Hipercubo mágico

En matemáticas , un hipercubo mágico es la generalización k -dimensional de los cuadrados mágicos y los cubos mágicos , es decir, una matriz de enteros de n × n × n × ... × n tal que las sumas de los números en cada pilar (a lo largo de cualquier eje), así como en las diagonales del espacio principal , son todas iguales. La suma común se llama constante mágica del hipercubo y a veces se denota como M _k ( n ). Si un hipercubo mágico consta de los números 1, 2, ..., n ^k , entonces tiene un número mágico

M_{k}(n)={\frac {n(n^{k}+1)}{2}}

.

Para k = 4, un hipercubo mágico puede llamarse teseracto mágico , con una secuencia de números mágicos dada por OEIS : A021003 .

La longitud del lado n del hipercubo mágico se llama su orden . JR Hendricks construyó hipercubos mágicos de cuatro, cinco, seis, siete y ocho dimensiones de orden tres .

Marian Trenkler demostró el siguiente teorema: Un hipercubo mágico p -dimensional de orden n existe si y solo si p > 1 y n es distinto de 2 o p = 1. La construcción de un hipercubo mágico se deduce de la demostración.

El lenguaje de programación R incluye un módulo library(magic)que crea hipercubos mágicos de cualquier dimensión con n múltiplo de 4.

Hipercubos mágicos perfectos

Si, además, la suma de los números en cada diagonal de la sección transversal también es igual al número mágico del hipercubo, este se denomina hipercubo mágico perfecto ; de lo contrario, se denomina hipercubo mágico semiperfecto . El número n se conoce como el orden del hipercubo mágico.

Esta definición de "perfecto" asume que se utiliza una de las definiciones más antiguas para cubos mágicos perfectos. El Sistema de Clasificación Universal para Hipercubos (John R. Hendricks) requiere que para cualquier hipercubo de dimensión, todas las líneas posibles sumen correctamente para que el hipercubo se considere mágico perfecto . Debido a la confusión con el término perfecto , nasik es ahora el término preferido para cualquier hipercubo mágico donde todas las líneas posibles suman S. Nasik fue definido de esta manera por C. Planck en 1905. Un hipercubo mágico nasik tiene ⁠ 1 / 2 ⁠ (3 ⁿ − 1) líneas de m números que pasan por cada una de las m ⁿ celdas.

Hipercubos mágicos de Nasik

Un hipercubo mágico de Nasik es un hipercubo mágico con la restricción adicional de que todas las líneas posibles que pasan por cada celda suman correctamente S = ⁠ m ( m ⁿ +1) / 2 ⁠ donde S es la constante mágica, m el orden y n la dimensión del hipercubo.

O, para decirlo de forma más concisa, todos los pan -r -agonales suman correctamente para r = 1... n . Esta definición es la misma que la definición de Hendricks de perfecto , pero diferente de la definición de Boyer/Trump.

El término nasik se aplicaría a todas las dimensiones de hipercubos mágicos en los que el número de caminos (líneas) que suman correctamente a través de cualquier celda del hipercubo es P = ⁠ 3 ⁿ − 1 / 2 ⁠ .

Un cuadrado mágico pandiagonal sería un cuadrado ^deNasik porque 4 líneas mágicas pasan por cada una de sus m² celdas. Esta fue la definición original de Nasik según A.H. Frost. Un ^{cubo mágico}de Nasik tendría 13 líneas mágicas que pasan por cada una de sus m³ celdas. (Este cubo también contiene 9m cuadrados mágicos pandiagonales de orden m ). Un teseracto mágico de Nasik tendría 40 líneas que pasan por cada una de sus m⁴ ^celdas , y así sucesivamente.

