distribución logit-normal

La función de densidad de probabilidad (FDP) de una distribución logit-normal, para 0 < x < 1, es:

${\displaystyle f_{X}(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,{\frac {1}{x(1-x)}}\,e^{-{\frac {(\operatorname {logit} (x)-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$

donde μ y σ son la media y la desviación estándar del logit de la variable (por definición, el logit de la variable tiene una distribución normal).

La densidad obtenida al cambiar el signo de μ es simétrica, ya que es igual a f(1-x;- μ , σ ), desplazando el modo al otro lado de 0,5 (el punto medio del intervalo (0,1)).

Los momentos de la distribución logit-normal no tienen solución analítica. Los momentos pueden estimarse mediante integración numérica , sin embargo, la integración numérica puede ser prohibitiva cuando los valores de${\textstyle \mu ,\sigma ^{2}}$son tales que la función de densidad diverge al infinito en los puntos extremos cero y uno. Una alternativa es utilizar la observación de que la logit-normal es una transformación de una variable aleatoria normal. Esto nos permite aproximar la${\displaystyle n}$-ésimo momento mediante la siguiente estimación cuasi Monte Carlo${\displaystyle E[X^{n}]\approx {\frac {1}{K-1}}\sum _{i=1}^{K-1}\left(P\left(\Phi _{\mu ,\sigma ^{2}}^{-1}(i/K)\right)\right)^{n},}$

dónde${\textstyle P}$es la función logística estándar, y${\textstyle \Phi _{\mu ,\sigma ^{2}}^{-1}}$es la función de distribución acumulativa inversa de una distribución normal con media y varianza${\textstyle \mu ,\sigma ^{2}}$. Cuando${\displaystyle n=1}$, esto corresponde a la media.

Cuando la derivada de la densidad es igual a 0, entonces la ubicación del modo x satisface la siguiente ecuación:

${\displaystyle \operatorname {logit} (x)=\sigma ^{2}(2x-1)+\mu .}$

Para algunos valores de los parámetros hay dos soluciones, es decir, la distribución es bimodal .

La función de densidad de probabilidad es:

${\displaystyle f_{X}(\mathbf {x}$ ;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {1}{(2\pi )^{D-1}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{\frac {1}{2}}}}\,{\frac {1}{\prod \limits _{i=1}^{D}x_{i}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}\left\{\log \left({\frac {\mathbf {x} _{-D}}{x_{D}}}\right)-{\boldsymbol {\mu }}\right\}^{\top }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\left\{\log \left({\frac {\mathbf {x} _{-D}}{x_{D}}}\right)-{\boldsymbol {\mu }}\right\}}\quad ,\quad \mathbf {x} \in {\mathcal {S}}^{D}\;\;,}

dónde${\displaystyle \mathbf {x} _{-D}}$denota un vector de los primeros (D-1) componentes de${\displaystyle \mathbf {x} }$y${\displaystyle {\mathcal {S}}^{D}}$denota el simplex de vectores de probabilidad D-dimensionales. Esto se deduce de aplicar la transformación logística aditiva para mapear una variable aleatoria normal multivariada.${\displaystyle \mathbf {y} \sim {\mathcal {N}}\left({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}\right)\;,\;\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{D-1}}$al simplex:

${\displaystyle \mathbf {x} =\left[{\frac {e^{y_{1}}}{1+\sum _{i=1}^{D-1}e^{y_{i}}}},\dots ,{\frac {e^{y_{D-1}}}{1+\sum _{i=1}^{D-1}e^{y_{i}}}},{\frac {1}{1+\sum _{i=1}^{D-1}e^{y_{i}}}}\right]^{\top }}$

La única función inversa viene dada por:

${\displaystyle \mathbf {y} =\left[\log \left({\frac {x_{1}}{x_{D}}}\right),\dots ,\log \left({\frac {x_{D-1}}{x_{D}}}\right)\right]^{\top }}$.

