Ecuación de inducción

En magnetohidrodinámica , la ecuación de inducción es una ecuación diferencial parcial que relaciona el campo magnético y la velocidad de un fluido conductor de electricidad, como el plasma . Puede derivarse de las ecuaciones de Maxwell y de la ley de Ohm , y desempeña un papel importante en la física del plasma y la astrofísica , especialmente en la teoría del dinamo .

Las ecuaciones de Maxwell que describen las leyes de Faraday y Ampere se leen: y donde: $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\partial \mathbf {B} \sobre \partial t},}$$$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _ {0}\mathbf {J},}$$

• ${\displaystyle \mathbf {E}}$es el campo eléctrico.
• ${\displaystyle \mathbf {B}}$es el campo magnético.
• ${\displaystyle \mu_{0}}$es la permeabilidad al vacío .
• ${\displaystyle \mathbf {J}}$es la densidad de corriente eléctrica.

La corriente de desplazamiento puede despreciarse en un plasma, ya que es insignificante en comparación con la corriente transportada por las cargas libres. La única excepción a esto son los fenómenos de frecuencia excepcionalmente alta: por ejemplo, para un plasma con una conductividad eléctrica típica de 10 ⁷  mho /m, la corriente de desplazamiento es menor que la corriente libre en un factor de 10 ³ para frecuencias inferiores a 2 × 10^14Hz  .

El campo eléctrico se puede relacionar con la densidad de corriente utilizando la ley de Ohm : donde $${\displaystyle \mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} =\mathbf {J} /\sigma }$$

• ${\displaystyle \mathbf {v}}$es el campo de velocidad .
• ${\estilo de visualización \sigma}$es la conductividad eléctrica del fluido.

Combinando estas tres ecuaciones, eliminando y , se obtiene la ecuación de inducción para un fluido eléctricamente resistivo : ${\displaystyle \mathbf {E}}$${\displaystyle \mathbf {J}}$$${\displaystyle {\partial \mathbf {B} \sobre \partial t}=\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} +\nabla \veces (\mathbf {v} \veces \mathbf {B} ).}$$

Aquí está la difusividad magnética (en la literatura, la resistividad eléctrica , definida como , a menudo se identifica con la difusividad magnética). ^[1]${\displaystyle \eta =1/\mu _{0}\sigma }$${\estilo de visualización 1/\sigma}$

Si el fluido se mueve con una velocidad típica y una escala de longitud típica , entonces ${\estilo de visualización V}$${\estilo de visualización L}$$${\displaystyle \eta \nabla ^{2}\mathbf {B} \sim {\eta B \over L^{2}},\nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\ sim {VB \sobre L}.}$$

La relación de estas cantidades, que es un parámetro adimensional, se llama número de Reynolds magnético : $${\displaystyle R_{m}={LV \sobre \eta }.}$$

Para un fluido con conductividad eléctrica infinita , el primer término de la ecuación de inducción se anula. Esto es equivalente a un número de Reynolds magnético muy grande . Por ejemplo, puede ser del orden de 10 ⁹ en una estrella típica. En este caso, el fluido puede denominarse fluido perfecto o ideal. Por lo tanto, la ecuación de inducción para un fluido conductor ideal como la mayoría de los plasmas astrofísicos es ${\displaystyle \eta \to 0}$$${\displaystyle {\parcial \mathbf {B} \sobre \parcial t}=\nabla \veces (\mathbf {v} \veces \mathbf {B} ).}$$

Esto se considera una buena aproximación en la teoría del dinamo , utilizada para explicar la evolución del campo magnético en entornos astrofísicos como estrellas , galaxias y discos de acreción .

En términos más generales, la ecuación para el límite de conducción perfecta se aplica en regiones de gran escala espacial en lugar de en regiones de conductividad eléctrica infinita (es decir, ), ya que esto también hace que el número de Reynolds magnético sea muy grande, de modo que el término de difusión puede despreciarse. Este límite se denomina "MHD ideal" y su teorema más importante es el teorema de Alfvén (también llamado teorema de flujo congelado). ${\displaystyle \eta \to 0}$

Para números de Reynolds magnéticos muy pequeños , el término difusivo supera al término convectivo. Por ejemplo, en un fluido eléctricamente resistivo con grandes valores de , el campo magnético se difunde muy rápido y no se puede aplicar el teorema de Alfvén . Esto significa que la energía magnética se disipa en calor y otros tipos de energía. La ecuación de inducción entonces se lee ${\estilo de visualización \eta}$$${\displaystyle {\partial \mathbf {B} \sobre \partial t}=\eta \nabla ^{2}\mathbf {B} .}$$

Es común definir una escala de tiempo de disipación que es la escala de tiempo para la disipación de energía magnética en una escala de longitud . ${\displaystyle \tau _{d}=L^{2}/\eta }$${\estilo de visualización L}$

• Teorema de Alfvén
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