Historia

En 1866 y 1878, el reverendo AH Frost acuñó el término Nasik para el tipo de cuadrado mágico que comúnmente llamamos pandiagonal y a menudo perfecto . Luego demostró el concepto con un cubo de orden 7 que ahora clasificamos como pandiagonal y un cubo de orden 8 que clasificamos como pantriagonal . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} En otro artículo de 1878 mostró otro cubo mágico pandiagonal y un cubo donde las 13 m líneas suman correctamente ^{[ 3 ]} es decir, Hendricks perfecto . ^{[ 4 ]} Se refirió a todos estos cubos como nasik en respeto al gran matemático indio DR Kaprekar, originario de Deolali en el distrito de Nasik en Maharashtra , India . En 1905, el Dr. Planck amplió la idea de nasik en su Teoría de Caminos Nasik. En la introducción a su artículo, escribió:

La analogía sugiere que, en las dimensiones superiores, deberíamos emplear el término nasik para referirnos a la existencia de sumatorias mágicas paralelas a cualquier diagonal, y no restringirlo a las diagonales de las secciones paralelas a las caras planas. Este término se utiliza en este sentido más amplio a lo largo del presente artículo.

— C. Planck, MA, MRCS, La teoría de las trayectorias Nasik, 1905 ^{[ 5 ]}

En 1917, el Dr. Planck volvió a escribir sobre este tema.

No es difícil percibir que si llevamos la analogía de Nasik a dimensiones superiores, el número de direcciones mágicas a través de cualquier celda de un k-fold debe ser ½(3 ^k -1).

— WS Andrews, Cuadrados mágicos y cubos, Dover Publ., 1917, página 366 ^{[ 6 ]}

En 1939, B. Rosser y RJ Walker publicaron una serie de artículos sobre cuadrados y cubos mágicos diabólicos (perfectos). Mencionaron específicamente que estos cubos contenían 13 m líneas de suma ^correcta . También tenían 3 m cuadrados mágicos pandiagonales paralelos a las caras del cubo y 6 m cuadrados mágicos pandiagonales paralelos a los planos diagonales del espacio . ^{[ 7 ]}

Notaciones

Para mantener todo bajo control, se desarrolló una notación especial:

$\left[{}_{k}i;\ k\in \{0,\cdots ,n-1\};\ i\in \{0,\cdots ,m-1\}\right]$ : posiciones dentro del hipercubo
$\left\langle {}_{k}i;\ k\in \{0,\cdots ,n-1\};\ i\in \{0,\cdots ,m-1\}\right\rangle$ : vector a través del hipercubo

Nota: La notación para la posición también se puede usar para el valor en esa posición. Luego, donde sea apropiado, se le puede agregar dimensión y orden, formando así: ⁿ [ _k i ] _m

Como se indica, k recorre las dimensiones, mientras que la coordenada i recorre todos los valores posibles; cuando los valores de i están fuera del rango, simplemente se vuelven a colocar dentro del rango sumando o restando los múltiplos apropiados de m , ya que el hipercubo mágico reside en un espacio modular n-dimensional.

Puede haber múltiples k entre paréntesis, estos no pueden tener el mismo valor, aunque en orden indeterminado, lo que explica la igualdad de:

$\left[{}_{1}i,{}_{k}j\right]=\left[{}_{k}j,{}_{1}i\right]$

Por supuesto, dado k también se hace referencia a un valor i .

Cuando se menciona un valor de coordenada específico, los demás valores pueden tomarse como 0, lo cual ocurre especialmente cuando la cantidad de 'k' está limitada mediante pe. # k = 1 como en:

${\displaystyle \left[{}_{k}1;\ \#k=1\right]=\left[{}_{k}1\ \ {}_{j}0\$ ("vecino axial" de $\left[{}_{k}0\right]$ )

(#j=n-1 puede dejarse sin especificar) j ahora recorre todos los valores en [0..k-1,k+1..n-1].

Además: sin restricciones, tanto la 'k' como la 'i' pueden tomar todos los valores posibles; en combinaciones, las mismas letras asumen los mismos valores. Esto permite especificar una línea concreta dentro del hipercubo (véase r-agonal en la sección de búsqueda de rutas).

Nota: hasta donde sé, esta notación aún no se usa de forma generalizada (?), los hipercubos no se analizan generalmente de esta manera en particular.

Además: " perm(0..n-1) " especifica una permutación de los n números 0..n-1.

