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Distribución marginal

En teoría de la probabilidad y estadística , la distribución marginal de un subconjunto de un conjunto de variables aleatorias es la distribución de probabilidad de las variable...

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En teoría de la probabilidad y estadística , la distribución marginal de un subconjunto de un conjunto de variables aleatorias es la distribución de probabilidad de las variables contenidas en dicho subconjunto. Proporciona las probabilidades de los distintos valores de las variables del subconjunto sin tener en cuenta los valores de las demás variables. Esto contrasta con una distribución condicional , que proporciona probabilidades supeditadas a los valores de las demás variables.

Las variables marginales son aquellas variables del subconjunto de variables que se conservan. Estos conceptos son "marginales" porque se pueden encontrar sumando valores en una tabla a lo largo de filas o columnas y escribiendo la suma en los márgenes de la tabla. [ 1 ] La distribución de las variables marginales (la distribución marginal) se obtiene marginalizando (es decir, centrándose en las sumas en el margen) sobre la distribución de las variables que se descartan, y se dice que las variables descartadas han sido marginalizadas .

El contexto aquí es que los estudios teóricos que se están llevando a cabo, o el análisis de datos que se está realizando, involucran un conjunto más amplio de variables aleatorias, pero la atención se limita a un número reducido de esas variables. En muchas aplicaciones, un análisis puede comenzar con un conjunto dado de variables aleatorias, luego extender el conjunto definiendo nuevas variables (como la suma de las variables aleatorias originales) y finalmente reducir el número al centrarse en la distribución marginal de un subconjunto (como la suma). Se pueden realizar varios análisis diferentes, cada uno tratando un subconjunto distinto de variables como distribución marginal.

Definición

Función de masa de probabilidad marginal

Dada una distribución conjunta conocida de dos variables aleatorias discretas , por ejemplo X e Y , la distribución marginal de cualquiera de ellas ( X , por ejemplo) es la distribución de probabilidad de X cuando no se consideran los valores de Y. Esto se puede calcular sumando la distribución de probabilidad conjunta para todos los valores de Y. Naturalmente, lo contrario también es cierto: la distribución marginal de Y se puede obtener sumando para cada uno de los valores de X.

pagincógnita(incógnitai)=∑jpag(incógnitai,yj),ypagY(yj)=∑ipag(incógnitai,yj){\displaystyle p_{X}(x_{i})=\sum _{j}p(x_{i},y_{j}),\quad {\text{y}}\quad p_{Y}(y_{j})=\sum _{i}p(x_{i},y_{j})}

Una probabilidad marginal siempre se puede escribir como un valor esperado : pagincógnita(incógnita)=∫ypagincógnita∣Y(incógnita∣y)pagY(y)dy=miY⁡[pagincógnita∣Y(incógnita∣Y)].{\displaystyle p_{X}(x)=\int _{y}p_{X\mid Y}(x\mid y)\,p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y=\operatorname {E} _{Y}[p_{X\mid Y}(x\mid Y)]\;.}

Intuitivamente, la probabilidad marginal de X se calcula examinando la probabilidad condicional de X dado un valor particular de Y , y luego promediando esta probabilidad condicional sobre la distribución de todos los valores de Y.

Esto se desprende de la definición de valor esperado (después de aplicar la ley del estadístico inconsciente ). miY⁡[F(Y)]=∫yF(y)pagY(y)dy.{\displaystyle \operatorname {E} _{Y}[f(Y)]=\int _{y}f(y)p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y.}

Por lo tanto, la marginalización proporciona la regla para la transformación de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria Y y otra variable aleatoria X = g ( Y ) : pagincógnita(incógnita)=∫ypagincógnita∣Y(incógnita∣y)pagY(y)dy=∫yδ(incógnita−gramo(y))pagY(y)dy.{\displaystyle p_{X}(x)=\int _{y}p_{X\mid Y}(x\mid y)\,p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y=\int _{y}\delta {\big (}xg(y){\big )}\,p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y.}

Función de densidad de probabilidad marginal

Dadas dos variables aleatorias continuas X e Y cuya distribución conjunta es conocida, entonces la función de densidad de probabilidad marginal se puede obtener integrando la densidad de probabilidad conjunta , f , sobre Y, y viceversa. Es decir,

Fincógnita(incógnita)=∫dodF(incógnita,y)dyFY(y)=∫abF(incógnita,y)dincógnita{\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x)=\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\\f_{Y}(y)=\int _{a}^{b}f(x,y)\,dx\end{aligned}}}

dóndeincógnita∈[a,b]{\displaystyle x\in [a,b]}, yy∈[do,d]{\displaystyle y\in [c,d]}.

