins de las dos métricas.

Nótese que la gravedad masiva en las formulaciones métrica y de vierbein solo es equivalente si se cumple la condición de simetría.

${\displaystyle (e^{-1})_{a}{}^{\mu }f_{b\nu }=(e^{-1})_{b}{}^{\mu }f_{a\nu }}$

Se cumple la condición. Si bien esto es cierto para la mayoría de las situaciones físicas, puede haber casos, como cuando la materia se acopla a ambas métricas o en teorías multimétricas con ciclos de interacción, en los que no lo sea. En estos casos, las formulaciones métrica y de vierbein constituyen teorías físicas distintas, aunque cada una propaga un gravitón masivo saludable.

La novedad en la gravedad masiva dRGT radica en que es una teoría de invariancia de gauge bajo transformaciones de Lorentz locales, asumiendo la métrica de referencia.${\displaystyle f_{\mu \nu }}$es igual a la métrica de Minkowski${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$⁠ , y la invariancia de difeomorfismos, a partir de la existencia del espaciotiempo curvo activo ⁠${\displaystyle g_{\mu \nu }}$Esto se demuestra reescribiendo el formalismo de Stueckelberg previamente discutido en el lenguaje vierbein de la siguiente manera. ^{[ 45 ]}

La versión 4D de las ecuaciones de campo de Einstein en 5D se lee

${\displaystyle G_{\mu \nu }n^{\mu }n^{\nu }={\frac {1}{2}}\left(R-K^{\mu \nu }K_{\mu \nu }+\left(K_{~\mu }^{\mu }\right)^{2}\right),}$

dónde${\displaystyle n^{\mu }}$es el vector normal a la sección 4D. Usando la definición de curvatura extrínseca masiva ⁠${\displaystyle mK_{j}^{i}=\delta _{j}^{i}-m~e_{I}^{i}{\dot {e}}_{j}^{I}}$⁠ , es sencillo ver que los términos que contienen curvaturas extrínsecas toman la forma funcional${\displaystyle (f^{a}-e^{a})\wedge (f^{b}-e^{b})\wedge e^{c}\wedge e^{d}}$en la acción tetrádica.

Por lo tanto, salvo los coeficientes numéricos, la acción dRGT completa en su forma tensorial es

${\displaystyle S={\frac {M_{\text{Pl}}^{2}}{2}}\int dx^{4}{\sqrt {g}}\left(R+2m^{2}[e_{2}({\mathcal {K}})+e_{3}({\mathcal {K}})+e_{4}({\mathcal {K}})]\right),}$

donde las funciones${\displaystyle e_{i}({\mathcal {K}})}$toman formas similares a las de la${\displaystyle e_{i}(\mathbb {X} )}$⁠ . Entonces, salvo algunos coeficientes numéricos, la acción toma la forma integral.

${\displaystyle S={\frac {M_{\text{Pl}}^{2}}{2}}\epsilon _{abcd}\int {\Big (}\mathbf {e} ^{a}\land \mathbf {e} ^{b}\land R^{cd}-m^{2}\left[\mathbf {e} ^{a}\land \mathbf {e} ^{b}\land \mathbf {e} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}+\mathbf {i} ^{a}\land \mathbf {e} ^{b}\land \mathbf {e} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}+\mathbf {i} ^{a}\land \mathbf {i} ^{b}\land \mathbf {e} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}+\mathbf {i} ^{a}\land \mathbf {i} ^{b}\land \mathbf {i} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}\right]{\Big )},}$

donde el primer término es la parte de Einstein-Hilbert de la acción de Palatini tetrádica y${\displaystyle \epsilon _{abcd}}$es el símbolo de Levi-Civita .