Construcción

Además de las construcciones más específicas, se pueden observar dos métodos de construcción más generales:

Construcción KnightJump

Esta construcción generaliza el movimiento de los caballos del tablero de ajedrez (vectores $\langle 1,2\rangle ,\langle 1,-2\rangle ,\langle -1,2\rangle ,\langle -1,-2\rangle$ ) a movimientos más generales (vectores $\langle {}_{k}i\rangle$ ). El método comienza en la posición P ₀ y los números adicionales se colocan secuencialmente en las posiciones $V_{0}$ Además, hasta que (después de m pasos) se alcance una posición que ya esté ocupada, se necesita un vector adicional para encontrar la siguiente posición libre. Por lo tanto, el método se especifica mediante la matriz de n x n+1:

[P_{0},V_{0}\dots V_{n-1}]

Esto coloca el número 'k' en la posición:

P_{k}=P_{0}+\sum _{l=0}^{n-1}((k\backslash m^{l})\ \%\ m)V_{l};\quad k=0\dots m^{n}-1.

C. Planck da en su artículo de 1905 " La teoría de los caminos de Nasik " las condiciones para crear con este método hipercubos "de caminos de Nasik" (o hipercubos modernos {perfectos}).

Construcción de prescripción latina

(ecuaciones modulares). Este método también se especifica mediante una matriz de n x n+1. Sin embargo, en este caso se multiplica el vector n+1 [x ₀ ,..,x _n-1 ,1]. Después de esta multiplicación, el resultado se toma módulo m para obtener los n hipercubos (latinos):

LP _k = ( _l=0 Σ ^n-1 LP _k,l x _l + LP _k,n ) % m

de números de base m (también llamados " dígitos "). En estos LP _k se aplican generalmente " cambios de dígitos " (es decir, manipulación básica) antes de que estos LP _k se combinen en el hipercubo:

ⁿ H _m = _k=0 Σ ^n-1 LP _k m ^k

JRHendricks a menudo utiliza ecuaciones modulares; las condiciones para crear hipercubos de diversa calidad se pueden encontrar en http://www.magichypercubes.com/Encyclopedia en varios lugares (especialmente en la sección p).

Ambos métodos llenan el hipercubo con números; el salto del caballo garantiza (dados los vectores apropiados) que cada número esté presente. La prescripción latina solo funciona si los componentes son ortogonales (ningún dígito ocupa la misma posición).

Multiplicación

Entre las diversas formas de capitalización, la multiplicación ^{[ 8 ]} puede considerarse como el método más básico. La multiplicación básica viene dada por:

ⁿ H _{m ₁} * ⁿ H _{m ₂} : ⁿ [ _k i] _{m ₁ m ₂} = ⁿ [ [ [ _k i \ m ₂ ] _{m ₁} m ₁ⁿ ] _{m ₂} + [ _k i % m ₂ ] _{m ₂} ] _{m ₁ m ₂}

La mayoría de los métodos de composición pueden considerarse variaciones de lo anterior. Dado que la mayoría de los calificadores son invariantes bajo la multiplicación, se puede, por ejemplo, colocar cualquier variante aspectual de ⁿ H _{m ₂} en la ecuación anterior; además, se puede aplicar una manipulación al resultado para mejorar la calidad. Así, se puede especificar la duplicación de JR Hendricks / M. Trenklar. Estos temas quedan fuera del alcance de este artículo.

Aspectos

Un hipercubo conoce n! 2 ⁿ variantes Aspectial, que se obtienen mediante reflexión de coordenadas ([ _k i] -- > [ _k (-i)]) y permutaciones de coordenadas ([ _k i] -- > [ _perm[k] i]) dando efectivamente la variante Aspectial:

ⁿ H _m^{~R perm(0..n-1)} ; R = _k=0 Σ ^n-1 ((reflect(k)) ? 2 ^k : 0) ; perm(0..n-1) una permutación de 0..n-1

Donde reflect(k) es verdadero si y solo si la coordenada k se refleja, solo entonces se agrega ^2k a R. Como es fácil ver, solo n coordenadas pueden reflejarse, lo que explica 2n ^{, ¡} la n! permutación de n coordenadas explica el otro factor a la cantidad total de "variantes aspectuales"!