Función de distribución acumulativa marginal

Encontrar la función de distribución acumulativa marginal a partir de la función de distribución acumulativa conjunta es fácil. Recordemos que:

  • Para variables aleatorias discretas ,F(incógnita,y)=PAG(incógnita≤incógnita,Y≤y){\displaystyle F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)}
  • Para variables aleatorias continuas ,F(incógnita,y)=∫aincógnita∫doyF(incógnita′,y′)dy′dincógnita′{\displaystyle F(x,y)=\int _{a}^{x}\int _{c}^{y}f(x',y')\,dy'dx'}

Si X e Y toman conjuntamente valores en [ a , b ] × [ c , d ] entonces

Fincógnita(incógnita)=F(incógnita,d)yFY(y)=F(b,y){\displaystyle F_{X}(x)=F(x,d)\quad {\text{y}}\quad F_{Y}(y)=F(b,y)}

Si d es infinito, entonces esto se convierte en un límite.Fincógnita(incógnita)=límitey→∞F(incógnita,y){\textstyle F_{X}(x)=\lim _{y\to \infty }F(x,y)}. Igualmente paraFY(y){\displaystyle F_{Y}(y)}.

Distribución marginal frente a distribución condicional

Definición

La probabilidad marginal es la probabilidad de que ocurra un único evento, independientemente de otros eventos. Por otro lado, la probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento dado que otro evento específico ya ha ocurrido. Esto significa que el cálculo de una variable depende de otra variable. [ 2 ]

La distribución condicional de una variable dada otra variable es la distribución conjunta de ambas variables dividida por la distribución marginal de la otra variable. [ 3 ] Es decir,

  • Para variables aleatorias discretas ,pagY|incógnita(y|incógnita)=PAG(Y=y∣incógnita=incógnita)=PAG(incógnita=incógnita,Y=y)PAGincógnita(incógnita){\displaystyle p_{Y|X}(y|x)=P(Y=y\mid X=x)={\frac {P(X=x,Y=y)}{P_{X}(x)}}}
  • Para variables aleatorias continuas ,FY|incógnita(y|incógnita)=Fincógnita,Y(incógnita,y)Fincógnita(incógnita){\displaystyle f_{Y|X}(y|x)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)}}}

Ejemplo

Supongamos que hay datos de un aula de 200 estudiantes sobre la cantidad de tiempo estudiado ( X ) y el porcentaje de respuestas correctas ( Y ). [ 4 ] Suponiendo que X e Y son variables aleatorias discretas, la distribución conjunta de X e Y se puede describir enumerando todos los valores posibles de p ( xi , yj ) , como se muestra en la Tabla 3 .

La distribución marginal se puede utilizar para determinar cuántos estudiantes obtuvieron una puntuación de 20 o menos:pagY(y1)=PAGY(Y=y1)=∑i=14PAG(incógnitai,y1)=2200+8200=10200{\displaystyle p_{Y}(y_{1})=P_{Y}(Y=y_{1})=\sum _{i=1}^{4}P(x_{i},y_{1})={\frac {2}{200}}+{\frac {8}{200}}={\frac {10}{200}}}, lo que significa 10 estudiantes o el 5%.

La distribución condicional se puede utilizar para determinar la probabilidad de que un estudiante que estudió 60 minutos o más obtenga una puntuación de 20 o menos:pagY|incógnita(y1|incógnita4)=PAG(Y=y1|incógnita=incógnita4)=PAG(incógnita=incógnita4,Y=y1)PAG(incógnita=incógnita4)=8/20070/200=870=435{\displaystyle p_{Y|X}(y_{1}|x_{4})=P(Y=y_{1}|X=x_{4})={\frac {P(X=x_{4},Y=y_{1})}{P(X=x_{4})}}={\frac {8/200}{70/200}}={\frac {8}{70}}={\frac {4}{35}}}, lo que significa que hay aproximadamente un 11% de probabilidad de obtener una puntuación no superior a 20 después de haber estudiado durante al menos 60 minutos.

Ejemplo del mundo real

Supongamos que se quiere calcular la probabilidad de que un peatón sea atropellado por un coche al cruzar la calle por un paso de peatones sin prestar atención al semáforo. Sea H una variable aleatoria discreta que toma un valor entre {Atropellado, No  atropellado}. Sea L (para el semáforo) una variable aleatoria discreta que toma un valor entre {Rojo, Amarillo, Verde}.

En realidad, H dependerá de L. Es decir, P(H  = Atropellado) tomará valores diferentes según si L es rojo, amarillo o verde (y lo mismo ocurre con P(H  = No  Atropellado)). Por ejemplo, es mucho más probable que una persona sea atropellada por un coche al intentar cruzar cuando el semáforo para el tráfico perpendicular está en verde que si está en rojo. En otras palabras, para cualquier par de valores posibles de H y L, se debe considerar la distribución de probabilidad conjunta de H y L para hallar la probabilidad de que ese par de eventos ocurran simultáneamente si el peatón ignora el estado del semáforo.

