Distribución de Kumaraswamy

En probabilidad y estadística , la distribución de doble límite de Kumaraswamy es una familia de distribuciones de probabilidad continuas definidas en el intervalo (0,1). Es similar a la distribución beta , pero mucho más simple de usar, especialmente en estudios de simulación, ya que su función de densidad de probabilidad , función de distribución acumulativa y funciones cuantiles se pueden expresar en forma cerrada . Esta distribución fue propuesta originalmente por Poondi Kumaraswamy ^[1] para variables que tienen un límite superior e inferior con una inflación cero. ^{[ aclaración necesaria ]} Esto se extendió a inflaciones en ambos extremos [0,1] en un trabajo posterior con S. G. Fletcher. ^[2]

La función de densidad de probabilidad de la distribución de Kumaraswamy sin considerar ninguna inflación es

${\displaystyle f(x;a,b)=abx^{a-1}{(1-x^{a})}^{b-1},\ \ {\mbox{donde}}\ \ x\in (0,1),}$

y donde a y b son parámetros de forma no negativos .

La función de distribución acumulativa es

${\displaystyle F(x;a,b)=\int _{0}^{x}f(\xi ;a,b)d\xi =1-(1-x^{a})^{b}.\ }$

La función de distribución acumulativa inversa (función cuantil) es

${\displaystyle F^{-1}(y;a,b)=(1-(1-y)^{\frac {1}{b}})^{\frac {1}{a}}.\ }$

En su forma más simple, la distribución tiene un soporte de (0,1). En una forma más general, la variable normalizada x se reemplaza por la variable z sin escalar ni desplazar, donde:

${\displaystyle x={\frac {z-z_{\text{min}}}{z_{\text{max}}-z_{\text{min}}}},\qquad z_{\text{min}}\leq z\leq z_{\text{max}}.\,\!}$

Los momentos brutos de la distribución de Kumaraswamy están dados por: ^{[3] [4]}

${\displaystyle m_{n}={\frac {b\Gamma (1+n/a)\Gamma (b)}{\Gamma (1+b+n/a)}}=bB(1+n/a,b)\,}$

donde B es la función Beta y Γ(.) denota la función Gamma . La varianza, la asimetría y el exceso de curtosis se pueden calcular a partir de estos momentos brutos. Por ejemplo, la varianza es:

${\displaystyle \sigma ^{2}=m_{2}-m_{1}^{2}.}$

La entropía de Shannon (en nats) de la distribución es: ^[5]

${\displaystyle H=\left(1\!-\!{\tfrac {1}{a}}\right)+\left(1\!-\!{\tfrac {1}{b}}\right)H_{b}-\ln(ab)}$

¿Dónde está la función del número armónico ?${\displaystyle H_{i}}$

La distribución de Kumaraswamy está estrechamente relacionada con la distribución Beta. ^[6] Supongamos que X _a,b es una variable aleatoria distribuida por Kumaraswamy con parámetros a y b . Entonces X _a,b es la raíz a -ésima de una variable aleatoria distribuida Beta adecuadamente definida. Más formalmente, sea Y _1,b una variable aleatoria distribuida Beta con parámetros y . Se tiene la siguiente relación entre X _a,b e Y _1,b . ${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle \beta =b}$

${\displaystyle X_{a,b}=Y_{1,b}^{1/a},}$

con igualdad en la distribución.

${\displaystyle \operatorname {P} \{X_{a,b}\leq x\}=\int _{0}^{x}abt^{a-1}(1-t^{a})^{b-1}dt=\int _{0}^{x^{a}}b(1-t)^{b-1}dt=\operatorname {P} \{Y_{1,b}\leq x^{a}\}=\operatorname {P} \{Y_{1,b}^{1/a}\leq x\}.}$

Se pueden introducir distribuciones generalizadas de Kumaraswamy considerando variables aleatorias de la forma , con y donde denota una variable aleatoria distribuida Beta con parámetros y . Los momentos brutos de esta distribución generalizada de Kumaraswamy están dados por: ${\displaystyle Y_{\alpha ,\beta }^{1/\gamma }}$${\displaystyle \gamma >0}$${\displaystyle Y_{\alpha ,\beta }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle m_{n}={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +n/\gamma )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\alpha +\beta +n/\gamma )}}.}$

Nótese que podemos volver a obtener los momentos originales estableciendo , y . Sin embargo, en general, la función de distribución acumulativa no tiene una solución en forma cerrada. ${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle \beta =b}$${\displaystyle \gamma =a}$

• Si entonces ( Distribución uniforme )${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,1)\,}$${\displaystyle X\sim U(0,1)\,}$
• Si entonces ^[6]${\displaystyle X\sim U(0,1)\,}$${\displaystyle {\left(1-X^{\tfrac {1}{b}}\right)}^{\tfrac {1}{a}}\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,b)\,}$
• Si ( distribución beta ) entonces${\displaystyle X\sim {\textrm {Beta}}(1,b)\,}$${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,b)\,}$
• Si ( distribución beta ) entonces${\displaystyle X\sim {\textrm {Beta}}(a,1)\,}$${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$
• Si entonces${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$${\displaystyle (1-X)\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,a)\,}$
• Si entonces${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,a)\,}$${\displaystyle (1-X)\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$
• Si entonces${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,}$${\displaystyle -\log(X)\sim {\textrm {Exponential}}(a)\,}$
• Si entonces${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,b)\,}$${\displaystyle -\log(1-X)\sim {\textrm {Exponential}}(b)\,}$
• Si entonces , la distribución beta generalizada del primer tipo .${\displaystyle X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,b)\,}$${\displaystyle X\sim {\textrm {GB1}}(a,1,1,b)\,}$

Un ejemplo del uso de la distribución de Kumaraswamy es el volumen de almacenamiento de un reservorio de capacidad z cuyo límite superior es _zmax y el límite inferior es 0, que también es un ejemplo natural de tener dos inflaciones ya que muchos reservorios tienen probabilidades distintas de cero para estados de reservorio vacío y lleno. ^[2]