Las variantes aspectuales generalmente se consideran iguales. Por lo tanto, cualquier hipercubo puede representarse mostrado en "posición normal" mediante:

[ _k 0] = min([ _k θ ; θ ε {-1,0}]) (por reflexión) [ _k 1 ; #k=1] < [ _k+1 1 ; #k=1] ; k = 0..n-2 (por permutación de coordenadas)

(Aquí se indica explícitamente: [ _k0 ] el mínimo de todos los puntos de esquina. El vecino axial se ordena secuencialmente según el número axial).

Manipulaciones básicas

Además de manipulaciones más específicas, las siguientes son de carácter más general.

#[perm(0..n-1)] : permutación de componentes
^[perm(0..n-1)] : permutación de coordenadas (n == 2: transposición)
^Eje _2 [perm(0..m-1)] : permutación monógama (eje ε [0..n-1])
=[perm(0..m-1)] : cambio de dígito

Nota: '#' , '^', '_' e '=' son parte esencial de la notación y se utilizan como selectores de manipulación.

Permutación de componentes

Definido como el intercambio de componentes, variando así el factor m ^k en m ^perm(k) , porque hay n hipercubos componentes, la permutación se realiza sobre estos n componentes.

Permutación de coordenadas

El intercambio de coordenadas [ _k i] en [ _perm(k) i], debido a que hay n coordenadas, requiere una permutación sobre estas n direcciones. El término transpuesta (generalmente denotada por ^t ) se usa con matrices bidimensionales, aunque quizás "permutación de coordenadas" sea preferible.

permutación monótona

Se define como el cambio de [ _ki ] en [ _kperm(i) ] a lo largo de la dirección "axial" dada. La permutación igual a lo largo de varios ejes se puede combinar sumando los factores 2 ^axis . De esta manera se definen todos los tipos de permutaciones r-agonales para cualquier r. Es fácil ver que todas las posibilidades vienen dadas por la permutación correspondiente de m números.

Cabe señalar que la reflexión es un caso especial:

~R = _R[n-1,..,0]

Además, cuando todos los ejes experimentan la misma permutación (R = 2 ⁿ -1), se obtiene una permutación n-agonal . En este caso especial, la 'R' generalmente se omite, por lo que:

_[perm(0..n-1)] = _(2 ⁿ -1)[perm(0..n-1)]

Cambio de dígitos

Por lo general, se aplica a nivel de componente y se puede ver como dado por [ _k i] en perm([ _k i] ) ya que un componente está lleno con dígitos de base m, una permutación sobre m números es una manera apropiada de denotarlos.

Exploradores

JR Hendricks denominó a las direcciones dentro de un hipercubo " buscadores de caminos "; estas direcciones se denotan de forma más sencilla en un sistema numérico ternario como:

Pf _p donde: p = _k=0 Σ ^n-1 ( _k i + 1) 3 ^k< == > < _k i > ; i ε {-1,0,1}

Esto da 3 ⁿ direcciones. Dado que cada dirección se recorre en ambos sentidos, se puede limitar a la mitad superior [(3 ⁿ -1)/2,..,3 ⁿ -1)] del rango completo.

Con estos buscadores de rutas se puede especificar cualquier línea sobre la que se vaya a sumar (o r-agonal):

[ _j 0 _k p _l q ; #j=1 #k=r-1 ; k > j ] < _j 1 _k θ _l 0 ; θ ε {-1,1} > ; p,q ε [0,..,m-1]

que especifica todos los r-agonales (rotos), los rangos p y q podrían omitirse de esta descripción. Los r-agonales principales (no rotos) se dan así mediante la ligera modificación de lo anterior:

[ _j 0 _k 0 _l -1 _s p ; #j=1 #k+#l=r-1 ; k,l > j ] < _j 1 _k 1 _l -1 _s 0 >

Requisitos

Un hipercubo ⁿ H _m con números en el rango analítico [0..m ⁿ -1] tiene la suma mágica:

ⁿ S _m = m (m ⁿ - 1) / 2.