Sin embargo, al intentar calcular la probabilidad marginal P(H  = Impacto), lo que se busca es la probabilidad de que H  = Impacto en la situación en la que se desconoce el valor particular de L y en la que el peatón ignora el estado del semáforo. En general, un peatón puede ser atropellado si el semáforo está en rojo, amarillo o verde. Por lo tanto, la respuesta para la probabilidad marginal se puede encontrar sumando P(H  |  L) para todos los valores posibles de L, ponderando cada valor de L según su probabilidad de ocurrencia.

Aquí se muestra una tabla con las probabilidades condicionales de ser alcanzado, según el estado de las luces. (Tenga en cuenta que la suma de las columnas de esta tabla debe ser igual a 1, ya que la probabilidad de ser alcanzado o no es igual a 1 independientemente del estado de la luz).

Para hallar la distribución de probabilidad conjunta, se necesitan más datos. Por ejemplo, supongamos que P(L  =  rojo)  = 0,2, P(L  =  amarillo)  = 0,1 y P(L  =  verde)  = 0,7. Al multiplicar cada columna de la distribución condicional por la probabilidad de que ocurra dicha columna, se obtiene la distribución de probabilidad conjunta de H y L, que se muestra en el bloque central de 2×3 entradas. (Tenga en cuenta que la suma de las celdas de este bloque de 2×3 es igual a  1).

La probabilidad marginal P(H  = Impacto) es la suma de 0,572 a lo largo de la  fila H = Impacto de esta tabla de distribución conjunta, ya que esta es la probabilidad de ser impactado cuando las luces son rojas, amarillas o verdes. De manera similar, la probabilidad marginal P(H  = No  Impacto) es la suma a lo largo de la fila H  = No  Impacto.

Distribuciones multivariadas

Numerosas muestras de una distribución normal bivariada. Las distribuciones marginales se muestran en rojo y azul. La distribución marginal de X también se aproxima mediante la creación de un histograma de las coordenadas X sin considerar las coordenadas Y.

Para distribuciones multivariadas , se aplican fórmulas similares a las anteriores, donde los símbolos X y /o Y se interpretan como vectores. En particular, cada suma o integración se realizaría sobre todas las variables excepto aquellas contenidas en X. [ 5 ]

Eso significa que, si X 1 , X 2 ,…, X n son variables aleatorias discretas , entonces la función de probabilidad marginal debe ser pagincógnitai(k)=∑pag(incógnita1,incógnita2,…,incógnitai−1,k,incógnitai+1,…,incógnitanorte);{\displaystyle p_{X_{i}}(k)=\sum p(x_{1},x_{2},\dots ,x_{i-1},k,x_{i+1},\dots ,x_{n});} Si X 1 , X 2 ,…, X n son variables aleatorias continuas , entonces la función de densidad de probabilidad marginal debe ser Fincógnitai(incógnitai)=∫−∞∞∫−∞∞∫−∞∞⋯∫−∞∞F(incógnita1,incógnita2,…,incógnitanorte)dincógnita1dincógnita2⋯dincógnitai−1dincógnitai+1⋯dincógnitanorte.{\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{i-1}dx_{i+1}\cdots dx_{n}.}

Véase también

Referencias

  1. ↑ Trumpler, Robert J. y Weaver, Harold F. (1962). Astronomía estadística . Dover Publications. págs. 32–33 . 
  2. ↑ "Distribuciones de probabilidad marginales y condicionales: definición y ejemplos" . Study.com . Consultado el 16 de noviembre de 2019 .
  3. ↑ "Examen P [ Matemáticas de FSU ] " . www.math.fsu.edu . Consultado el 16 de noviembre de 2019 .
  4. ↑ Distribuciones marginales y condicionales , consultado el 16 de noviembre de 2019
  5. ↑ Introducción moderna a la probabilidad y la estadística : comprender el porqué y el cómo . Dekking, Michel, 1946-. Londres: Springer. 2005. ISBN  9781852338961OCLC 262680588​​ {{cite book}}: CS1 mantenimiento: otros ( enlace )

Bibliografía

  • Everitt, BS; Skrondal, A. (2010). Diccionario de estadística de Cambridge . Cambridge University Press .
  • Dekking, FM; Kraaikamp, ​​C.; Lopuhaä, HP; Meester, LE (2005). Una introducción moderna a la probabilidad y la estadística . Londres  : Springer. ISBN 9781852338961.{{cite book}}: CS1 mantenimiento: ubicación del editor ( enlace )
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