Este es el caso de un vector x cuyas componentes suman uno. En el caso de x con elementos sigmoideos, es decir, cuando

${\displaystyle \mathbf {y} =\left[\log \left({\frac {x_{1}}{1-x_{1}}}\right),\dots ,\log \left({\frac {x_{D}}{1-x_{D}}}\right)\right]^{\top }}$

tenemos

${\displaystyle f_{X}(\mathbf {x}$ ;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})={\frac {1}{(2\pi )^{D-1}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{\frac {1}{2}}}}\,{\frac {1}{\prod \limits _{i=1}^{D}\left(x_{i}(1-x_{i})\right)}}\,e^{-{\frac {1}{2}}\left\{\log \left({\frac {\mathbf {x} }{1-\mathbf {x} }}\right)-{\boldsymbol {\mu }}\right\}^{\top }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}\left\{\log \left({\frac {\mathbf {x} }{1-\mathbf {x} }}\right)-{\boldsymbol {\mu }}\right\}}}

donde el logaritmo y la división en el argumento se toman elemento a elemento. Esto se debe a que la matriz jacobiana de la transformación es diagonal con elementos${\displaystyle {\frac {1}{x_{i}(1-x_{i})}}}$.

La distribución normal logística es una alternativa más flexible a la distribución de Dirichlet, ya que permite capturar correlaciones entre los componentes de los vectores de probabilidad. Además, simplifica los análisis estadísticos de datos composicionales al permitir responder preguntas sobre los logaritmos de las razones de los componentes de los vectores de datos. A menudo, interesan las razones más que los valores absolutos de los componentes.

El simplex de probabilidad es un espacio acotado, lo que hace que las técnicas estándar que se aplican normalmente a los vectores en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$menos significativo. El estadístico John Aitchison describió el problema de las correlaciones negativas espurias al aplicar dichos métodos directamente a vectores simpliciales. ^{[ 5 ]} Sin embargo, mapear datos composicionales en${\displaystyle {\mathcal {S}}^{D}}$mediante la inversa de la transformación logística aditiva produce datos de valor real en${\displaystyle \mathbb {R} ^{D-1}}$Se pueden aplicar técnicas estándar a esta representación de los datos. Este enfoque justifica el uso de la distribución normal logística, que puede considerarse como la "gaussiana del simplex".

Las distribuciones de Dirichlet y logística normal nunca son exactamente iguales para ninguna elección de parámetros. Sin embargo, Aitchison describió un método para aproximar una distribución de Dirichlet con una distribución logística normal de tal manera que su divergencia de Kullback-Leibler (KL) se minimice:

${\displaystyle K(p,q)=\int _{{\mathcal {S}}^{D}}p\left(\mathbf {x} \mid {\boldsymbol {\alpha }}\right)\log \left({\frac {p\left(\mathbf {x} \mid {\boldsymbol {\alpha }}\right)}{q\left(\mathbf {x} \mid {\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}\right)}}\right)\,d\mathbf {x} }$

Esto se minimiza mediante:

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}^{*}=\mathbf {E} _{p}\left[\log \left({\frac {\mathbf {x} _{-D}}{x_{D}}}\right)\right]\quad ,\quad {\boldsymbol {\Sigma }}^{*}={\textbf {Var}}_{p}\left[\log \left({\frac {\mathbf {x} _{-D}}{x_{D}}}\right)\right]}$

Utilizando las propiedades de los momentos de la distribución de Dirichlet, la solución se puede escribir en términos de la digamma.${\displaystyle \psi }$y trigamma${\displaystyle \psi '}$funciones:

${\displaystyle \mu _{i}^{*}=\psi \left(\alpha _{i}\right)-\psi \left(\alpha _{D}\right)\quad ,\quad i=1,\ldots ,D-1}$

${\displaystyle \Sigma _{ii}^{*}=\psi '\left(\alpha _{i}\right)+\psi '\left(\alpha _{D}\right)\quad ,\quad i=1,\ldots ,D-1}$

${\displaystyle \Sigma _{ij}^{*}=\psi '\left(\alpha _{D}\right)\quad ,\quad i\neq j}$

Esta aproximación es particularmente precisa para grandes${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$. De hecho, se puede demostrar que para${\displaystyle \alpha _{i}\rightarrow \infty ,i=1,\ldots ,D}$, tenemos eso${\displaystyle p\left(\mathbf {x} \mid {\boldsymbol {\alpha }}\right)\rightarrow q\left(\mathbf {x} \mid {\boldsymbol {\mu }}^{*},{\boldsymbol {\Sigma }}^{*}\right)}$.