Además de las cualificaciones más específicas, las siguientes son las más importantes: "sumar" significa, por supuesto, "sumar correctamente hasta la suma mágica".

{ r-agonal } : todas las r-agonales principales (no rotas) son sumatorias.
{ pan r-agonal } : todas las r-agonales (ininterrumpidas y rotas) son sumatorias.
{ magia } : {1-agonal n-agonal}
{ perfecto } : {pan r-agonal; r = 1..n}

Nota: Esta serie no comienza con 0 ya que no existe un nillagonal. Los números corresponden a la nomenclatura habitual: 1-agonal = monógonal, 2-agonal = diagonal, 3-agonal = triagonal, etc. Además, el número corresponde a la cantidad de "-1" y "1" en el buscador de caminos correspondiente.

En caso de que el hipercubo también sume cuando todos los números se elevan a la potencia p, se obtienen hipercubos p-multimágicos. Los calificadores anteriores simplemente se anteponen al calificador p-multimágico. Esto define los calificadores como {r-agonal 2-mágico}. Aquí también "2-" generalmente se reemplaza por "bi", "3-" por "tri", etc. ("1-mágico" sería "monomágico", pero "mono" generalmente se omite). La suma para hipercubos p-multimágicos se puede encontrar usando la fórmula de Faulhaber y dividiéndola por m ^n-1 .

También se suele asumir "magia" (es decir, {1-agonal n-agonal}), el cubo {diagonal} de Trump/Boyer se ve técnicamente como {1-agonal 2-agonal 3-agonal}.

El hipercubo mágico de Nasik ofrece argumentos para usar { nasik } como sinónimo de { perfect }. Sin embargo, la extraña generalización de cuadrado 'perfecto' para usarlo como sinónimo de {diagonal} en cubos también se resuelve colocando llaves alrededor de los calificadores, de modo que { perfect } significa {pan r-agonal; r = 1..n} (como se mencionó anteriormente).

Algunos requisitos menores son:

{ ⁿ compacto } : {todos los subhipercubos de orden 2 suman 2 ⁿⁿ S _m / m}
{ ⁿ completo } : {todos los pares dividen por la mitad una suma n-agonal separada igual a (m ⁿ - 1)}

{ ⁿ compacto } podría escribirse en notación como : _(k) Σ [ _j i + _k 1] = 2 ⁿⁿ S _m / m . { ⁿ completo } puede escribirse simplemente como: [ _j i] + [ _j i + _k (m/2) ; #k=n ] = m ⁿ - 1 donde:

_(k) Σ es simbólico para sumar todos los k posibles, hay 2 ⁿ posibilidades para _k 1.

[ _j i + _k 1] expresa [ _j i] y todos sus vecinos r-agonales.

para {completo} el complemento de [ _j i] está en la posición [ _j i + _k (m/2) ; #k=n ].

Para cuadrados: { ² compacto ² completo } es la "calificación moderna/alternativa" de lo que Dame Kathleen Ollerenshaw llamó cuadrado mágico más perfecto , { ⁿ compacto ⁿ completo} es el calificador para la característica en más de 2 dimensiones.

Precaución: algunas personas parecen equiparar {compacto} con { ² compacto} en lugar de { ⁿ compacto}. Dado que este artículo introductorio no es el lugar para discutir este tipo de cuestiones, he añadido el superíndice dimensional ⁿ a ambos calificadores (que se definen como se muestra). Una consecuencia de { ⁿ compacto} es que varias figuras también se suman, ya que pueden formarse sumando o restando subhipercubos de orden 2. Cuestiones como estas quedan fuera del alcance de este artículo.

Hiperrayo mágico

Un hiperrayo mágico ( rectángulo mágico n-dimensional ) es una variación del hipercubo mágico donde el orden en cada dirección puede ser diferente. De esta forma, el hiperrayo mágico generaliza el rectángulo mágico bidimensional y el rayo mágico tridimensional , una serie que imita la serie cuadrado mágico , cubo mágico e hipercubo mágico. Este artículo replicará con detalle el artículo sobre hipercubos mágicos , y al igual que este, servirá simplemente como introducción al tema.

