Operador de Markov

En teoría de probabilidad y teoría ergódica , un operador de Markov es un operador en un cierto espacio de funciones que conserva la masa (la llamada propiedad de Markov). Si el espacio medible subyacente es topológicamente lo suficientemente rico, entonces el operador de Markov admite una representación de kernel . Los operadores de Markov pueden ser lineales o no lineales. Estrechamente relacionado con los operadores de Markov está el semigrupo de Markov . ^[1]

La definición de los operadores de Markov no es del todo uniforme en la literatura. Los operadores de Markov reciben su nombre del matemático ruso Andrey Markov .

Sea un espacio medible y un conjunto de funciones reales mesurables . ${\displaystyle (E,{\mathcal {F}})}$${\estilo de visualización V}$${\displaystyle f:(E,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$

Un operador lineal en es un operador de Markov si lo siguiente es verdadero ^{[1] : 9–12}${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización V}$

1. ${\estilo de visualización P}$mapas de funciones acotadas y mensurables sobre funciones acotadas y mensurables.
2. Sea la función constante , entonces se cumple. ( conservación de masa / propiedad de Markov )${\displaystyle \mathbf {1}}$${\displaystyle x\mapsto 1}$${\displaystyle P(\mathbf {1} )=\mathbf {1} }$
3. Si entonces . ( conservación de la positividad )${\displaystyle f\geq 0}$${\displaystyle Pf\geq 0}$

Algunos autores definen los operadores en los espacios L ^p como y reemplazan la primera condición (funciones acotadas y mensurables en tales) con la propiedad ^{[2] [3]}${\displaystyle P:L^{p}(X)\to L^{p}(Y)}$

${\displaystyle \|Pf\|_{Y}=\|f\|_{X},\quad \para todo f\en L^{p}(X)}$

Sea una familia de operadores de Markov definidos en el conjunto de funciones acotadas y medibles en . Entonces es un semigrupo de Markov cuando se cumple lo siguiente ^{[1] : 12}${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{P_{t}\}_{t\geq 0}}$${\displaystyle (E,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

1. ${\displaystyle P_{0}=\nombre del operador {Id} }$.
2. ${\displaystyle P_{t+s}=P_{t}\circ P_{s}}$Para todos .${\displaystyle t,s\geq 0}$
3. Existe una medida σ-finita en que es invariante bajo , es decir, para todas las funciones acotadas, positivas y mensurables y cada una de las siguientes se cumple${\estilo de visualización \mu}$${\displaystyle (E,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle f:E\to \mathbb {R}}$${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle \int _{E}P_{t}f\mathrm {d} \mu =\int _{E}f\mathrm {d} \mu }$.

Cada semigrupo de Markov induce un semigrupo dual a través de ${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{P_{t}\}_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle (P_{t}^{*})_{t\geq 0}}$

${\displaystyle \int _{E}P_{t}f\mathrm {d\mu } =\int _{E}f\mathrm {d} \left(P_{t}^{*}\mu \right).}$

Si es invariante bajo entonces . ${\estilo de visualización \mu}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle P_{t}^{*}\mu =\mu }$

Sea una familia de operadores de Markov lineales y acotados en el espacio de Hilbert , donde es una medida invariante. El generador infinitesimal del semigrupo de Markov se define como ${\displaystyle \{P_{t}\}_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle L^{2}(\mu )}$${\estilo de visualización \mu}$ ${\estilo de visualización L}$${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{P_{t}\}_{t\geq 0}}$

${\displaystyle Lf=\lim \limits _{t\downarrow 0}{\frac {P_{t}ff}{t}},}$

y el dominio es el espacio de todas esas funciones donde este límite existe y está en . ^{[1] : 18  [4]}${\estilo de visualización D(L)}$${\displaystyle L^{2}(\mu )}$${\displaystyle L^{2}(\mu )}$

${\displaystyle D(L)=\left\{f\in L^{2}(\mu ):\lim \limits _{t\downarrow 0}{\frac {P_{t}ff}{t}}{\text{ existe y está en }}L^{2}(\mu )\right\}.}$

El operador carré du champ mide qué tan lejos está de ser una derivación . ${\estilo de visualización \Gamma}$${\estilo de visualización L}$

Un operador de Markov tiene una representación de kernel $Estilo de visualización P_{t}$

${\displaystyle (P_{t}f)(x)=\int _{E}f(y)p_{t}(x,\mathrm {d} y),\quad x\in E,}$

con respecto a algún núcleo de probabilidad , si el espacio medible subyacente tiene las siguientes propiedades topológicas suficientes: $estilo de visualización p_{t}(x,A)}$${\displaystyle (E,{\mathcal {F}})}$

1. Cada medida de probabilidad se puede descomponer como , donde es la proyección sobre el primer componente y es un núcleo de probabilidad.${\displaystyle \mu :{\mathcal {F}}\times {\mathcal {F}}\to [0,1]}$${\displaystyle \mu (\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)=k(x,\mathrm {d} y)\mu _{1}(\mathrm {d} x)}$$estilo de visualización {\mu _{1}}$${\displaystyle k(x,\mathrm {d} y)}$
2. Existe una familia contable que genera la σ-álgebra .${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Si ahora se define una medida σ-finita en entonces es posible demostrar que cualquier operador de Markov admite tal representación de núcleo con respecto a . ^{[1] : 7–13}${\displaystyle (E,{\mathcal {F}})}$${\estilo de visualización P}$${\displaystyle k(x,\mathrm {d} y)}$

• Bakry, Dominique; Gentil, Ivan; Ledoux, Michel. Análisis y geometría de operadores de difusión de Markov . Springer Cham. doi :10.1007/978-3-319-00227-9.
• Eisner, Tanja; Farkas, Bálint; Haase, Markus; Nagel, Rainer (2015). "Operadores de Markov". Aspectos teóricos de operadores de la teoría ergódica . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 2727. Cham: Springer. doi :10.1007/978-3-319-16898-2.
• Wang, Fengyu (2006). Desigualdades funcionales, semigrupos de Markov y teoría espectral . Ucrania: Elsevier Science.