Error de truncamiento (integración numérica)

Los errores de truncamiento en la integración numérica son de dos tipos:

errores de truncamiento local : el error causado por una iteración y
Errores de truncamiento global : el error acumulativo causado por muchas iteraciones.

Definiciones

Supongamos que tenemos una ecuación diferencial continua.

y'=f(t,y),\qquad y(t_{0})=y_{0},\qquad t\geq t_{0}

y deseamos calcular una aproximación $y_{n}$ de la verdadera solución $y(t_{n})$ en pasos de tiempo discretos $t_{1},t_{2},\ldots ,t_{N}$ Para simplificar, supongamos que los intervalos de tiempo están igualmente espaciados:

h=t_{n}-t_{n-1},\qquad n=1,2,\ldots ,N.

Supongamos que calculamos la secuencia $y_{n}$ con un método de un solo paso de la forma

y_{n}=y_{n-1}+hA(t_{n-1},y_{n-1},h,f).

La función $A$ se denomina función de incremento y puede interpretarse como una estimación de la pendiente. ${\frac {y(t_{n})-y(t_{n-1})}{h}}$ .

Error de truncamiento local

El error de truncamiento local $\tau _{n}$ es el error que nuestra función de incremento, $A$ , causas durante una sola iteración, asumiendo un conocimiento perfecto de la solución verdadera en la iteración anterior.

Más formalmente, el error de truncamiento local, $\tau _{n}$ , en el paso $n$ se calcula a partir de la diferencia entre el lado izquierdo y el lado derecho de la ecuación para el incremento $y_{n}\approx y_{n-1}+hA(t_{n-1},y_{n-1},h,f)$ :

\tau _{n}=y(t_{n})-y(t_{n-1})-hA(t_{n-1},y(t_{n-1}),h,f).

^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

El método numérico es consistente si el error de truncamiento local es $o(h)$ (esto significa que por cada $\varepsilon >0$ existe un $H$ de tal manera que $|\tau _{n}|<\varepsilon h$ a pesar de $h<H$ ; ver notación de o minúscula ). Si la función de incremento $A$ es continua, entonces el método es consistente si y solo si , $A(t,y,0,f)=f(t,y)$ . ^{[ 3 ]}

Además, decimos que el método numérico tiene orden $p$ Si para cualquier solución suficientemente suave del problema de valor inicial , el error de truncamiento local es $O(h^{p+1})$ (lo que significa que existen constantes) $C$ y $H$ de tal manera que $|\tau _{n}|<Ch^{p+1}$ a pesar de $h<H$ ). ^{[ 4 ]}

Error de truncamiento global

El error de truncamiento global es la acumulación del error de truncamiento local a lo largo de todas las iteraciones, suponiendo un conocimiento perfecto de la solución verdadera en el paso de tiempo inicial.

Más formalmente, el error de truncamiento global, $e_{n}$ , en ese momento $t_{n}$ se define por:

{\begin{aligned}e_{n}&=y(t_{n})-y_{n}\\&=y(t_{n})-{\Big (}y_{0}+hA(t_{0},y_{0},h,f)+hA(t_{1},y_{1},h,f)+\cdots +hA(t_{n-1},y_{n-1},h,f){\Big )}.\end{aligned}}

^{[ 5 ]}

El método numérico es convergente si el error de truncamiento global tiende a cero a medida que el tamaño del paso tiende a cero; en otras palabras, la solución numérica converge a la solución exacta: $\lim _{h\to 0}\max _{n}|e_{n}|=0$ . ^{[ 6 ]}

Relación entre errores de truncamiento locales y globales

En ocasiones, es posible calcular una cota superior para el error de truncamiento global si ya conocemos el error de truncamiento local. Esto requiere que nuestra función de incremento se comporte de forma suficientemente predecible.

El error de truncamiento global satisface la relación de recurrencia :

e_{n+1}=e_{n}+h{\Big (}A(t_{n},y(t_{n}),h,f)-A(t_{n},y_{n},h,f){\Big )}+\tau _{n+1}.

Esto se deduce inmediatamente de las definiciones. Ahora supongamos que la función de incremento es Lipschitz continua en el segundo argumento, es decir, existe una constante $L$ de tal manera que para todos $t$ y $y_{1}$ y $y_{2}$ , tenemos:

|A(t,y_{1},h,f)-A(t,y_{2},h,f)|\leq L|y_{1}-y_{2}|.

Entonces el error global satisface el límite.

|e_{n}|\leq {\frac {\max _{j}\tau _{j}}{hL}}\left(\mathrm {e} ^{L(t_{n}-t_{0})}-1\right).

