difusión magnética

La difusión magnética se refiere al movimiento de campos magnéticos , generalmente en presencia de un sólido o fluido conductor, como un plasma . El movimiento de los campos magnéticos se describe mediante la ecuación de difusión magnética y se debe principalmente a la inducción y difusión de campos magnéticos a través del material. La ecuación de difusión magnética es una ecuación diferencial parcial de uso común en física. Comprender este fenómeno es fundamental para la magnetohidrodinámica y tiene importantes consecuencias en astrofísica, geofísica e ingeniería eléctrica.

La ecuación de difusión magnética (también conocida como ecuación de inducción ) es $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)+{\frac {1}{\mu _ {0}\sigma }}\nabla ^{2}\mathbf {B} }$$ dónde${\displaystyle \mu _{0}}$es la permeabilidad del espacio libre y${\displaystyle \sigma }$es la conductividad eléctrica del material, que se supone constante.${\displaystyle \mathbf {v} }$denota la velocidad (no relativista) del plasma. El primer término del lado derecho tiene en cuenta los efectos de la inducción del plasma, mientras que el segundo tiene en cuenta la difusión . Este último actúa como un término de disipación, lo que resulta en una pérdida de energía del campo magnético en forma de calor. La importancia relativa de los dos términos se caracteriza por el número de Reynolds magnético ,${\displaystyle R_{m}}$.

En el caso de una conductividad no uniforme, la ecuación de difusión magnética es: $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)-{\frac {1}{\mu _ {0}}}\nabla \times \left({\frac {1}{\sigma }}\nabla \times \mathbf {B} \right)}$$ Sin embargo, se vuelve mucho más difícil de resolver.

Partiendo de la ley de Ohm generalizada : ^{[ 1 ] [ 2 ]}$${\displaystyle \mathbf {J} =\sigma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$$ y las ecuaciones de rotacional para corrientes de pequeño desplazamiento (es decir, bajas frecuencias) $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\mathbf {J} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\approx \mu _{0}\mathbf {J} \\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\end{aligned}}}$$ sustituto${\displaystyle \mathbf {J} }$en la ley de Ampere-Maxwell para obtener $${\displaystyle {\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla \times \mathbf {B} =\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \quad \Rightarrow \quad \mathbf {E} ={\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla \times \mathbf {B} -\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$ Tomando el rotacional de la ecuación anterior y sustituyéndolo en la ley de Faraday, $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =\nabla \times \left({\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla \times \mathbf {B} -\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$$ Esta expresión se puede simplificar aún más escribiéndola en términos del i -ésimo componente de${\displaystyle \mathbf {B} }$y el tensor de Levi-Civita${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {\partial B_{i}}{\partial t}}&=\varepsilon _{ijk}\partial _{j}\left({\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\varepsilon _{klm}\partial _{l}B_{m}-\varepsilon _{klm}v_{l}B_{m}\right)\\&=\varepsilon _{kij}\varepsilon _{klm}\left({\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\partial _{j}\partial _{l}B_{m}-\left(v_{l}\partial _{j}B_{m}+B_{m}\partial _{j}v_{l}\right)\right)\end{aligned}}}$$ Utilizando la identidad ^{[ 3 ]}${\displaystyle \varepsilon _{kij}\varepsilon _{klm}=\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl}}$y recordando${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {B} =\partial _{j}B_{j}=0}$, los productos cruzados pueden eliminarse: $${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {\partial B_{i}}{\partial t}}&={\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\left(\partial _{i}\partial _{j}B_{j}-\partial _{j}\partial _{j}B_{i}\right)-\left(v_{i}\partial _{j}B_{j}-v_{j}\partial _{j}B_{i}\right)-\left(B_{j}\partial _{j}v_{i}-B_{i}\partial _{j}v_{j}\right)\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\partial _{j}\partial _{j}B_{i}+v_{j}\partial _{j}B_{i}-\left(B_{j}\partial _{j}v_{i}-B_{i}\partial _{j}v_{j}\right)\end{aligned}}}$$ Escrita en forma vectorial, la expresión final es $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} &=\left(\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {v} -\mathbf {B} \left(\nabla \cdot \mathbf {v} \right)+{\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla ^{2}\mathbf {B} \\[1ex]\longrightarrow \quad {\frac {D\mathbf {B} }{Dt}}&=\left(\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {v} -\mathbf {B} \left(\nabla \cdot \mathbf {v} \right)+{\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla ^{2}\mathbf {B} \end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla }$es la derivada material . Esto se puede reorganizar en una forma más útil utilizando identidades de cálculo vectorial y${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$: $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {B} )+{\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla ^{2}\mathbf {B} }$$ En el caso${\displaystyle \mathbf {v} =0}$, esto se convierte en una ecuación de difusión para el campo magnético, $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla ^{2}\mathbf {B} =\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} }$$ dónde${\displaystyle \eta ={\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}}$es la difusividad magnética .

En algunos casos es posible despreciar uno de los términos de la ecuación de difusión magnética. Esto se logra estimando el número de Reynolds magnético. $${\displaystyle R_{m}={\frac {vL}{\eta }}}$$ dónde${\displaystyle \eta }$es la difusividad,${\displaystyle v}$es la magnitud de la velocidad del plasma y${\displaystyle L}$es una longitud característica del plasma.

Para el límite${\displaystyle R_{m}\gg 1}$Las líneas del campo magnético quedan " congeladas " al movimiento del fluido conductor. Un ejemplo sencillo que ilustra este comportamiento es un flujo de cizallamiento que varía sinusoidalmente. $${\displaystyle \mathbf {v} =v_{0}\sin(ky){\hat {\mathbf {x} }}}$$ con un campo magnético inicial uniforme${\displaystyle \mathbf {B} \left(\mathbf {r} ,0\right)=B_{0}{\hat {\mathbf {y} }}}$. La ecuación para este límite,${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$, tiene la solución ^{[ 4 ]}$${\displaystyle \mathbf {B} \left(\mathbf {r} ,t\right)=B_{0}\left(kv_{0}t\cos(ky){\hat {\mathbf {x} }}+{\hat {\mathbf {y} }}\right)}$$ Como puede observarse en la figura de la derecha, el fluido arrastra las líneas del campo magnético de manera que adquieren el carácter sinusoidal del campo de flujo.

Para el límite${\displaystyle R_{m}\ll 1}$la ecuación de difusión magnética${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla ^{2}\mathbf {B} }$es simplemente una forma vectorial de la ecuación del calor . Para un campo magnético inicial localizado (por ejemplo, una distribución gaussiana) dentro de un material conductor, los máximos y mínimos decaerán asintóticamente a un valor consistente con la ecuación de Laplace para las condiciones de contorno dadas.

Para conductores estacionarios${\displaystyle (R_{m}=0)}$Con geometrías simples, se puede derivar una constante de tiempo denominada tiempo de difusión magnética. ^{[ 5 ]} Se aplican diferentes ecuaciones unidimensionales para placas y cilindros conductores con permeabilidad magnética constante. Asimismo, se pueden derivar diferentes ecuaciones de tiempo de difusión para materiales saturables no lineales como el acero.