Convenciones

Es habitual indicar la dimensión con la letra 'n' y los órdenes de un hiperhaz con la letra 'm' (seguida del subíndice del número de la dirección a la que se aplica).

( n ) Dimensión : la cantidad de direcciones dentro de un hiperhaz.
( m _k ) Orden : la cantidad de números a lo largo de la k- ésima monógonal k = 0, ..., n − 1.

Además: En este artículo se utiliza el rango de números analíticos [0.. _k=0 Π ^n-1 m _{k -1].}

Notaciones

Para mantener todo bajo control, se desarrolló una notación especial:

[ _k i; k=[0..n-1]; i=[0..m _k -1] ] : posiciones dentro del hiperhaz
⟨ ⟩ : vectores a través del hiperhaz

Nota: La notación para la posición también se puede usar para el valor en esa posición. Allí, donde sea apropiado, se le pueden agregar dimensiones y órdenes, formando así: ⁿ [ _k i] _{m ₀ ,..,m _n-1}

Construcción

Básico

Aquí se podrían incluir descripciones de métodos más generales. No suelo crear hiperrayos, así que desconozco si Knightjump o Latin Prescription funcionan en este caso. Otros métodos más específicos me sirven cuando necesito un hiperrayo.

Multiplicación

Entre las diversas formas de capitalización, la multiplicación ^{[ 9 ]} puede considerarse como el método más básico. La multiplicación básica viene dada por:

ⁿ B _{(m..) ₁} * ⁿ B _{(m..) ₂} : ⁿ [ _k i] _{(m..) ₁ (m..) ₂} = ⁿ [ [[ _k i \ m _k2 ]] _{(m..) ₁ k=0} Π ^n-1 m _k1 ] _{(m..) ₂} + [ _k i % m _k2 ] _{(m..) ₂} ] _{(m..) ₁ (m..) ₂}

(m..) abrevia: m ₀ ,..,m _n-1 . (m..) ₁ (m..) ₂ abrevia: m _{0 ₁} m _{0 ₂} ,..,m _{n-1 ₁} m _{n-1 ₂} .

Curiosidades

Todos los pedidos son pares o impares.

Un hecho que se puede ver fácilmente ya que las sumas mágicas son:

S _k = m _k ( _j=0 Π ^n-1 m _j - 1) / 2

Cuando cualquiera de los órdenes m _k es par, el producto es par y, por lo tanto, la única forma en que S _k resulta ser un número entero es cuando todos los m _k son pares. Por lo tanto, basta con que todos los m _k sean pares o impares.

Esto, por supuesto, con la excepción de m _k =1, lo que permite identidades generales como:

N _m^t = N _m,1 * N _1,m
N _m = N _1,m * N _m,1

Lo cual excede el alcance de este artículo introductorio.

Solo una dirección con orden = 2

puesto que cualquier número tiene solo un complemento, solo una de las direcciones puede tener m _k = 2.

Aspectos

Un hiperhaz conoce 2 ⁿ variantes Aspectial, que se obtienen mediante reflexión de coordenadas ([ _k i] → [ _k (-i)]) dando efectivamente la variante Aspectial:

ⁿ B _{(m ₀ ..m _n-1 )}^~R ; R = _k=0 Σ ^n-1 ((reflect(k)) ? 2 ^k : 0) ;

Donde reflect(k) es verdadero si y solo si la coordenada k se está reflejando, solo entonces se agrega ^{2k a R.}

Si se consideran iguales las distintas orientaciones del haz, se podría ver el número de aspectos n! 2 ^n, al igual que con los hipercubos mágicos , donde las direcciones con órdenes iguales contribuyen con factores que dependen de los órdenes del hiperhaz. Esto escapa al alcance de este artículo.

Manipulaciones básicas

Además de manipulaciones más específicas, las siguientes son de carácter más general.