^{[ 7 ]}

De la cota anterior para el error global se deduce que si la función $f$ en la ecuación diferencial es continua en el primer argumento y Lipschitz continua en el segundo argumento (la condición del teorema de Picard-Lindelöf ), y la función de incremento $A$ es continua en todos los argumentos y Lipschitz continua en el segundo argumento, entonces el error global tiende a cero a medida que el tamaño del paso $h$ se aproxima a cero (es decir, el método numérico converge a la solución exacta). ^{[ 8 ]}

Extensión a métodos lineales de múltiples pasos

Ahora consideremos un método lineal de pasos múltiples , dado por la fórmula

{\begin{aligned}&y_{n+s}+a_{s-1}y_{n+s-1}+a_{s-2}y_{n+s-2}+\cdots +a_{0}y_{n}\\&\qquad {}=h{\bigl (}b_{s}f(t_{n+s},y_{n+s})+b_{s-1}f(t_{n+s-1},y_{n+s-1})+\cdots +b_{0}f(t_{n},y_{n}){\bigr )},\end{aligned}}

Por lo tanto, el siguiente valor para la solución numérica se calcula de acuerdo con

y_{n+s}=-\sum _{k=0}^{s-1}a_{k}y_{n+k}+h\sum _{k=0}^{s}b_{k}f(t_{n+k},y_{n+k}).

La siguiente iteración de un método lineal multipaso depende de las s iteraciones anteriores. Por lo tanto, en la definición del error de truncamiento local, ahora se supone que las s iteraciones anteriores corresponden a la solución exacta:

\tau _{n}=y(t_{n+s})+\sum _{k=0}^{s-1}a_{k}y(t_{n+k})-h\sum _{k=0}^{s}b_{k}f(t_{n+k},y(t_{n+k})).

^{[ 9 ]}

Nuevamente, el método es consistente si $\tau _{n}=o(h)$ y tiene orden p si $\tau _{n}=O(h^{p+1})$ La definición del error de truncamiento global tampoco ha cambiado.

La relación entre los errores de truncamiento locales y globales es ligeramente diferente a la del entorno más simple de los métodos de un paso. Para los métodos lineales multipaso, se necesita un concepto adicional llamado estabilidad cero para explicar la relación entre los errores de truncamiento locales y globales. Los métodos lineales multipaso que satisfacen la condición de estabilidad cero tienen la misma relación entre errores locales y globales que los métodos de un paso. En otras palabras, si un método lineal multipaso es cero-estable y consistente, entonces converge. Y si un método lineal multipaso es cero-estable y tiene error local $\tau _{n}=O(h^{p+1})$ , entonces su error global satisface $e_{n}=O(h^{p})$ . ^{[ 10 ]}

Véase también

Notas

↑ Gupta, GK; Sacks-Davis, R.; Tischer, PE (marzo de 1985). "Una revisión de los desarrollos recientes en la resolución de EDO". Computing Surveys . 17 (1): 5– 47. CiteSeerX 10.1.1.85.783 . doi : 10.1145/4078.4079 .
↑ Süli y Mayers 2003 , pág. 317 , llamadas $\tau _{n}/h$ el error de truncamiento.
^ Süli y Mayers 2003 , págs. 321 y 322
↑ Iserles 1996 , pág. 8 ; Süli y Mayers 2003 , pág. 323
↑ Süli y Mayers 2003 , pág. 317
↑ Iserles 1996 , pág. 5
↑ Süli y Mayers 2003 , pág. 318
↑ Süli y Mayers 2003 , pág. 322
↑ Süli y Mayers 2003 , p. 337 , utilizan una definición diferente, dividiendo esto esencialmente por h
↑ Süli y Mayers 2003 , pág. 340

Referencias

Iserles, Arieh (1996), Un primer curso de análisis numérico de ecuaciones diferenciales , Cambridge University Press , Bibcode : 1996fcna.book.....I , ISBN 978-0-521-55655-2.
Süli, Endre; Mayers, David (2003), Introducción al análisis numérico , Cambridge University Press , ISBN 0521007941.

Enlaces externos

Notas sobre errores de truncamiento y métodos de Runge-Kutta
Error de truncamiento del método de Euler

[1] Gupta, GK; Sacks-Davis, R.; Tischer, PE (marzo de 1985). "Una revisión de los desarrollos recientes en la resolución de EDO". Computing Surveys . 17 (1): 5– 47. CiteSeerX 10.1.1.85.783 . doi : 10.1145/4078.4079 .

[2] Süli y Mayers 2003 , pág. 317 , llamadas $\tau _{n}/h$ el error de truncamiento.

[3] Süli y Mayers 2003 , págs. 321 y 322

[4] Iserles 1996 , pág. 8 ; Süli y Mayers 2003 , pág. 323

[5] Süli y Mayers 2003 , pág. 317

[6] Iserles 1996 , pág. 5

[7] Süli y Mayers 2003 , pág. 318

[8] Süli y Mayers 2003 , pág. 322

[9] Süli y Mayers 2003 , p. 337 , utilizan una definición diferente, dividiendo esto esencialmente por h

[10] Süli y Mayers 2003 , pág. 340

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