Volumen de Mahler

En geometría convexa , el volumen de Mahler de un cuerpo convexo con simetría central es una magnitud adimensional asociada al cuerpo e invariante bajo transformaciones lineales . Recibe su nombre del matemático germano-inglés Kurt Mahler . Se sabe que las figuras con el mayor volumen de Mahler posible son las esferas y los elipsoides sólidos ; esto se conoce como la desigualdad de Blaschke-Santaló . La conjetura de Mahler, aún sin resolver, afirma que el volumen mínimo de Mahler posible se alcanza con un hipercubo .

Un cuerpo convexo en el espacio euclidiano se define como un conjunto convexo compacto con interior no vacío . Si${\displaystyle B}$es un cuerpo convexo con simetría central en${\displaystyle n}$espacio euclidiano de -dimensiones, el cuerpo polar${\displaystyle B^{\circ }}$es otro cuerpo con simetría central en el mismo espacio, definido como el conjunto $${\displaystyle \left\{x\mid x\cdot y\leq 1{\text{ para todo }}y\in B\right\}.}$$ El volumen de Mahler de${\displaystyle B}$es el producto de los volúmenes de${\displaystyle B}$y${\displaystyle B^{\circ }}$. ^{[ 1 ]}

Si${\displaystyle T}$es una transformación lineal invertible , entonces${\displaystyle (TB)^{\circ }=(T^{-1})^{\ast }B^{\circ }}$. Aplicar${\displaystyle T}$a${\displaystyle B}$multiplica su volumen por${\displaystyle \det T}$y multiplica el volumen de${\displaystyle B^{\circ }}$por${\displaystyle \det(T^{-1})^{\ast }}$Como estos determinantes son inversos multiplicativos , el volumen total de Mahler de${\displaystyle B}$se conserva mediante transformaciones lineales.

El cuerpo polar de un${\displaystyle n}$La bola unitaria de dimensión - es en sí misma otra bola unitaria. Por lo tanto, su volumen de Mahler es simplemente el cuadrado de su volumen,

${\displaystyle {\frac {\Gamma (3/2)^{2n}4^{n}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)^{2}}}}$

dónde${\displaystyle \Gamma }$es la función Gamma . Por invariancia afín, cualquier elipsoide sólido tiene el mismo volumen de Mahler. ^{[ 1 ]}

El cuerpo polar de un poliedro o politopo es su poliedro dual o politopo dual . En particular, el cuerpo polar de un cubo o hipercubo es un octaedro o politopo cruz . Su volumen de Mahler se puede calcular como ^{[ 1 ].}

${\displaystyle {\frac {4^{n}}{\Gamma (n+1)}}.}$

El volumen de Mahler de la bola es mayor que el volumen de Mahler del hipercubo por un factor de aproximadamente${\displaystyle \left({\tfrac {\pi }{2}}\right)^{n}}$. ^{[ 1 ]}

La desigualdad de Blaschke-Santaló establece que las figuras con máximo volumen de Mahler son las esferas y los elipsoides sólidos. Wilhelm Blaschke demostró el caso tridimensional de este resultado ( 1917 ) ; Luis Santaló demostró el resultado completo mucho más tarde ( 1949 ) utilizando una técnica conocida como simetrización de Steiner, mediante la cual cualquier cuerpo convexo con simetría central puede ser reemplazado por un cuerpo más parecido a una esfera sin disminuir su volumen de Mahler. ^{[ 1 ]}  

Las formas con el volumen de Mahler mínimo conocido son los hipercubos , los politopos cruzados y, más generalmente, los politopos de Hanner , que incluyen estos dos tipos de formas, así como sus transformaciones afines. La conjetura de Mahler afirma que el volumen de Mahler de estas formas es el más pequeño de cualquier cuerpo convexo simétrico n- dimensional; permanece sin resolver cuando${\displaystyle n\geq 4}$. Como escribe Terry Tao : ^{[ 1 ]}

La principal razón por la que esta conjetura es tan difícil es que, a diferencia del límite superior , en el que esencialmente solo hay un extremizador salvo transformaciones afines (a saber, la bola), existen muchos extremizadores distintos para el límite inferior: no solo el cubo y el octaedro, sino también productos de cubos y octaedros, cuerpos polares de productos de cubos y octaedros, productos de cuerpos polares de… bueno, ya se entiende la idea. Es realmente difícil concebir cualquier tipo de flujo o procedimiento de optimización que converja exactamente a estos cuerpos y a ningún otro; podría ser necesario un tipo de argumento radicalmente diferente.