Como el límite de desacoplamiento garantiza que${\displaystyle \Box \pi =0}$y${\displaystyle A_{\mu }\to x_{\mu }}$comparando${\displaystyle X^{\mu }}$Para {{tmath \phi^{\mu} }}, es legítimo pensar en el tensor ⁠${\displaystyle {1}}$⁠ . Comparándolo con la definición de la 1-forma ⁠${\displaystyle \mathbf {i} ^{a}}$⁠ , se pueden definir componentes covariantes del campo de marco ⁠${\displaystyle f^{a}{}_{\mu }=\partial _{\mu }\phi ^{\nu }\delta _{~\nu }^{a}}$, es decir${\displaystyle e^{a}{}_{\mu }={\frac {\partial x^{\nu }}{\partial \phi ^{\mu }}}\Lambda ^{a}{}_{b}e^{b}{}_{\nu }}$⁠ , para reemplazar el${\displaystyle \mathbf {i} ^{a}}$de tal manera que los últimos tres términos de interacción en la acción de vierbein se convierten en

${\displaystyle S=-{\frac {M_{\text{Pl}}^{2}}{2}}m^{2}\epsilon _{abcd}\int \left[\mathbf {f} ^{a}\land \left(\Lambda _{b'}^{b}\mathbf {e} ^{b'}\right)\land \left(\Lambda _{c'}^{c}\mathbf {e} ^{c'}\right)\land \left(\Lambda _{d'}^{d}\mathbf {e} ^{d'}\right)+\mathbf {f} ^{a}\land \mathbf {f} ^{b}\land \left(\Lambda _{c'}^{c}\mathbf {e} ^{c'}\right)\land \left(\Lambda _{d'}^{d}\mathbf {e} ^{d'}\right)+\mathbf {f} ^{a}\land \mathbf {f} ^{b}\land \mathbf {f} ^{c}\land \left(\Lambda _{d'}^{d}\mathbf {e} ^{d'}\right)\right].}$

Esto se puede hacer porque se permite mover libremente las transformaciones de difeomorfismo.${\displaystyle \partial _{\nu }\phi ^{\mu }}$sobre el vierbein de referencia mediante las transformaciones de Lorentz .${\displaystyle \Lambda ^{a}{}_{b}}$⁠ . Más importante aún, las transformaciones de difeomorfismo ayudan a manifestar la dinámica de los modos de helicidad-0 y helicidad-1, de ahí la facilidad de eliminarlos cuando la teoría se compara con su versión con el único${\displaystyle U(1)}$transformaciones de calibre mientras los campos de Stueckelberg están desactivados.

Cabe preguntarse por qué se omiten los coeficientes y cómo garantizar que sean numéricos sin dependencia explícita de los campos. De hecho, esto es posible porque la variación de la acción de vierbein con respecto a los campos de Stueckelberg transformados localmente bajo la transformación de Lorentz produce este resultado tan interesante. ^{[ 45 ]} Además, podemos resolver explícitamente para los campos de Stueckelberg invariantes de Lorentz y, al sustituirlos de nuevo en la acción de vierbein, podemos demostrar la equivalencia total con la forma tensorial de la gravedad masiva dRGT. ^{[ 46 ]}

Si la masa del gravitón${\displaystyle m}$es comparable a la tasa del Hubble${\displaystyle H_{0}}$, entonces a distancias cosmológicas el término de masa puede producir un efecto gravitacional repulsivo que conduce a la aceleración cósmica. Porque, en términos generales, la simetría de difeomorfismo mejorada en el límite${\displaystyle m=0}$protege una pequeña masa de gravitón de grandes correcciones cuánticas, la elección${\displaystyle m\sim H_{0}}$es de hecho técnicamente natural . ^{[ 47 ]} La gravedad masiva, por lo tanto, puede proporcionar una solución al problema de la constante cosmológica : ¿por qué las correcciones cuánticas no hacen que el Universo se acelere en tiempos extremadamente tempranos?

