Función Lommel

La ecuación diferencial de Lommel , que recibe su nombre de Eugen von Lommel , es una forma no homogénea de la ecuación diferencial de Bessel :

${\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+z{\frac {dy}{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})y=z^{\mu +1}.}$

Las soluciones vienen dadas por las funciones de Lommel s _μ,ν ( z ) y S _μ,ν ( z ), introducidas por Eugen von Lommel ( 1880 ) , 

${\displaystyle s_{\mu ,\nu }(z)={\frac {\pi }{2}}\left[Y_{\nu }(z)\!\int _{0}^{z}\!\!x^{\mu }J_{\nu }(x)\,dx-J_{\nu }(z)\!\int _{0}^{z}\!\!x^{\mu }Y_{\nu }(x)\,dx\derecha],}$

${\displaystyle S_{\mu ,\nu }(z)=s_{\mu ,\nu }(z)+2^{\mu -1}\Gamma \left({\frac {\mu +\nu +1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {\mu -\nu +1}{2}}\right)\left(\sin \left[(\mu -\nu ){\frac {\pi }{2}}\right]J_{\nu }(z)-\cos \left[(\mu -\nu ){\frac {\pi }{2}}\right]Y_{\nu }(z)\right),}$

donde J _ν ( z ) es una función de Bessel de primer tipo y Y _ν ( z ) una función de Bessel de segundo tipo.

La función s también se puede escribir como ^{[ 1 ]}

${\displaystyle s_{\mu ,\nu }(z)={\frac {z^{\mu +1}}{(\mu -\nu +1)(\mu +\nu +1)}}{}_{1}F_{2}(1;{\frac {\mu }{2}}-{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}},{\frac {\mu }{2}}+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}),}$

donde _p F _q es una función hipergeométrica generalizada .

• Función de la ira
• polinomio de Lommel
• Función Struve
• Función Weber

• Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm ; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1953), Funciones trascendentales superiores. Vol. II (PDF) , McGraw-Hill Book Company, Inc., Nueva York-Toronto-Londres, MR 0058756 
• Lommel, E. (1875), "Ueber eine mit den Bessel'schen Functionen verwandte Function" , Math. Ana. , 9 (3): 425– 444, doi : 10.1007/BF01443342
• Lommel, E. (1880), "Zur Theorie der Bessel'schen Funktionen IV", Matemáticas. Ana. , 16 (2): 183– 208, doi : 10.1007/BF01446386
• Paris, RB (2010), "Función de Lommel" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 .
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Función de Lommel" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

• Weisstein, Eric W. "Ecuación diferencial de Lommel". De MathWorld—Un recurso web de Wolfram.
• Weisstein, Eric W. "Función de Lommel". De MathWorld—Un recurso web de Wolfram.