Bourgain y Milman (1987) demostraron que el volumen de Mahler está limitado inferiormente por${\displaystyle c^{n}}$veces el volumen de una esfera para alguna constante absoluta${\displaystyle c>0}$, que coincide con el comportamiento de escala del volumen del hipercubo pero con una constante menor. Kuperberg (2008) demostró que, más concretamente, se puede tomar${\displaystyle c={\tfrac {1}{2}}}$en este límite. Un resultado de este tipo se conoce como desigualdad de Santaló inversa .

• El caso bidimensional de la conjetura de Mahler fue resuelto por Mahler ^{[ 2 ]} y el caso tridimensional por Iriyeh y Shibata. ^{[ 3 ]}
• Se sabe que cada uno de los politopos de Hanner es un minimizador local estricto para el volumen de Mahler en la clase de cuerpos convexos simétricos respecto al origen dotados de la distancia de Banach-Mazur . Esto fue demostrado por primera vez por Nazarov, Petrov, Ryabogin y Zvavitch para el cubo unitario, ^{[ 4 ]} y posteriormente generalizado a todos los politopos de Hanner por Jaegil Kim. ^{[ 5 ]}
• La conjetura de Mahler se cumple para los zonotopos . ^{[ 6 ]}
• La conjetura de Mahler se cumple en la clase de cuerpos incondicionales , es decir, cuerpos convexos invariantes bajo reflexión en cada hiperplano de coordenadas { x _i = 0}. Saint-Raymond la demostró por primera vez en 1980. ^{[ 7 ]} Posteriormente, Meyer halló una demostración mucho más breve. ^{[ 8 ]} Esta se generalizó aún más a cuerpos convexos con grupos de simetría que son grupos de reflexión más generales . Los minimizadores no son necesariamente politopos de Hanner, sino que se encontró que eran politopos regulares correspondientes a los grupos de reflexión. ^{[ 9 ]}
• Reisner et al. (2010) demostraron que un minimizador del volumen de Mahler debe tener una curvatura gaussiana igual a cero casi en todas partes de su frontera, lo que sugiere fuertemente que un cuerpo mínimo es un politopo. ^{[ 10 ]}

El volumen de Mahler se puede definir de la misma manera, como el producto del volumen y el volumen polar, para cuerpos convexos cuyo interior contiene el origen independientemente de la simetría. Mahler conjeturó que, para esta generalización, el volumen mínimo se obtiene mediante un simplex con su centroide en el origen. Al igual que con la conjetura simétrica de Mahler, se conocen desigualdades de Santaló inversas que demuestran que el volumen mínimo se encuentra al menos dentro de un factor exponencial del simplex. ^{[ 11 ]}

• Blaschke, Wilhelm (1917). "Uber affine Geometrie VII: Neue Extremeingenschaften von Ellipse und Ellipsoid". Ber. Verh. Sächs. Akád. Wiss. Leipzig Matemáticas-Física. kl. (en alemán). 69 . Leipzig: 412–420 .
• Bourgain, Jean ; Milman, Vitali D. (1987). "Nuevas propiedades de relación de volumen para cuerpos simétricos convexos en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$". Inventiones Mathematicae . 88 (2): 319– 340. Bibcode : 1987InMat..88..319B . doi : 10.1007/BF01388911 . SEÑOR 0880954 . 
• Kuperberg, Greg (2008). "De la conjetura de Mahler a las integrales de enlace de Gauss". Análisis geométrico y funcional . 18 (3): 870– 892. arXiv : math/0610904 . doi : 10.1007/s00039-008-0669-4 . MR 2438998 . 
• Nazarov, Fedor; Petrov, Fedor; Ryabogin, Dmitry; Zvavitch, Artem (2010). "Una observación sobre la conjetura de Mahler: minimalidad local del cubo unitario". Duke Mathematical Journal . 154 (3): 419– 430. arXiv : 0905.0867 . doi : 10.1215/00127094-2010-042 . MR 2730574 . 
• Santaló, Luis A. (1949). "Una invariante afín para cuerpos convexos de${\displaystyle n}$-espacio dimensional". Portugaliae Mathematica (en español). 8 : 155– 161. MR 0039293 . 
• Tao, Terence (8 de marzo de 2007). "Cuestión abierta: la conjetura de Mahler sobre cuerpos convexos" .Revisado y reimpreso en Tao, Terence (2009). «3.8 La conjetura de Mahler para cuerpos convexos». Estructura y aleatoriedad: Páginas del primer año de un blog matemático . Sociedad Matemática Americana . págs. 216-219 . ISBN  978-0-8218-4695-7.