^[perm(0..n-1)] : permutación de coordenadas (n == 2: transposición)
^Eje _2 [perm(0..m-1)] : permutación monógama (eje ε [0..n-1])

Nota: '^' y '_' son parte esencial de la notación y se utilizan como selectores de manipulación.

permutación de coordenadas

El intercambio de coördinaat [ _k i] en [ _perm(k) i], debido a que hay n coordenadas, requiere una permutación sobre estas n direcciones. El término transpuesta (generalmente denotada por ^t ) se usa con matrices bidimensionales, aunque quizás "coördinaatpermutation" sea preferible.

permutación monótona

Definido como el cambio de [ _ki ] en [ _kperm(i) ] a lo largo de la dirección "axial" dada. Las permutaciones iguales a lo largo de varios ejes con órdenes iguales se pueden combinar sumando los factores 2 ^axis . De esta manera se definen todos los tipos de permutaciones r-agonales para cualquier r. Es fácil ver que todas las posibilidades vienen dadas por la permutación correspondiente de m números.

posición normal

En caso de que no se consideren restricciones en los n-agonales, un hiperhaz mágico puede representarse mostrado en "posición normal" mediante:

[ _k i] < [ _k (i+1)] ; i = 0..m _k -2 (por permutación monótona)

Calificación

La calificación del hiperrayo está menos desarrollada que en los hipercubos mágicos; de hecho, solo la k-ésima dirección monógonal necesita sumar:

S _k = m _k ( _j=0 Π ^n-1 m _j - 1) / 2

para todo k = 0..n-1 para que el hiperhaz sea calificado { magic }

Cuando los órdenes no son primos relativos, la suma n-agonal puede restringirse a:

S = mcm(m _i ; i = 0..n-1) ( _j=0 Π ^n-1 m _j - 1) / 2

Con todos los órdenes relativamente primos, esto alcanza su máximo:

S _máx = _j=0 Π ^n-1 m _j ( _j=0 Π ^n-1 m _j - 1) / 2

Hiperrayos especiales

Los siguientes hiperrayos tienen propósitos especiales:

El "hiperrayo normal"

ⁿ N _{m ₀ ,..,m _n-1} : [ _k i] = _k=0 Σ ^n-1_k i m _k^k

Este hiperhaz puede considerarse como la fuente de todos los números. Un procedimiento llamado "Numeración dinámica" utiliza el isomorfismo de cada hiperhaz con esta normal; al cambiar la fuente, cambia el hiperhaz. Las multiplicaciones básicas de hiperhaces normales juegan un papel especial con la "Numeración dinámica" de hipercubos mágicos de orden _k=0 Π ^n-1 m ^k .

La "constante 1"

ⁿ 1 _{m ₀ ,..,m _n-1} : [ _k i] = 1

El hiperrayo que se suele añadir transforma el rango numérico "analítico" utilizado aquí en el rango numérico "normal". Otros hiperrayos constantes son, por supuesto, múltiplos de este.

Véase también

Referencias

↑ Frost, AH, Invención de los cubos mágicos, Quarterly Journal of Mathematics , 7, 1866, pp. 92-102
↑ Frost, AH, Sobre las propiedades generales de los cuadrados de Nasik , QJM, 15, 1878, pp. 34-49
↑ Frost, AH Sobre las propiedades generales de los cubos de Nasik , QJM, 15, 1878, pp. 93-123
↑ Heinz, HD y Hendricks, JR, Léxico del cuadrado mágico: Ilustrado , 2000, 0-9687985-0-0 pp 119-122
↑ Planck, C., MA, MRCS, La teoría de las trayectorias. Nasik , 1905, impreso para circulación privada. Carta introductoria al artículo.
↑ Andrews, WS, Cuadrados mágicos y cubos, Dover Publ. 1917. Ensayo páginas 363-375 escrito por C. Planck
↑ Rosser, B. y Walker, RJ, Cuadrados mágicos: Artículos publicados y suplemento , 1939. Un volumen encuadernado en la Universidad de Cornell, catalogado como QA 165 R82+pt.1-4
↑ Esta es una versión n-dimensional de (p. ej.): multiplicación del cuadrado mágico de Alan Adler
↑ Esta es una versión hiperbólica de (p. ej.): Multiplicación del cuadrado mágico de Alan Adler