Sin embargo, resulta que las soluciones cosmológicas planas y cerradas de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker no existen en la gravedad masiva dRGT con una métrica de referencia plana. ^{[ 13 ]} Las soluciones abiertas y las soluciones con métricas de referencia generales sufren inestabilidades. ^{[ 48 ]} Por lo tanto, las cosmologías viables solo se pueden encontrar en la gravedad masiva si se abandona el principio cosmológico de que el Universo es uniforme a grandes escalas, o si se generaliza dRGT de otra manera. Por ejemplo, las soluciones cosmológicas se comportan mejor en bigravedad , ^{[ 14 ]} la teoría que extiende dRGT al dar${\displaystyle f_{\mu \nu }}$dinámica. Si bien estas también tienden a poseer inestabilidades, ^{[ 49 ] [ 50 ]} esas inestabilidades podrían encontrar una resolución en la dinámica no lineal (a través de un mecanismo tipo Vainshtein) o al extender la era de inestabilidad al Universo muy temprano. ^{[ 15 ]}

Existe un caso especial en tres dimensiones, donde un gravitón sin masa no propaga ningún grado de libertad. Aquí se pueden definir varias teorías libres de fantasmas de un gravitón masivo, que propaga dos grados de libertad. En el caso de la gravedad topológicamente masiva ^{[ 1 ]} se tiene la acción

${\displaystyle S={\frac {M_{3}}{2}}\int d^{3}x{\sqrt {-g}}(R-2\Lambda )+{\frac {1}{4\mu }}\epsilon ^{\lambda \mu \nu }\Gamma _{\lambda \sigma }^{\rho }\left(\partial _{\mu }\Gamma _{\rho \nu }^{\sigma }+{\frac {2}{3}}\Gamma _{\mu \alpha }^{\sigma }\Gamma _{\nu \rho }^{\alpha }\right),}$

con${\displaystyle M_{3}}$la masa de Planck tridimensional. Esta es la relatividad general tridimensional complementada con un término tipo Chern-Simons construido a partir de los símbolos de Christoffel .

Más recientemente, se ha desarrollado una teoría denominada nueva gravedad masiva , ^{[ 2 ]} que se describe mediante la acción

${\displaystyle S=M_{3}\int d^{3}x{\sqrt {-g}}\left[\pm R+{\frac {1}{m^{2}}}\left(R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }-{\frac {3}{8}}R^{2}\right)\right].}$

El descubrimiento de ondas gravitacionales en 2016 ^{[ 51 ]} y las observaciones posteriores han proporcionado restricciones sobre la masa máxima de los gravitones, si es que tienen masa. Tras el evento GW170104 , se descubrió que la longitud de onda Compton del gravitón era al menos1,6 × 10 ¹⁶  m , o aproximadamente 1,6 años luz , lo que corresponde a una masa de gravitón de no más de7,7 × 10 ⁻²³  eV/ c ² . ^{[ 16 ]} Esta relación entre longitud de onda y energía se calcula con la misma fórmula (la relación de Planck-Einstein ) que relaciona la longitud de onda electromagnética con la energía del fotón . Sin embargo, los fotones , que solo tienen energía y no masa, son fundamentalmente diferentes de los gravitones masivos en este aspecto, ya que la longitud de onda Compton del gravitón no es igual a la longitud de onda gravitacional. En cambio, la longitud de onda Compton del gravitón de límite inferior es aproximadamente9 × 10⁹ ^veces mayor que la longitud de onda gravitacional del evento GW170104, que fue de aproximadamente 1700  km. Esto se debe a que la longitud de onda de Compton está definida por la masa en reposo del gravitón y es una magnitud escalar invariante.

• Expansión acelerada del universo : fenómeno cosmológico. 
• Alternativas a la relatividad general : teorías propuestas sobre la gravedad. 
• La teoría de Horndeski
• Gravedad bimétrica : teorías propuestas sobre la gravedad. 
• Modelo DGP – Modelo propuesto de gravedad 
• Teoría escalar-tensorial : teoría en física donde tanto escalares como tensores describen una fuerza o interacción. 
• Gravitón dual

Artículos de revisión

• de Rham, Claudia (2014), "Gravedad masiva", Living Reviews in Relativity , 17 (1) 7, arXiv : 1401.4173 , Bibcode : 2014LRR....17....7D , doi : 10.12942/lrr-2014-7 , PMC 5256007 , PMID 28179850  
• Hinterbichler, Kurt (2012), "Aspectos teóricos de la gravedad masiva", Reviews of Modern Physics , 84 (2): 671–710 , arXiv : 1105.3735 , Bibcode : 2012RvMP...84..671H , doi : 10.1103/RevModPhys.84.671 , S2CID 119279950