Lecturas adicionales

Thomas R. Hagedorn, Sobre la existencia de rectángulos mágicos n-dimensionales, Matemáticas Discretas 207 (1999), 53-63.
Thomas R. Hagedorn, Rectángulos mágicos revisitados, Matemáticas Discretas 207 (1999), 65-72.
Harvey D. Heinz y John R. Hendricks, Léxico del cuadrado mágico: Ilustrado, autoeditado, 2000, ISBN 0-9687985-0-0.
JRHendricks: De cuadrados mágicos a teseracto por computadora, autopublicado, 1998, 0-9684700-0-9
Planck, C., MA, MRCS, La teoría de las trayectorias. Nasik, 1905, impreso para circulación privada. Carta introductoria al artículo.
Marián Trenkler, Rectángulos mágicos, The Mathematical Gazette 83(1999), 102-105.

Enlaces externos

Artículos de la Enciclopedia Mágica de Aale de Winkel
Cubos mágicos e hipercubos: referencias recopiladas por Marian Trenkler
- Un algoritmo para crear cubos mágicos, por Marian Trenkler.
multimagie.com Artículos de Christian Boyer
magichypercube.com Un generador de cubos mágicos
Historia, definiciones y ejemplos de cubos mágicos perfectos y otras dimensiones.
Una definición alternativa de Perfecto, con un historial de descubrimientos recientes.
Más información sobre esta definición alternativa.
Una enciclopedia de Magic Hypercube con una amplia gama de material.
Un sistema de clasificación unificado para hipercubos
Un ambicioso proyecto en curso sobre la clasificación de cubos mágicos y teseractos.
Una variedad de material de John R. Hendricks, escrito bajo su dirección.
http://www.magichypercubes.com/Encyclopedia
Cubo de Marián Trenklar-Ref.html
Mitsutoshi Nakamura: Rectángulos

[1] Frost, AH, Invención de los cubos mágicos, Quarterly Journal of Mathematics , 7, 1866, pp. 92-102

[2] Frost, AH, Sobre las propiedades generales de los cuadrados de Nasik , QJM, 15, 1878, pp. 34-49

[3] Frost, AH Sobre las propiedades generales de los cubos de Nasik , QJM, 15, 1878, pp. 93-123

[4] Heinz, HD y Hendricks, JR, Léxico del cuadrado mágico: Ilustrado , 2000, 0-9687985-0-0 pp 119-122

[5] Planck, C., MA, MRCS, La teoría de las trayectorias. Nasik , 1905, impreso para circulación privada. Carta introductoria al artículo.

[6] Andrews, WS, Cuadrados mágicos y cubos, Dover Publ. 1917. Ensayo páginas 363-375 escrito por C. Planck

[7] Rosser, B. y Walker, RJ, Cuadrados mágicos: Artículos publicados y suplemento , 1939. Un volumen encuadernado en la Universidad de Cornell, catalogado como QA 165 R82+pt.1-4

[8] Esta es una versión n-dimensional de (p. ej.): multiplicación del cuadrado mágico de Alan Adler

[9] Esta es una versión hiperbólica de (p. ej.): Multiplicación del cuadrado mágico de Alan Adler

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Hipercubos mágicos perfectos

Hipercubos mágicos de Nasik

Historia

Notaciones

Construcción

Construcción KnightJump

Construcción de prescripción latina

Multiplicación

Aspectos

Manipulaciones básicas

Permutación de componentes

Permutación de coordenadas

permutación monótona

Cambio de dígitos

Exploradores

Requisitos

Hiperrayo mágico

Convenciones

Notaciones

Construcción

Básico

Multiplicación

Curiosidades

Todos los pedidos son pares o impares.

Solo una dirección con orden = 2

Aspectos

Manipulaciones básicas

permutación de coordenadas

permutación monótona

posición normal

Calificación

Hiperrayos especiales

El "hiperrayo normal"

La "constante 1"

Véase también

Referencias

Lecturas adicionales

Enlaces externos

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